Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
32
Teorema 2.7. Jika R
a
dan a
untuk setiap
maka
a
.
Bukti. Andaikan a
. Pilih
1 2
a
. Kita peroleh a
. Pernyataan ini
kontradiksi dengan hipotesis bahwa a
untuk setiap
. Dengan
demikian, haruslah bahwa a
.
■
Sebelumnya kita telah dikenalkan dengan bilangan real nonnegatif, yaitu elemen dari himpunan
R
. Jika a
atau
a
maka jelas bahwa
R
a
. Jika
a
tentunya a
, sehingga
R a
. Berdasarkan hal tersebut, akan didefinisikan apa yang disebut sebagai nilai mutlak dari suatu bilangan real.
Nilai mutlak ini akan “me-nonnegatif-kan” bilangan-bilangan real.
Definisi 2.8 Nilai Mutlak. Nilai mutlak dari bilangan real
a
, dinotasikan dengan a
, didefinisikan dengan
, :
, 0.
a a a
a a
Dari Definisi 2.8 tersebut tampak bahwa a
atau
a adalah bilangan
nonnegatif untuk setiap bilangan real
a
. Sebagai contoh, 1
1
,
, dan 2
2
.
Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.
Teorema 2.9. a.
ab a b
untuk setiap
R
b a,
.
b. Misalkan c
dan
R
a ,
a c
jika dan hanya jika
c a
c
.
c. Misalkan c
dan
R
a ,
a c
jika dan hanya jika
a c
atau
a c
.
Bukti.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
33
a. Jika a
atau
b
maka ab
dan
a b
. Jika
, a b
maka ab
,
a a
, dan
b b
, sehingga
ab ab
dan
a b ab
. Jika
a
dan b
maka
ab
, a
a
, dan b
b
, sehingga ab
ab
dan
a b a
b ab
. Untuk kasus
a
dan b
, penyelesaiannya serupa
dengan kasus sebelumnya.
b. Misalkan
a c
. Untuk
a
, kita peroleh a
a c
, sehingga didapat
a c
. Untuk
a
, kita peroleh a
a c
atau
a c
, sehingga
didapat c
a
. Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh
c a
c
. Untuk sebaliknya, misalkan
c a
c
. Hal tersebut mengandung arti c
a
dan a
c
. Dengan kata lain, a
c
dan a
c
. Lebih sederhana, yang demikian dapat dituliskan sebagai
a c
.
c. Misalkan a
c
. Untuk a
, kita peroleh
a a
c
. Untuk a
, kita
peroleh a
a c
atau
a c
. Dengan menggabungkan hasil dari kedua
kasus tersebut, kita peroleh a
c
atau a
c
. Untuk sebaliknya, jika
a c
atau
a c
maka
a c
atau
a c
. Dengan
kata lain, a
c
. ■
Perhatikan kembali sifat nilai mutlak yang terdapat pada Teorema 2.9. Untuk yang bagian a., jika
a b
maka
2 2
a a a
a
. Untuk bagian b., jika c
a
maka a
a a
.
Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang dinamakan dengan Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini mempunyai kegunaan yang
sangat luas di dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
34
Teorema 2.10 Ketidaksamaan Segitiga. Jika
R
b a,
maka a b
a b
dan kesamaan terjadi atau
a b a
b
jika a
kb
, dengan k
.
Bukti. Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jika
R
b a,
maka dapat diperoleh bahwa
a a
a
dan b
b b
. Jika kedua ketidaksamaan ini
kita jumlahkan maka
a b
a b a
b
atau a b
a b
. Bukti untuk
pernyataan berikutnya ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca. ■
Lebih jauh, sebagai konsekuensi dari Teorema 2.10, kita memiliki akibat berikut ini.
Akibat 2.11. Jika
R
b a,
maka
a b
a b
dan a b
a b
.
Bukti. Perhatikan bahwa a
a b b
. Dengan menggunakan ketidaksamaan segitiga,
a a b
b a b
b
atau a
b a b
. Dengan cara yang
serupa dapat kita peroleh bahwa
b b a
a a b
a
. Akibatnya, b
a a b
atau
a b
a b
. Akhirnya, kita memiliki a b
a b
a b
atau
a b
a b
.
Selanjutnya, perhatikan
bahwa
a b a
b a
b a
b
, berdasarkan ketidaksamaan segitiga.
■
Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana konsep terurut dari R
ini diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah-masalah ketidaksamaan.
Contoh 2.12. Tentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaan 4
2 6
x
.
Penyelesaian. Perhatikan bahwa
4 2
4 2
6 4
2 2
6 2 4
8 2
x x
x x
x
.
Tampak bahwa
ketidaksamaan 4
2 6
x
dipenuhi oleh
semua
: 2
x x
x
. ■
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
35
Contoh 2.13. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan
2
6 x
x
.
Penyelesaian. Perhatikan bahwa
2 2
6 6
2 3
x x
x x
x x
. Darinya kita peroleh bahwa
2 x
dan
3 x
, atau
2 x
dan
3 x
.
Untuk kasus yang pertama kita dapatkan 2
x
dan 3
x
, atau dengan kata lain
2 3
x
. Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa 2
x
dan 3
x
. Perhatikan bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada nilai
x
yang memenuhinya. Dengan demikian, ketidaksamaan
2
6 x
x
dipenuhi oleh semua
3 2
:
x x
x R
. ■
Contoh 2.14. Selidiki apakah ketidaksamaan
2 2
2 3
x x
memiliki penyelesaian.
Penyelesaian. Perhatikan bahwa
2 2 2 3
2 3
8 2
2 3
2 3
2 3
x x
x x
x x
x
. Yang demikian berarti
3 8
x
dan 2
3 x
, atau
3 8
x
dan 2
3 x
. Untuk kasus yang pertama kita peroleh
8 3 x
dan
3 2 x
.
Namun hal itu tidak mungkin terjadi, artinya tidak ada
x
yang memenuhi. Untuk kasus yang kedua kita peroleh
8 3 x
dan
3 2 x
, atau dengan kata lain
8 3 3 2
x
. Jadi ketidaksamaan
2 2
2 3
x x
memiliki penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaiannya adalah
2 3
3 8
:
x x
R
. ■
Contoh 2.15. Cari himpunan penyelesaian dari 2
1 5
x
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
36
Penyelesaian. Berdasarkan Teorema 1.9.b., 5
2 1 5
x
atau 6
2 4
x
.
Darinya kita peroleh 3
2 x
. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
2 3
:
x
x R
Bisa juga ketidaksamaan tersebut diselesaikan dengan cara lain. Perhatikan bahwa
2 1,
1 2 2
1 2
1 , 1 2.
x x
x x
x
jika
jika Penyelesaiannya dibagi menjadi dua kasus, yaitu :
Kasus I, x
1 2
. Kita peroleh
2 1
2 1 5
x x
. Akibatnya,
2 4
x
atau 2
x
. Pada kasus ini, himpunan penyelesaian dari
2 1
5 x
adalah
2 2
1 :
2 :
2 1
:
x
x x
x x
x R
R R
l.
Kasus II, x
1 2 .
Kita peroleh
2 1
2 1
2 1 5
x x
x
. Akibatnya,
2 6
x
atau 3
x
. Pada kasus ini, himpunan penyelesaian dari
2 1
5 x
adalah
2 1
3 :
3 :
2 1
:
x
x x
x x
x R
R R
.
Penyelesaian seluruhnya dari 2
1 5
x
adalah himpunan penyelesaian kasus I digabung dengan himpunan penyelesaian kasus II. Akibatnya, kita dapatkan
himpunan penyelesaian
keseluruhan dari
2 1
5 x
adalah
2 3
:
x
x R
. ■
Contoh 2.17. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1
2 x
x
.
Penyelesaian. Sebelum
melangkah jauh
di dalam
menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa
, ,
jika jika
x x
x x
x
dan
1, 1
1 1 ,
1. jika
jika x
x x
x x
Penyelesaiannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu :
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
37
Kasus I, x
1 .
Kita peroleh
x x
dan
1 1
1 x
x x
.
Akibatnya,
1 1
2 x
x x
x
atau 2
3 x
atau
3 2 x
. Pada kasus ini,
himpunan penyelesaian dari 1
2 x
x
adalah
1 2
3 :
1 :
2 3
:
x
x x
x x
x R
R R
.
Kasus II, x
1
.
Kita peroleh x
x
dan 1
1 x
x
. Akibatnya,
1 1
2 x
x x
x
atau 1
2
. Ketidaksamaan 1
2
dipenuhi oleh semua R
x
. Untuk kasus II, himpunan penyelesaian dari
1 2
x x
adalah
1 :
1 :
x x
x x
x R
R R
.
Kasus III, x
0 .
Kita peroleh x
x
dan 1
1 x
x
. Akibatnya,
1 1
2 x
x x
x
atau 2
1 x
atau
1 2 x
. Untuk kasus III, himpunan penyelesaian dari
1 2
x x
adalah
2 1
: 2
1 :
:
x
x x
x x
x R
R R
. Dengan menggabungkan himpunan penyelesaian untuk kasus I, kasus II, dan
kasus III, diperoleh seluruh nilai R
x
yang memenuhi ketidaksamaan 1
2. x
x
, yaitu
2 1
2 3
:
x
x R
. ■
Contoh 2.18. Selidiki apakah ketidaksamaan 3
2 4
x x
memiliki
penyelesaian.
Penyelesaian. Sebelum
melangkah jauh
di dalam
menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa
3, 3
3 3 ,
3. jika
jika x
x x
x x
dan
2, 2
2 2 ,
2. jika
jika x
x x
x x
Penyelesaiannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu :
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
38
Kasus I, x
2 .
Kita peroleh
3 3
3 x
x x
dan
2 2
2 x
x x
. Akibatnya,
3 2
3 2
4 x
x x
x
atau 2
3 x
atau
3 2 x
. Untuk kasus
ini, kita tidak mempunyai penyelesaian dari 3
2 4
x x
karena
2
: 2
3 :
x x
x x
R R
.
Kasus II, x
2
3 .
Kita peroleh
3 3
3 x
x x
dan
2 2
x x
.
Akibatnya,
3 2
3 2
4 x
x x
x
atau 5
4
. Pernyataan ini merupakan sesuatu yang mustahil. Jadi untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian.
Kasus III, x
3 .
Kita peroleh
3 3
x x
dan
2 2
x x
.
Akibatnya,
3 2
3 2
4 x
x x
x
atau 2
5 x
atau
5 2 x
. Untuk kasus ini,
kita tidak mempunyai penyelesaian dari 3
2 4
x x
karena
2
5 :
3 :
x x
x x
R R
.
Secara keseluruhan, kita tidak memiliki solusi untuk ketidaksamaan 3
2 4
x x
.
■
2.3 SIFAT KELENGKAPAN DARI R
