Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
23
f. Penggunaan prinsip induksi matematika secara ceroboh dapat menghasilkan kesimpulan yang salah. Pembaca diharapkan mencari kesalahan pada
“Bukti Teorema” berikut.
Bila
n
sebarang bilangan asli dan bila maksimum dari dua bilangan asli
p dan
q adalah
n
, maka q
p
. akibatnya bila p
dan q
dua bilangan asli sebarang, maka
q p
.
Bukti: Misalkan
S sub himpunan dari bilangan asli sehingga pernyataan tersebut
benar. maka S
1
, karena q
p, di
Ν
dan maksimumnya 1
. Maka maksimum
1
p
dan
1
q
adalah k
, karenanya
1 1
q
p
, karena S
k
, dari sini kita simpulkan
q p
. Jadi
S k
1
dan kita simpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap
Ν
n .
g. Terdapat juga beberapa pernyataan yang benar untuk beberapa bilangan asli, tetapi tidak untuk semua. Sebagai contoh formula
41
2
n
n n
P
memberikan bilangan prima untuk
41 ,...,
3 ,
2 ,
1
n
. Tetapi,
1 P
bukan bilangan prima.
Prinsip induksi matematika memiliki bentuk dalam versi lain yang kadang- kadang sangat berguna. Sering disebut prinsip induksi kuat, walaupun
sebenarnya ekivalen dengan versi terdahulu.
1.3.4. Prinsip Induksi Kuat.
Misalkan S
sub himpunan
Ν
sedemikian hingga S
1
, dan bila
S k
,...,
2 ,
1
maka
S k
1
. Maka
Ν
S .
Bukti ekivalensi prinsip induksi kuat dengan prinsip induksi matematika diserahkan pada pembaca sebagai bahan latihan.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
24
Latihan 1.3.
Buktikan bahwa yang berikut ini berlaku untuk semua
Ν
n 1.
1 1
1 ...
3 .
2 1
2 .
1 1
n n
n n
2.
2 3
3 3
1 2
1 ...
2 1
n
n n
3.
2 1
1 ...
3 2
1
1 2
2
n n
n
4.
n n
5
3
dapat dibagi 6 5.
1 5
2
n
dapat dibagi 8 6.
1 4
5
n
n
dapat dibagi 16. 7. Buktikan bahwa jumlah pangkat tiga dari bilangan asli berurutan,
2 ,
1 ,
n
n n
habis dibagi 9. 8. Buktikan bahwa
n
n 2
untuk semua
Ν
n 9. Tentukan suatu formula untuk jumlah
1 2
1 2
1 ...
5 .
3 1
3 .
1 1
n
n
Dan buktikan dugaan tersebut dengan menggunakan induksi matematika. dugaan terhadap pernyataan matematika, sebelum dibuktikan sering disebut
“Conjecture”
10. Tentukan suatu formula untuk jumlah
n
buah bilangan ganjil pertama
1 2
... 3
1
n
Kemudian buktikan dugaan tersebut dengan menggunakan induksi matematika
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
25
11. Buktikan variasi dari 1.3.2 berikut: misalkan S
subhimpunan tak kosong dari
Ν
sedemikian sehingga untuk suatu
Ν
n
berlaku a
S n
, dan b bila
k dan
S k
, maka
S k
1
. Maka S
memuat himpunan
n n
n
Ν .
12. Buktikan bahwa
2 n
n
Untuk setiap 4
n
, Ν
n
lihat latihan 11. 13. Buktikan bahwa
2
2 3
2
n
n
untuk setiap 5
n
, Ν
n
lihat latihan 11. 14. Untuk bilangan asli yang mana
n
n 2
2
? Buktikan pernyataanmu lihat latihan 11
15. Buktikan bahwa
n n
1 ...
2 1
1 1
untuk setiap
Ν
n .
16. Misalkan S
sub himpunan dari N
sedemikian sehingga a
S
k
2
untuk setiap
N k
, dan b bila
S k
, dan
2
k , maka
S k
1
. Buktikan
Ν
S .
17. Misalkan barisan
n
x
didefinisikan sebagai berikut:
1
1
x
,
2
2
x
, dan
n n
n
x x
x
1 2
2 1
untuk N
n
. Gunakan prinsip induksi kuat 1.3.4. untuk menunjukkan
2 1
n
x
untuk setiap
Ν
n .
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
26
BAB II
HIMPUNAN BILANGAN REAL
ab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika yang
memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap. Yang dimaksud dengan sistem bilangan real sebagai suatu lapangan di sini
adalah bahwa pada himpunan semua bilangan real R
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari lapangan. Sifat
terurut dari R
berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang lengkap berkaitan dengan konsep
supremum atau batas atas terkecil. Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, seperti Teorema Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema
Nilai Tengah, Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas sifat kelengkapan dari
R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan
konsep limit dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari
R
mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real. Bab ini terdiri dari beberapa sub bab. Sub bab 2.1 membahas sifat lapangan dari
R . Sub bab 2.2 menjelaskan sifat terurut dari
R , dan di dalamnya dibahas juga
tentang konsep nilai mutlak. Pada sub bab 2.3 didiskusikan tentang sifat kelengkapan dari
R . Pada sub bab ini dibahas mengenai sifat Archimedean dan
sifat kerapatan dari himpunan bilangan rasional. Selanjutnya, sub bab 2.4, menjelaskan tentang interval, sebagai suatu himpunan bagian dari
R yang
dikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari R
. Yang terakhir, sub bab 2.5 membahas tentang representasi desimal dari bilangan real. Pada sub bab ini,
juga dipaparkan
bagaimana membuktikan
Teorema Cantor
dengan menggunakan konsep representasi desimal dari bilangan real ini. Teorema
Cantor mengatakan bahwa himpunan
R
merupakan himpunan yang tak terhitung uncountable.
B
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
27
2.1 Sifat Aljabar dari R
