Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
64
1 1
1 1
1 1
lim lim
1 1
1 2
2 2
n n
n n
n n
x x
x x
x x
x
.
Jadi barisan bilangan real X
konvergen ke 1. ■
3.3 TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
Pada bagian ini kita akan membahas Teorema Bolzano-Weierstrass, yang memberikan syarat cukup suatu barisan bilangan real memiliki sub barisan yang
konvergen. Tetapi, sebelumnya, kita akan membahas terlebih dahulu tentang eksistensi sub barisan yang monoton dari suatu barisan bilangan real.
Terema 3.15 Teorema Sub Barisan Monoton. Setiap barisan bilangan real
memiliki sub barisan yang monoton.
Bukti. Misalkan
N
n
x X
n
: :
adalah barian bilangan real. Definisikan
n k
x X
k n
: :
. Untuk setiap N
n
, bisa saja
n
X
memiliki suku terbesar, namun, bisa juga tidak.
Kasus I, untuk setiap N
n
,
n
X
memiliki suku terbesar. Misalkan
1
n
s adalah
suku terbesar dari
1
X
. Selanjutnya, perhatikan
1
1 n
X
. Misalkan
2
n
x adalah suku
terbesar dari
1
1 n
X
. Jelas bahwa
1 2
n n
x x
dengan
1 2
n n
. Kita juga bisa mendapatkan
3
n
s yang merupakan suku terbesar dari
2
1 n
X
. Jelas pula bahwa
2 3
n n
x x
dengan
2 3
n n
. Jika proses ini terus dilanjutkan maka kita akan dapatkan
1 2
3 1
... ...
k k
n n
n n
n
x x
x x
x
dengan
1 2
3 1
... ...
k k
n n
n n
n
. Jadi kita dapatkan barisan
N
k x
k
n
: merupakan sub barisan dari
N
n
x X
n
: :
yang monoton turun.
Kasus II, tidak semua
n
X
memiliki suku terbesar. Misalkan
N
1
n
sedemikian sehingga
1
n
X tidak memiliki suku terbesar. Definisikan suatu
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
65
himpunan bagian dari
1
n
X , yakni
1
1
: :
,
n n
n
I x
n n x
x
. Jelas Himpunan
I
karena
1
n
X tidak memiliki suku terbesar. Misalkan
N
2
n
sedemikian sehingga
2 1
1
min :
,
n n
n n
x x
n n x
x
. Misalkan
N
3
n
sedemikian sehingga
3 1
1 2
min :
, ,
n n
n n
x x
n n n
n x x
. Misalkan pula
N
4
n
sedemikian sehingga
4 1
1 2
3
min :
, ,
,
n n
n n
x x
n n n
n n n x
x
. Jika proses tersebut terus dilanjutkan maka kita akan mendapatkan
1 2
3 1
.. ...
k k
n n
n n
n
x x
x x
x
dengan
1 2
3 1
... ...
k k
n n
n n
n
. Jadi kita dapatkan barisan
N
k x
k
n
: merupakan sub barisan dari
N
n
x X
n
: :
yang monoton naik.
Jadi barisan bilangan real
N
n
x X
n
: :
memiliki sub barisan yang monoton. ■
Misalkan
N
k
x X
k
n
: adalah sub barisan yang monoton dari barisan
bilangan real
N
n
x X
n
: :
yang terbatas. Karena X
terbatas maka X
terbatas juga. Menurut Teorema Kekonvergenan Monoton, X
adalah barisan yang konvergen. Jadi kita memperoleh suatu fakta, biasa dikenal sebagai
Teorema Bolzano-Weierstrass untuk barisan, yaitu Teorema 3.16. Barisan bilangan real yang terbatas memiliki sub barisan yang
konvergen.
3.4 KRITERIA CAUCHY
