Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
81
Teorema 4.3.
Misalkan
R
A
dan R
c
, c titik timbun A jika dan hanya jika
c a
n c
a a
n n
n n
lim ,
, N
. Bukti:
Misal c titik timbun A. Sehingga
1
c V
n
memuat sedikitnya satu titik di A yang berbeda
dari c.
Jika
n
a
titik tersebut,
maka
c a
n c
a A
a
n n
n n
lim ,
, N
.
Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ■
4.2 Definisi Limit Fungsi Definisi 4.4.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Misalkan L limit dari
f di
titik c,
ditulis
L x
f
c x
lim
jika
,
,
untuk
A c
c V
x
}
{
berlaku
L V
x f
.
Definisi limit
di atas
dapat ditulis
L x
f
c x
lim
jika dan
hanya jika
,
,
untuk
c
x dan
A x
berlaku
L
x f
.
Contoh 4.5
1. Misalkan
x x
f A
f n
n A
2 ,
: ,
: 1
R R
. Buktikan
lim
x f
x
. Bukti:
Ambil
sebarang. Pilih 2
, Sehingga jika
x x
dan A
x
berlaku
2 2
2 2
2 2
x x
x L
x f
. Jadi terbukti
2 lim
x
x
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
82
2. Buktikan
2 2
lim c
x
c x
. Analisa pendahuluan
Tujuan pembuktian
ini mencari
sehingga untuk
A x
c x
, ,
berlaku
2 2
c x
. Perhatikan bahwa
c x
c x
c x
c x
c x
2 2
. Jika diambil
1
maka 1
c
x .
Menurut pertidaksamaan segitiga 1
c x
c x
atau c
x
1 .
Sehingga
c x
c c
x c
x c
x
2 1
2 2
, Dengan mengambil
c 2
1
maka diperoleh
2 2
c x
. Bukti:
Ambil
sebarang. Pilih
c 2
1 ,
1 min
, Sehingga jika
c
x dan
R
x berlaku
c
x c
c x
c x
c x
2 1
2 2
Jadi terbukti
2 2
lim c
x
c x
. ■
Teorema 4.6.
Jika
R
A f :
dan c titik timbun A , R
c
maka f hanya mempunyai satu limit di titik c.
Selanjutnya akan dibicarakan kaitan antara barisan dengan limit fungsi dan kriteria kedivergenan.
Teorema 4.7 Kriteria Barisan untuk Limit.
Misalkan
R
A f :
dan c titik timbun A , maka
L x
f
c x
lim
jika dan hanya jika untuk setiap barisan x
n
di A yang konvergen ke c dimana
, ,
n n
x f
n c
x N
konvergen ke L. Bukti dari teorema 4.6 dan 4.7 diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
83
Contoh 4.8.
Buktikan
4 lim
2 2
x
x
dengan menggunakan kriteria barisan. Bukti:
Ambil
n n
x
n
, 1
2 . Akan ditunjukkan
n
x f
konvergen ke 4. Perhatikan bahwa
4 1
4 4
lim lim
2 2
2
n n
x f
x n
x
. Jadi terbukti bahwa
4 lim
2 2
x
x
. ■
Teorema 4.9 Kriteria Kedivergenan.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. a Jika
R
L maka f tidak punya limit L di c jika dan hanya jika ada barisan
x
n
di A yang konvergen ke c dimana
, ,
n c
x
n
tetapi
n
x f
tidak konvergen ke L.
b f tidak punya limit di c jika dan hanya jika ada barisan x
n
di A yang konvergen ke c dimana
, ,
N
n c
x
n
tetapi
n
x f
tidak konvergen ke
R
.
Contoh 4.10.
1. Buktikan x
x
1 lim
tidak ada di
R .
Bukti: Misalkan
x x
f 1
.
Ambil
N
n
n x
n
, 1
2
. Tetapi
2 2
1 1
n n
x f
n
,sehingga
n
x f
tidak konvergen karena tidak terbatas
di
. Jadi terbukti bahwa x
x
1 lim
tidak ada di R
.
2. Buktikan
sgn lim
x
x
tidak ada. Bukti:
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
84
Misalkan fx = sgn x. Perhatikan bahwa
, 1
, ,
1 sgn
x x
x x
.
Sehingga fungsi sgn x dapat ditulis menjadi
, sgn
x x
x x
.
Ambil
N
n n
x
n n
, 1
. Tetapi
n n
n n
n n
n
n n
x x
x x
f 1
1 1
sgn
,
sehingga
n
x f
divergen. ■
4.3 Teorema Limit Definisi 4.11.
