Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
68
terdapat
K
sedemikian sehingga untuk setiap
K
k
berlaku
2
x
x
k
n
. Misalkan
K
N maks
H ,
:
dan
,... ,
2 1
n n
H
. Karenanya,
2
x
x
H
. Untuk
H
n
kita mempunyai
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
H H
n H
H n
n
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
N
n
x X
n
:
adalah barisan yang konvergen ke
x
. ■
3.5 BARISAN DIVERGEN
Coba perhatikan kembali Definisi 3.17, definisi tentang barisan bilangan real Chauchy. Definisi tersebut ekuivalen dengan pernyataan bahwa suatu barisan
bilangan real divergen jika dan hanya jika barisan tersebut bukanlah barisan Cauchy. Itu artinya untuk suatu
tidak terdapat
K sedemikian
sehingga untuk setiap
K m
n
,
berlaku
m n
x x
. Akibatnya, untuk setiap
N
k terdapat
k m
n
,
berlaku
m n
x x
.
Perhatikan barisan bilangan real
N
n Z
n
: 1
1
. Ambil
1
. Untuk k
n
dan 1
k
m berlaku
1 2
1 1
1 1
k k
k k
m n
x x
x x
. Jadi untuk setiap
N
k terdapat
k m
n
,
sedemikian sehingga 1
m n
x x
. Dengan kata lain,
N
n Z
n
: 1
1
adalah barisan yang divergen.
Lihat kembali barisan
N
n
n x
X
n
: 1
2
yang merupakan barisan yang divergen. Misalkan diberikan sembarang bilangan
M
. Kita peroleh selalu ada
N
n sehingga
n
x M
, yakni untuk
1 2 n
M
. Barisan ini dikatakan
divergen menuju tak hingga positif
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
69
Bagaimana halnya dengan barisan
N
n n
s S
n
: 1
2
. Barisan S
juga adalah barisan yang divergen, karena setiap kita mengambil
M
selalu dapatkan
N
n sehingga
n
s M
, yakni untuk
1 2 n
M
. Barisan ini
dikatakan divergen menuju tak hingga negatif
.
Sekarang pehatikan barisan
1
1, 1,1, 1,..., 1
,...
n
Z
. Telah ditunjukkan
bahwa barisan ini juga merupakan barisan yang divergen. Suku-suku barisan ini nilainya berosilasi atau berubah-ubah, secara berselang-seling dan terus-
menerus tanpa henti, antara 1 atau -1. Barisan ini divergen tetapi tidak menuju ke
maupun
. Dari tiga contoh barisan divergen di atas, kita dapat membuat definisi formal
barisan yang divergen.
Definisi 3.22. Misalkan
N
n
x X
n
:
adalah barisan bilangan real. Barisan X
dikatakan divergen menuju
jika untuk setiap M
terdapat
N M
sehingga untuk setiap
n N M
berlaku
n
x M
n
x M
.
Definisi 3.23. Jika
N
n
x X
n
:
adalah barisan bilangan real yang divergen tetapi tidak menuju ke
maupun
maka
N
n
x X
n
:
adalah barisan bilangan real yang divergen secara berosilasi.
Berdasarkan Teorema 3.7 dan Teorema Kekonvergenan Monoton, barisan bilangan real yang monoton adalah barisan yang konvergen jika dan hanya jika
barisan tersebut adalah barisan yang terbatas. Dengan kata lain, barisan bilangan real yang monoton adalah barisan yang divergen jika dan hanya jika
barisan itu adalah barisan yang tidak terbatas. Dapat ditunjukkan jika suatu barisan adalah tak terbatas dan naik maka limit barisan tersebut menuju positif
tak hingga. Jika suatu barisan adalah tak terbatas dan turun maka limit barisan itu menuju negatif tak hingga.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
70
Ada cara lain untuk menunjukkan bahwa suatu barisan bilangan real adalah barisan yang divergen. Teorema berikut, dinamakan Teorema Perbandingan,
menjelaskan kondisi yang membuat suatu barisan dikatakan sebagai barisan yang divergen.
Teorema 3.24. Jika
