Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
5
1.1.5. Definisi
Misalkan A
dan B
suatu himpunan, maka komplemen dari B
relatif terhadap A
, dituliskan dengan B
A \ baca “
A minus
B ” adalah himpunan yang unsur-
unsurnya adalah semua unsur di A
tetapi bukan anggota B
. Dibeberapa buku ditulis menggunakan notasi
B A
atau
A B
.
B x
an A
x x
B A
d
\ ■
Seringkali A
tidak dinyatakan
secara eksplisit,
karena sudah
dimengertidisepakati. Dalam situasi begini B
A \ sering dituliskan dengan
A C
.
1.1.6. Teorema
Misalkan
C B
A ,
,
sebarang himpunan, maka
\ \
\ C
A B
A C
B A
,
\ \
\ C
A B
A C
B A
. Bukti:
Kita akan membuktikan kesamaan pertama dan meninggalkan bagian kedua pada pembaca sebagai bahan latihan.
Untuk menunjukkan
\ \
\ C
A B
A C
B A
, berarti yang harus ditunjukkan
adalah:
\ \
\ C
A B
A C
B A
dan
\ \
\ C
A B
A C
B A
Akan ditunjukkan
\ \
\ C
A B
A C
B A
Ambil sebarang
\ C
B A
x
, maka A
x
dan
C B
x
, ini berarti bahwa
x
di A
tetapi
x
bukan unsur B
atau C
, karenanya
x
di A
tetapi
x
tidak di B
dan
x
di A
tetapi
x
tidak di C
, sehingga dapat dituliskan
B A
x \
dan
C A
x \
, hal ini berarti bahwa
C A
B A
x \
\
, sehingga terbuktilah bahwa
\ \
\ C
A B
A C
B A
Akan ditunjukkan
\ \
\ C
A B
A C
B A
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
6
Ambil sebarang
\ \
C A
B A
y
, maka
B A
y \
dan
C A
y \
, maka
A y
tetapi
B y
dan
A y
tetapi
C y
. Jadi
A y
tetapi bukan anggota dari
B atau
C . Akibatnya
A y
dan
C B
y
, ini berarti
\ C
B A
y
, sehingga terbukti bahwa
\ \
\ C
A B
A C
B A
. Dari
dua bukti
diatas dapat
disimpulkan bahwa
\ \
\ C
A B
A C
B A
.
Produk hasil kali kartesius
Berikut ini kita definisikan produk kartesius yang akan kita gunakan pada pembahasan tentang fungsi pada bagian selanjutnya.
1.1.7. Definisi
Bila A
dan B
keduanya adalah himpunan-himpunan tak kosong, maka produk kartesius dari
A dan
B yang selanjutnya akan kita tuliskan menggunakan notasi
B A
adalah himpunan pasangan berurut
b a,
dengan A
a
dan B
b
B b
an A
a b
a B
A
d
, ■
Sehingga bila
3 ,
2 ,
1
A
dan
5 ,
4
B
, maka
5 ,
3 ,
4 ,
3 ,
5 ,
2 ,
4 ,
2 ,
5 ,
1 ,
4 ,
1
B A
Latihan 1.1.
1. Gambarkan diagram yang menyatakan masing-masing himpunan pada Teorema 1.1.4
2. Buktikan teorema 1.1.4. 3. Buktikan bahwa
B A
jika dan hanya jika A
B A
. 4. Tunjukkan bahwa himpunan
D yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari
tepat satu himpunan A
atau B
diberikan oleh
A B
B A
D \
\
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
7
Himpunan D
ini sering disebut selisih simetris dari A
dan B
. Nyatakan dalam diagram.
5. Tunjukkan bahwa selisih simetris D
pada soal nomor 4, juga diberikan oleh:
B A
B A
D
\
6. Jika
B A
tunjukkan
B A
A B
\ \
7. Diberikan himpunan A
dan B
, tunjukkan bahwa B
A
dan B
A \ saling
asing dan bahwa
B A
B A
A \
. 8. Diberikan sebarang himpunan
A dan
B , tunjukkan
B A
A B
A \
\
. 9. Bila
n
A A
A ,...,
,
2 1
suatu koleksi himpunan, dan E
sebarang himpunan, tunjukkan bahwa
n j
j n
j j
A E
A E
1 1
, dan
n j
j n
j j
A E
A E
1 1
.
10. Mengacu pada soal nomor 9 tunjukkan bahwa
n j
j n
j j
A E
A E
1 1
, dan
n j
j n
j j
A E
A E
1 1
. 11. Mengacu pada soal nomor 9 buktikan hukum de morgan
n j
n j
j j
A E
A E
1 1
\ \
,
n j
j n
j j
A E
A E
1 1
\ \
Catatan bila
j
A E \
dituliskan dengan
j
A C
, maka kesamaan diatas mempunyai bentuk
n j
j n
j j
A A
1 1
C
C
,
n j
j n
j j
A A
1 1
C
C
12. Misalkan J
suatu himpunan dan untuk setiap
J j
,
j
A termuat di
E .
Tunjukkan bahwa
J j
j J
j j
A A
C
C
,
J j
j J
j j
A A
C
C
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
8
13. Bila
1
B
dan
2
B
subhimpunan dari B
dan
2 1
B B
B
tunjukkan bahwa
2 1
B A
B A
B A
1.2 FUNGSI Pada bagian ini kita akan membahas gagasan fundamental suatu fungsi
Kategori