Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
94
2
,
x f
x f
c x
A x
atau
c
f x
f x
f
.
Sekarang misalkan A
c
dan
c
f
. Karena Karena f kontinu di A
c
maka
c f
c f
x f
c x
A x
,
. Perhatikan bahwa
c x
A x
, berlaku
c f
c f
c f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
Jadi terbukti f
kontinu di titik c. ■
Pada teorema 5.7 membahas tentang perkalian dua fungsi kontinu adalah kontinu. Selanjutnya akan dibahas tentang komposisi fungsi kontinu.
Komposisi Fungsi Kontinu Teorema 5.11.
Misal
B A
f B
g A
f B
A
, :
, :
, ,
R R
R
. Jika f kontinu di titik A
c
dan g kontinu pada
B c
f b
maka
R
A f
g :
kontinu di titik c.
Teorema 5.12.
Misal
B A
f B
g A
f B
A
, :
, :
, ,
R R
R
. Misalkan f kontinu pada A dan g kontinu pada B . Jika
B A
f
maka
R
A f
g :
kontinu pada A. Bukti teorema 5.11 dan 5.12 diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
5.3 Fungsi Kontinu pada Interval Definisi 5.13.
Misal
R
A f :
. f dikatakan terbatas pada A jika A
x M
x f
M
,
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
95
Dari definisi di atas dapat dikatakan suatu fungsi dikatakan terbatas jika range fungsi tersebut terbatas di
R
. Ingat bahwa fungsi kontinu tidak selalu terbatas, contohnya pada
} :
{ ,
1
x
x A
x x
f R
, f kontinu pada A tetapi tidak terbatas pada A.
Jika }
1 :
{ ,
1
x x
B x
x f
R juga f kontinu pada B tetapi f tidak
terbatas pada B. Sedangkan jika }
1 :
{ ,
1
x
x C
x x
f R
f kontinu pada C dan f terbatas pada C, meskipun C tidak terbatas.
Teorema 5.14 Keterbatasan.
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan misalkan
R
I f :
kontinu pada I. Maka f terbatas pada I.
Bukti:
Andaikan f tidak terbatas pada I, maka N
n n
x f
I x
n n
, . Karena I
terbatas maka X = x
n
terbatas, sehingga menurut teorema Bolzano-Weistrass ada subbarisan yang konvergen, sebut
nr
x X
yang konvergen ke x. Karena I
X
maka menurut teorema
I x
.
Dari hipotesis di atas diketahui f kontinu pada I, sehingga menurut teorema 5.3
r
n
x f
konvergen ke fx. Menurut teorema suatu barisan konvergen adalah terbatas, maka
r
n
x f
terbatas. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa
R
r r
n x
f
r n
r
,
. Jadi pengandaian salah haruslah f terbatas pada I. ■
Definisi 5.15
Misalkan
R R
A f
A :
,
. f mempunyai maksimum absolut pada A jika ada
A x
x f
x f
A x
,
dan f mempunyai minimum absolut pada A jika
ada
A x
x f
x f
A x
,
. x disebut titik maksimum absolut dan
x
disebut titik minimum absolut.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
96
Teorema 5.16 Maksimum-Minimum.
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan misalkan
R
I f :
kontinu pada I. Maka f mempunyai maksimum absolut dan minimum absolut pada I.
Bukti :
Misalkan
} ,
{ I
x x
f I
f
. Karena I interval tertutup terbatas maka fI juga terbatas pada
R , sehingga fI mempunyai supremum dan infimum, sebut s =
sup fI dan
inf I
f s
. Akan dibuktikan
, x
f s
x f
s I
x x
. Karena s = sup fI maka
N
n n
s ,
1 bukan batas atas fI. Sehingga
N
n s
x f
n s
I x
n n
, 1
.
Karena I terbatas maka X = x
n
juga terbatas, sehingga menurut Teorema Bolzano-Weistrass ada subbarisan
r
n
x X
yang konvergen ke x. Karena f kontinu di x maka
lim x
f x
f
r
n n
sehingga
r
s x
f n
s
r
n r
, 1
.
Karena lim
1 lim
s s
n s
n r
n
maka menurut
teorema apit
lim s
x f
r
n n
. Sehingga
sup lim
I f
s x
f x
f
r
n n
. Akibatnya fx mempunyai absolut maksimum.
■
Teorema 5.17 Lokasi Akar.
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan misalkan
R
I f :
kontinu pada I. Jika
, ,
f f
I
atau
f f
maka
,
c
f c
. Bukti dari teorema lokasi akar diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
97
Teorema 5.18 Niai Tengah Bolzano’s.
Misal I = [a,b] interval dan misalkan
R
I f :
kontinu pada I. Jika
I b
a
,
dan jika
R
k yang memenuhi
b f
k a
f
maka
k c
f b
a c
,
. Bukti:
Misal
I b
a
,
dan
b f
k a
f
, R
k
.
Misalkan a b dan misalkan gx = fx – k. Karena
b f
k a
f
maka
b g
a g
. Karena fx kontinu pada I maka gx juga kontinu pada
I, sehingga
menurut teorema
lokasi akar
k c
f c
g b
c a
b a
c
,
,
.Jadi fc = k.
Misalkan b a dan misalkan hx = k - fx. Karena
b f
k a
f
maka
a h
b h
. Karena fx kontinu pada I maka hx juga kontinu pada I, sehingga
menurut teorema
lokasi akar
, ,
c f
k c
h a
c b
b a
c
.Jadi fc = k. ■
Akibat 5.19.
Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan misalkan
R
I f :
kontinu pada I. Jika
k yang memenuhi
sup inf
I f
k I
f
maka
k c
f I
c
.
5.4 Kekontinuan Seragam Definisi 5.20.
