Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
31
Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang berkaitan dengan sifat terurut
dari R
.
Definisi 2.5. Misalkan
R
b a,
.
a. Jika
R b
a
maka a
b
atau b
a
.
b. Jika
R b
a
maka a
b
atau b
a
.
Sifat Trichotomy dari R
mengakibatkan bahwa untuk sembarang
R
b a,
berlaku salah satu dari a
b
, a
b
, atau a
b
. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa jika
a b
dan
a b
maka
a b
. Dari sifat terurut, dapat juga diperoleh
fakta-fakta berikut ini.
Teorema 2.6. Misalkan
R
c b
a , ,
.
a. Jika a
b
dan b
c
maka
a c
.
b. Jika a
b
maka a
c b c
.
c. Jika a
b
dan c
maka
ac bc
. Jika
a b
dan
c
maka ac
bc
.
d. Jika ab
maka
a
dan b
, atau
a
dan b
.
e. Jika ab
maka
a
dan b
, atau
a
dan b
.
Bukti Teorema 2.6.a-2.6.b menggunakan definisi 2.5 dan Teorema 2.6.d-2.6.e menggunakan sifat Trichotomy. Bukti Teorema tersebut ditinggalkan sebagai
latihan bagi para pembaca. Jika kita mengambil sembarang
a
maka
1 2
a
dan
1 2
a a
. Hal ini mengandung arti setiap kita mengambil bilangan positif pasti selalu didapat
bilangan positif lain yang lebih kecil daripadanya. Dengan kata lain, tidak terdapat bilangan positif yang terkecil. Pernyataan ini merupakan maksud dari teorema
berikut ini.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
32
Teorema 2.7. Jika R
a
dan a
untuk setiap
maka
a
.
Bukti. Andaikan a
. Pilih
1 2
a
. Kita peroleh a
. Pernyataan ini
kontradiksi dengan hipotesis bahwa a
untuk setiap
. Dengan
demikian, haruslah bahwa a
.
■
Sebelumnya kita telah dikenalkan dengan bilangan real nonnegatif, yaitu elemen dari himpunan
R
. Jika a
atau
a
maka jelas bahwa
R
a
. Jika
a
tentunya a
, sehingga
R a
. Berdasarkan hal tersebut, akan didefinisikan apa yang disebut sebagai nilai mutlak dari suatu bilangan real.
Nilai mutlak ini akan “me-nonnegatif-kan” bilangan-bilangan real.
Definisi 2.8 Nilai Mutlak. Nilai mutlak dari bilangan real
a
, dinotasikan dengan a
, didefinisikan dengan
, :
, 0.
a a a
a a
Dari Definisi 2.8 tersebut tampak bahwa a
atau
a adalah bilangan
nonnegatif untuk setiap bilangan real
a
. Sebagai contoh, 1
1
,
, dan 2
2
.
Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.
Teorema 2.9. a.
ab a b
untuk setiap
R
b a,
.
b. Misalkan c
