Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
65
himpunan bagian dari
1
n
X , yakni
1
1
: :
,
n n
n
I x
n n x
x
. Jelas Himpunan
I
karena
1
n
X tidak memiliki suku terbesar. Misalkan
N
2
n
sedemikian sehingga
2 1
1
min :
,
n n
n n
x x
n n x
x
. Misalkan
N
3
n
sedemikian sehingga
3 1
1 2
min :
, ,
n n
n n
x x
n n n
n x x
. Misalkan pula
N
4
n
sedemikian sehingga
4 1
1 2
3
min :
, ,
,
n n
n n
x x
n n n
n n n x
x
. Jika proses tersebut terus dilanjutkan maka kita akan mendapatkan
1 2
3 1
.. ...
k k
n n
n n
n
x x
x x
x
dengan
1 2
3 1
... ...
k k
n n
n n
n
. Jadi kita dapatkan barisan
N
k x
k
n
: merupakan sub barisan dari
N
n
x X
n
: :
yang monoton naik.
Jadi barisan bilangan real
N
n
x X
n
: :
memiliki sub barisan yang monoton. ■
Misalkan
N
k
x X
k
n
: adalah sub barisan yang monoton dari barisan
bilangan real
N
n
x X
n
: :
yang terbatas. Karena X
terbatas maka X
terbatas juga. Menurut Teorema Kekonvergenan Monoton, X
adalah barisan yang konvergen. Jadi kita memperoleh suatu fakta, biasa dikenal sebagai
Teorema Bolzano-Weierstrass untuk barisan, yaitu Teorema 3.16. Barisan bilangan real yang terbatas memiliki sub barisan yang
konvergen.
3.4 KRITERIA CAUCHY
Teorema Kekonvergenan Monoton memberikan jaminan atau syarat cukup barisan bilangan real yang monoton adalah barisan yang konvergen. Bagaimana
halnya dengan barisan yang tidak monoton ? Apakah masih memungkinkan
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
66
menjadi barisan yang konvergen ? Penjelasan yang akan hadir berikut ini memberikan syarta perlu dan syarat cukup suatu barisan bilangan real yang tidak
monoton adalah barisan yang konvergen.
Definisi 3.17. Barisan bilangan real
N
n
x X
n
: :
dikatakan sebagai barisan Cauchy jika untuk setiap
terdapat bilangan real
N
sedemikian
sehingga untuk setiap
N
m n
,
berlaku
n m
x x
.
Contoh 3,18. Kita akan menunjukkan bahwa barisan bilangan real
N
n n :
1
2
adalah barisan Cauchy. Diberikan
. Pilih
2 N
. Akibatnya, jika
, n m
N
maka
, 2
n m
atau
2 2
1 ,1
2 n
m
. Dengannya, kita dapatkan untuk
, n m
N
, berlaku
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
n m
n m
n m
. Karena
yang diberikan sembarang, maka barisan bilangan real
N
n n :
1
2
adalah barisan Cauchy. ■
Contoh 3.19.
Akan kita
perlihatkan bahwa
barisan bilangan
real
N
n X
n
: 1
bukanlah barisan Cauchy. Negasi dari definisi barisan Cauchy adalah terdapat
sedemikian sehingga untuk setiap
N
terdapat
, n m
N
yang memenuhi
n m
x x
. Misalkan
1 2
. Perhatikan bahwa
1
2 1 2
n n
x x
. Jadi untuk setiap
N
kita selalu
bisa mendapatkan
, n m
N
dengan
1 m
n
sehingga
1
1 2
n n
x x
. Jadi barisan
N
n X
n
: 1
bukanlah barisan Cauchy. ■
Lema 3.20. Barisan bilangan real Cauchy adalah barisan yang terbatas. Bukti. Misalkan
N
n
x X
n
:
adalah barisan Cauchy. Yang demikian berarti jika diberikan
maka terdapat
N
sedemikian sehingga untuk setiap
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
67
N
m n
,
berlaku
m n
x x
. Akibatnya,
N n
x x
untuk setiap
N
n
. Darinya, kita memperoleh
N n
x x
untuk setiap
N
n
. Misalkan
N
N
x x
x x
maks M
, ,....,
, :
1 2
1
. Untuk setiap
N
n , kita memilki
M x
n
. Jadi
N
n
x X
n
:
adalah barisan yang terbatas.
■
Selanjutnya, kita akan melihat bahwa setiap barisan bilangan real Cauchyi adalah barisan yang konvergen dan setiap barisan bilangan real yang konvergen
adalah barisan Cauchy.
Teorema 3.21. Suatu barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika
barisan itu adalah barisan Cauchy.
Bukti. Kita akan buktikan syarat perlunya terlebih dahulu. Misalkan
N
n
x X
n
:
adalah barisan yang konvergen. Karenanya, jika diberikan
maka terdapat
N
sedemikian sehingga untuk setiap
N
n
berlaku 2
x
x
n
. Berdasarkan pertidaksamaan segitiga, untuk setiap
N
m n
,
berlaku
2 2
m n
m n
m n
x x
x x
x x
x x
x x
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
N
n
x X
n
:
adalah barisan Cauchy.
Berikutnya, kita akan membuktikan syarat cukupnya. Misalkan
N
n
x X
n
:
adalah barisan Cauchy. Itu berarti bahwa jika diberikan
maka terdapat
N
sedemikian sehingga untuk setiap
N
m n
,
berlaku 2
m n
x x
. Menurut Lema 3.20,
N
n
x X
n
:
adalah barisan yang terbatas, dan menurut Teorema Bolzano-weierstrass,
N
n
x X
n
:
mempunyai sub barisan
N
k
x X
k
n
: yang konvergen ke
x
. Yang demikian mengandung arti bahwa
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
68
terdapat
K
sedemikian sehingga untuk setiap
K
k
berlaku
2
x
x
k
n
. Misalkan
K
N maks
H ,
:
dan
,... ,
2 1
n n
H
. Karenanya,
2
x
x
H
. Untuk
H
n
kita mempunyai
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
H H
n H
H n
n
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
N
n
x X
n
:
adalah barisan yang konvergen ke
x
. ■
3.5 BARISAN DIVERGEN
