Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
51
Kasus III, S
adalah himpunan yang tidak terbatas atas tetapi terbatas bawah.
Dengan cara yang serupa, seperti pada kasus II, dapat ditunjukkan bahwa
, S
a
atau
, S
a
dengan
a
adalah infimum dari S
.
Kasus IV, S
adalah himpunan yang tidak terbatas.
Berdasarkan hipotasis, jelas bahwa
R
S
. Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa
S
R
. Misalkan R
z
. Karena S
tidak terbatas, maka
z
bukanlah batas bawah dan batas atas dari
S . Akibatnya, terdapat
,
z z
x y S
sedemikian sehingga
z
x z
dan
z
z y
. Darinya, kita memiliki
,
z z
z x y
. Menurut hipotesis,
,
z z
x y S
. Akibatnya,
z S
. Karena hal ini berlaku untuk sembarang
R
z ,
maka
S
R
. Dengan demikian, S
R
. Jadi, secara keseluruhan, telah ditunjukkan bahwa
S merupakan suatu interval
di R
. ■
2.5 REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN REAL
Semua bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk lain yang disebut sebagai bentuk desimal. Misalkan
0,1 x
. Jika kita membagi interval
0,1 menjadi 10
sub interval yang sama panjangnya, maka
1 1
10, 1 10
x b
b
untuk suatu
1
0,1, 2,..., 9 b
. Jika kita membagi lagi interval
1 1
10, 1 10
b b
menjadi 10 sub
interval yang
sama panjangnya,
maka
2 2
1 2
1 2
10 10 ,
10 1 10
x b
b b
b
untuk suatu
2
0,1, 2,..., 9 b
. Jika
proses tersebut terus dilanjutkan maka kita akan memperoleh barisan
n
b dengan
9
n
b
, untuk semua N
n
, sedemikian sehingga
x
memenuhi
1 2
1 2
2 2
1 ...
... 10
10 10
10 10
10
n n
n n
b b
b b
b b
x
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
52
Representasi desimal dari
0,1 x
adalah
1 2
0, ... ...
n
b b b
. Jika 1
x
dan N
N
sedemikian sehingga 1
N x
N
maka representasi desimal dari 1
x
adalah
1 2
, ... ...
n
N b b b
dengan
1 2
0, ... ...
n
b b b
adalah representasi desimal dari
0,1 x
N
.
Sebagai contoh, kita akan menentukan bentuk desimal dari 17. Jika
0,1 dibagi
menjadi 10 sub interval yang sama panjang maka
1 7 110, 1 1 10
. Jika
110, 1 1 10
dibagi menjadi 10 sub interval yang sama panjang maka
2 2
1 7 110 4 10 ,110
4 1 10
. Selanjutnya,
akan kita
peroleh
2 3
2 3
1 7 110 4 10
2 10 ,110 4 10 2 1 10
. Jika proses ini terus dilanjutkan akan kita dapatkan bahwa
1 7 0,142857142857...142857...
.
Representasi desimal dari suatu bilangan real adalah unik, kecuali bilangan- bilangan real berbentuk
10
n
m
dengan
, m n
dan
1 10
n
m
. Sebagai contoh, representasi decimal dari 12 adalah 0,4999… atau 0,5000… Coba
pembaca periksa mengapa yang demikian bisa terjadi. Contoh lain, 18=0,124999...=0,125000... .
Coba perhatikan
kembali representasi
decimal dari
17 yaitu
0,142857142857...142857...
. Terdapat pengulangan deretan angka 142857 pada representasi desimal dari 17. Representasi desimal yang demikian disebut
reperesentasi desimal periodik dengan periode
6 p
yang menunjukkan jumlah deretan angka yang berulang. Dapat ditunjukkan bahwa bilangan real positif
adalah rasional jika dan hanya jika representasi desimalnya adalah periodik lihat Bartle-Sherbert [1].
Dengan menggunakan representasi desimal dari bilangan real ini, kita akan membuktikan Teorema Cantor yang mengatakan bahwa himpunan semua
bilangan real
adalah tak terhitung uncountable.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
53
Teorema 2.37. Interval satuan
1 :
: 1
,
x
x R
adalah tak terhitung uncountable.
Bukti. Andaikan interval
0,1 countable. Misalkan
1 2
0,1 ,
,..., ,...
n
x x x
.
Karena setiap elemen di
0,1 dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, maka kita
dapat menyatakan bahwa
1 11 12
1 2
21 22 1
1 2
0, ...
... 0,
... ...
0, ...
...
n n
n n
n nn
x b b
b x
b b b
x b b
b
dengan 9
ij
b
, untuk semua
N
j i,
.
Selanjutnya definisikan bilangan real
1 2
: 0, ... ...
n
y y y
y
dengan 4,
5 :
5, 4.
jika jika
nn n
nn
b y
b
Jelas bahwa
0,1 y
. Berdasarkan pendefinisian
n
y
, jelas bahwa
n
y x
untuk setiap
N
n . Selain itu, bentuk
1 2
: 0, ... ...
n
y y y
y
adalah unik karena
0, 9
n
y
untuk semua N
n
. Hal itu semua mengandung arti bahwa
0,1 y
. Terjadi
kontradiksi di sini. Jadi
0,1 haruslah uncountable.
■
Prosedur pada pembuktian Teorema 2.37 di atas dikenal sebagai prosedur diagonal yang memanfaatkan representasi desimal bilangan real. Karena
R
1 ,
dan
0,1 uncountable, maka
R adalah uncountable.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
54
BAB III
BARISAN BILANGAN REAL
3.1 DEFINISI BARISAN BILANGAN REAL Definisi 3.1. Barisan bilangan real adalah fungsi
