DEFINISI BARISAN BILANGAN REAL Definisi . Barisan bilangan real adalah fungsi
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
54
BAB III
BARISAN BILANGAN REAL
3.1 DEFINISI BARISAN BILANGAN REAL Definisi 3.1. Barisan bilangan real adalah fungsi
R N
:
X .
Jika R
N :
X
adalah barisan bilangan real maka nilai fungsi X
di N
n
dinotasikan sebagai
n
x
. Nilai
n
x
ini disebut suku ke-
n
dari barisan bilangan real X
. Barisan bilangan real X
dapat pula dituliskan sebagai
N
n x
n
:
. Dalam literatur lain, barisan bilangan real
X ini biasa dituliskan dalam notasi
1 n
n
x
.
Barisan bilangan real dapat direpresentasikan dalam berbagai cara. Barisan bilangan real
: 1, 3, 5,...
X
dapat dinyatakan dengan
N
n
x X
n
: :
dengan
2 1
n
x n
atau
1
2
n n
x x
dengan
1
1 x
. Hubungan
1
2
n n
x x
dengan
1
1 x
ini disebut sebagai hubungan rekursif.
Selanjutnya, perhatikan kembali barisan bilangan real
N
n
n x
X
n
: 1
2 :
. Jika
n
semakin besar maka
n
x
semakin besar, tanpa batas. Tetapi, kalau kita perhatikan barisan
N
n n
y Y
n
: 1
:
, maka jika
n
semakin besar maka
n
y
semakin kecil, menuju angka nol. Barisan bilangan real Y
ini dikatakan sebagai barisan yang mempunyai limit atau barisan yang konvergen. Sedangkan barisan
bilangan real X
dikatakan sebagai barisan yang tidak memiliki limit atau barisan yang tidak konvergen atau divergen.
Definisi 3.2. Barisan bilangan real
N
n x
n
:
dikatakan konvergen ke R
x
, limit dari dari
N
n x
n
:
, jika untuk setiap
terdapat
N
sedemikian
sehingga untuk setiap
N
n
,
n
x x
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
55
Misalkan barisan bilangan real
N
n x
n
:
konvergen. Diberikan
cukup
besar. Karena
x
adalah “ujung” dari barisan bilangan real
N
n x
n
:
, tentunya
n
x x
yang cukup besar dapat dipenuhi oleh semua
n
x
, n
N
dengan N
yang kecil. Sebaliknya, jika
cukup kecil maka
n
x x
yang cukup kecil dapat
dipenuhi oleh setiap
n
x
, n
K
dengan K
yang besar. Penjelasan tersebut mengandung arti bahwa semakin besar
N maka semakin kecil
atau
n
x
dengan n
N
akan semakin dekat ke limitnya, yaitu
x
. Pernyataan barisan bilangan real
X konvergen atau menuju ke
x
dapat dinyatakan sebagai lim X
x
atau
lim
n
x x
atau
lim
n n
x x
atau
n
x x
.
Berdasarkan Definisi 3.2, kita bisa mendapatkan fakta bahwa
lim
n n
x x
jika dan hanya jika untuk setiap
, himpunan
x
x n
n
: N
adalah himpunan yang berhingga. Bukti fakta ini ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.
Contoh 3.3. Perhatikan lagi barisan bilangan real
N
n n
y Y
n
: 1
. Diberikan
. Selanjutnya, lihat bahwa
1 1
1 n
n n
. Jika
n N
dengan
1 N
maka
1 n
atau
1 n
. Akibatnya,
1 n
untuk
setiap
n N
. Yang demikian berlaku untuk setiap
. Ini artinya bahwa
barisan bilangan real Y
konvergen ke nol. ■
Sekarang, kita perhatikan lagi barisan bilangan real
N
n n
y Y
n
: 1
. Kemudian pandang barisan bilangan real
1 2,1 4,1 6,... Y
. Suku-suku pada
Y merupakan suku-suku yang menempati urutan genap pada
Y . Barisan
Y ini
disebut sebagai sub barisan dari Y
. Berikut ini adalah definisi formal dari sub barisan.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
56
Definisi 3.4. Misalkan
N
n
x X
n
: :
adalah barisan bilangan real dan
1 2
... ...
k
n n
n
dengan
N
k
n
untuk semua N
k
. Barisan bilangan real
N
k
x X
k
n
: :
disebut sebagai sub barisan dari
N
n
x X
n
: :
.
Bagaimana dengan limit sub barisan dari suatu sub barisan ? Teorema berikut menjelaskan hal ini.
Teorema 3.5. Jika
N
k
x X
k
n
: :
adalah sub barisan dari barisan
N
n
x X
n
: :
yang konvergen ke R
x
maka sub barisan
N
k
x X
k
n
: :
juga konvergen ke R
x
.
Bukti. Karena
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang konvergen ke R
x
, maka jika diberikan
terdapat
N
sedemikian sehingga untuk semua
n N
berlaku
n
x x
.
Selanjutnya, dengan menggunakan induksi matematika, akan ditunjukkan bahwa
k
n k
untuk setiap N
k
. Diketahui bahwa
1 2
... ...
k
n n
n
. Untuk 1
k
jelas bahwa
1
1 n
. Misalkan untuk
k p
berlaku
p
n p
. Kita akan tunjukkan
bahwa untuk
1 k
p
berlaku
1
1
p
n p
. Karena
1 p
p
n n
maka
1 p
n p
atau
dengan kata lain
1
1
p
n p
. Dengan demikian
k
n k
untuk setiap N
k
.
Jika
k N
maka
k
n N
. Untuk semua
k
n N
berlaku
k
n
x x
. Yang demikian berarti sub barisan
N
k
x X
k
n
: :
juga konvergen ke R
x
. ■
Apakah kebalikan dari Teorema 3.5 berlaku ? Untuk menjawabnya kita lihat penjelasan berikut ini. Perhatikan bahwa barisan
1,1,1,...,1,... Z
adalah sub
barisan dari barisan
1
1, 1,1, 1,..., 1
,...
n
Z
. Barisan
Z adalah barisan
yang konvergen ke 1, tetapi barisan Z
adalah barisan yang tidak konvergen. Tetapi jika setiap sub barisan dari suatu barisan bilangan real
X adalah barisan
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
57
yang konvergen maka X
adalah barisan yang konvergen karena X
sendiri adalah sub barisan dari dirinya sendiri.
Bagaimana halnya dengan limit dari suatu barisan bilangan real yang konvergen, apakah tunggal atau tidak ? Misalkan
x
dan y
adalah limit dari barisan bilangan real yang konvergen
N
n
x X
n
: :
. Jika diberikan
terdapat
,
x y
N N
sehingga untuk setiap
x
n N
dan
y
n N
, berlaku, masing-masing secara
berurutan, 2
n
x x
dan
2
n
x y
. Misalkan
: ,
x y
N maks N N
. Selanjutnya, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
2 2
n n
n n
x y
x x
x y
x x
x y
untuk semua .
n N
Karena
yang diberikan sembarang, maka
x y
atau
x y
. Yang demikian berarti bahwa limit dari suatu barisan bilangan real
yang konvergen adalah tunggal.
Teorema 3.6. Limit dari satu barisan bilangan real yang konvergen adalah
tunggal.