P P P P

70 Aktif Belajar Matematika untuk Kelas XI Program Bahasa Soal Menantang Dari tiga huruf A, B, C, dan tiga angka 1, 2, 3 akan dibuat pelat nomor motor yang di mulai dengan satu huruf, diikuti dua angka, dan diakhiri dengan satu huruf. Oleh karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat pelat nomor tidak diperboleh kan membuat pelat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya pelat nomor yang dapat dibuat adalah .... a. 11 d. 54 b. 27 e. 72 c. 45 UM-UGM, 2003 Contoh Soal 2.7 Membentuk Bilangan Berbeda dengan Permutasi Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 5, 7. a. Berapa banyak bilangan puluhan ribu dapat dibuat dari angka- angka tersebut tanpa ada angka yang diulang?

b. Berapa banyak bilangan ribuan dapat dibuat dari angka-angka

tersebut tanpa ada angka yang diulang?

c. Berapa banyak bilangan ratusan yang lebih dari 300 yang

dapat dibuat dari angka-angka tersebut tanpa ada angka yang diulang? Contoh Soal 2.6 Menggunakan Rumus Permutasi Dari himpunan huruf {A, B, C}, berapa banyak permutasi dua huruf dari himpunan huruf tersebut? Selesaikan dengan a. diagram pohon;

b. aturan perkalian;

c. rumus permutasi. Penyelesaian: a. A B C B A C C A B AB AC BA BC CA CB Dari gambar terlihat ada 6 permutasi 2 huruf dari 3 huruf.

b. Misalkan, n

1 adalah banyaknya pengisian posisi kesatu, n 2 adalah banyaknya pengisian posisi kedua. Dituliskan n 1 dapat dilakukan dengan 3 cara, n 2 dapat dilakukan dengan 2 cara, dan Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh n 1 × n 2 = 3 × 2 = 6 permutasi 2 huruf dari 3 huruf.

c. P

3, 2 = 3 3 2 3 2 3 2 = 3 2 1 1 ¥ ¥ 3 2 3 2 = 6 Diperoleh 6 permutasi 2 huruf dari 3 huruf. Ketiga cara tersebut menghasilkan jawaban yang sama. Cara manakah yang Anda anggap lebih mudah? Berikan alasannya. 71 Peluang Penyelesaian: a. Bilangan puluhan ribu adalah bilangan dari 10.000 sampai dengan 99.999. Jelas bahwa bilangan puluhan ribu terdiri atas 5 angka. Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil lima angka dari lima angka yang tersedia. Perhatikan, bilangan 12.357 π bilangan 13.257. Ini adalah kasus permutasi, karena urutan yang berbeda memberikan hasil yang berbeda. Dengan demikian, banyak bilangan puluhan ribu yang dapat dibuat adalah P 5, 5 = 5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

b. Bilangan ribuan adalah bilangan dari 1.000 sampai dengan

9.999. Jelas bahwa bilangan ribuan terdiri atas 4 angka. Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil empat angka dari lima angka yang tersedia. Dengan demikian, banyak bilangan ribuan yang dapat dibuat adalah permutasi 5 elemen diambil 4 elemen atau P5, 4 diberikan oleh P5, 4 = 5 5 4 5 1 5 4 5 4 5 4 = = 5 4 3 2 1 1 ¥ ¥ 5 4 5 4 ¥ ¥ 3 2 3 2 = 120

c. Bilangan ratusan terdiri atas 3 angka yang lebih dari 300 hanya

bisa diperoleh jika tempat pertama bilangan ratusan tersebut adalah 3, 5, atau 7. angka pertama angka kedua angka ketiga 3 5 7 _ _ – _ _ – Angka pertama diisi angka 3, dua angka lainnya dapat diisi oleh angka-angka 1, 2, 5, dan 7. Banyak bilangan yang bisa diperoleh adalah permutasi 2 elemen dari 4 elemen atau P 4, 2, yaitu P 4, 2 = 4 2 12 = Untuk angka pertama 5 atau 7 juga diperoleh banyak bilangan = P4,2. Jadi, banyak bilangan ratusan 300 adalah 3 × P4, 2 = 3 × 12 = 36 Contoh Soal 2.8 Masalah Urutan Duduk yang Di selesaikan dengan Permutasi Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong, sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika Solusi Empat pasang suami-istri membeli karcis untuk 8 kursi yang sebaris pada suatu pertunjukan. Dua orang akan duduk bersebelahan hanya jika keduanya pasangan suami istri atau berjenis kelamin sama. Berapa banyakkah cara menempatkan keempat pasang suami-istri itu pada ke-8 kursi tersebut? Penyelesaian: Misalkan, indeks 1 untuk pria dan 2 untuk wanita. Pengisian 8 kotak yang sesuai dengan persyaratan adalah A 1 A 2 B 2 B 1 C 1 C 2 D 2 D 1 Pasangan suami-istri dianggap 1 elemen sehingga terdapat 4 elemen yang dapat saling bertukar posisi. Banyak cara = P4, 4 = 4 = 24. Posisi pengisian kotak tersebut bisa juga dibalik A 1 A 2 B 1 B 2 C 2 C 1 D 1 D 2 Jadi, total ada 2 × 24 = 48 cara. Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Matematika Indonesia, Juni 2002