C 4 c. C Kombinasi

75 Peluang Contoh Soal 2.10 Masalah-Masalah yang Dapat Diselesai kan dengan Cara Kombinasi

a. Seorang siswa diminta mengerjakan 8 soal dari 10 soal, tetapi

soal nomor 1 sampai dengan 5 harus dikerjakan. Berapa banyak pilihan yang dapat diambil siswa tersebut?

b. Dari 4 siswa putra dan 5 siswa putri akan dipilih empat orang

pengurus koperasi. Berapa banyak pilihan berbeda yang dapat diperoleh jika setiap siswa memiliki kesempatan sama untuk terpilih?

c. Dari soal b, tentukan banyaknya pilihan berbeda yang dapat

diperoleh jika dipilih 2 siswa putra dan 2 siswa putri? Penyelesaian: a. Siswa diminta mengerjakan 8 soal, artinya ada 8 tempat yang harus diisi. Nomor 1 sampai dengan 5 harus dikerjakan. Jadi, 5 tempat sudah terisi oleh nomor 1 sampai dengan nomor 5. Ditetapkan saja 5 tempat kelima, seperti ditunjukkan berikut ini. 1 2 3 4 5 Masih ada 3 tempat kosong yang dapat diisi oleh soal nomor 6, 7, 8, 9, dan 10. Perhatikan bahwa untuk mengisi ketiga tempat kosong tersebut dengan soal nomor 6, 7, 8 atau 8, 7, 6 sama saja. Urutan yang berbeda memberikan hasil yang sama. Masalah ini disebut kombinasi . Dalam masalah ini, ketiga tempat kosong dapat diisi oleh lima nomor. Banyaknya pilihan untuk kombinasi 3 elemen dari 5 elemen atau C5, 3 diberikan oleh C 5, 3 = 5 3 5 3 5 3 2 - = = 5 4 3 3 2 1 20 2 10 ¥ ¥ ¥ ¥ = =

b. Setiap siswa memiliki kesempatan sama untuk terpilih, artinya

dipilih 4 siswa dari 9 siswa yang ada, misalnya siswa yang dipilih adalah A, B, C, dan D sehingga pilihan A, B, C, D sama saja dengan pilihan B, C, D, A. Dengan kata lain, urutan memilih tidak penting. Masalah tersebut diselesaikan dengan kombinasi. Banyak pilihan untuk memilih 4 siswa dari 9 siswa yang ada merupakan kombinasi 4 elemen dari 9 elemen atau C9, 4 yaitu C 9, 4 = 9 4 9 4 - = 9 8 7 6 7 6 5 5 4 3 4 3 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 ¥ ¥ 9 8 9 8 ¥ ¥ 7 6 7 6 7 6 ¥ ¥ 4 3 4 3 4 3 2 1 5 2 1 5 = 9 8 7 4 126 ¥ ¥ =

c. Perhatikan dalam pemilihan 2 siswa putra dari 4 siswa putra

dan 2 siswa putri dari 5 siswa putri, urutan memilih juga tidak penting. Solusi Suatu pertemuan dihadiri oleh 150 orang undangan. Apabila mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....

a. 25

d. 157 b. 30

e. 210 c. 105

Penyelesaian: • A jabat B = B jabat A. Ini adalah masalah kombinasi • Dari 15 orang, jabat tangan melibatkan 2 orang. Jadi, banyak jabat tangan = C15,2 = 15 2 15 2 2 1 2 1 5 2 5 2 = 15 14 13 13 2 1 ¥ ¥ 14 2 1 2 13 = 105 Jawaban: c Ebtanas 2000 76 Aktif Belajar Matematika untuk Kelas XI Program Bahasa Banyak pilihan untuk memilih 2 siswa putra dari 4 siswa yang ada adalah masalah kombinasi 2 elemen dari 4 elemen atau C4, 2. Banyak pilihan untuk memilih 2 siswa putri dari 5 siswa putri yang ada adalah masalah kombinasi 2 elemen dari 5 elemen atau C5, 2. Sesuai dengan aturan perkalian, banyak pilihan berbeda untuk memilih 2 siswa putra dan 2 siswa putri adalah: C 4, 2 × C5, 2 = 4 2 4 2 5 2 5 2 2 4 2 4 2 5 2 5 - ¥ - = 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 3 3 2 3 2 3 2 3 ¥ ¥ 4 3 4 3 2 2 2 2 ¥ ¥ ¥ 5 4 5 4 2 3 2 3 = 3 × 5 × 4 = 60 Periksalah hasil-hasil yang diperoleh dari contoh soal a, b, c dengan menggunakan kalkulator.

5. Permutasi dengan Pengulangan

Urutan adalah hal yang penting dalam permutasi. Bagaimana jika terdapat beberapa elemen yang sama? Misalkan, Anda akan menghitung permutasi dari huruf A, A , A, B, B, C, D . Banyak permutasi 7 huruf adalah P7, 7 = 7. Akan tetapi, tidak semua susunan menghasilkan permutasi yang berbeda, karena terdapat 3 huruf A yang sama dan 2 huruf B yang sama. Dengan demikian, tentu permutasi dari ketujuh huruf tersebut akan kurang dari 7. Bagaimanakah cara menentukan banyak permutasi dalam kasus seperti ini? Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut. Menemukan Rumus Umum Permutasi dengan Pengulangan Lakukan dan diskusikan kegiatan ini secara berkelompok. Tuliskan hal-hal penting dari kegiatan ini di buku latihan Anda. Kemudian, presentasikan hasilnya di depan kelas. Masalah: Permutasi dengan pengulangan, yakni menentu- kan banyaknya susunan yang berbeda dengan menggunakan 7 huruf, yaitu A, A, A, B, B, C, D. Langkah Kerja: 1 . Untuk membuat setiap susunan huruf yang terdiri atas 7 huruf yaitu 3 huruf A, 2 huruf B , 1 huruf C, dan 1 huruf D, anggaplah Anda harus mengisi 7 kotak berikut dengan ketujuh huruf tersebut. 1 ke- 2 3 4 5 6 7

2. Proses untuk membentuk sebuah susunan

huruf harus melalui tahapan berikut. Tahap 1 : mengisi kotak dengan 3 huruf A. Tahap 2 : mengisi kotak dengan ... huruf .... Tahap 3 : mengisi kotak dengan ... huruf .... Tahap 4 : mengisi kotak dengan ... huruf .... Kegiatan 2.1 Soal Menantang Banyaknya cara memilih permainan bulu tangkis ganda putri dari 7 pemain inti putri adalah .... a. 14 d. 42 b. 21 e. 49 c. 28 Ebtanas 1999