Modul Matematika SMA
75
3. Logika Matematika
Sejarah logika dimulai dengan tokohnya, Aristoteles. Koleksi tulisan Aristoteles tentang logika terkumpul dalam buku Organon. Tulisan lain yang penting adalah
Prior Analytics. Kontribusi penting lainnya adalah logika dari Avicenna atau Ibnu Sinna. Sistem logika Ibnu Sinna antara lain melahirkan silogisme hipotetik, logika
modal temporal, dan logika induktif, termasuk rintisan propositional calculus.
Gambar 11. Aristoteles
Logika simbolik logika matematika muncul sekitar pertengahan abad ke-19 sebagai akibat dari perumusan dasar-dasar matematika. Pada tahun 1854, George
Boole menulis An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities yang memperkenalkan logika
simbolik dan prinsip-prinsip yang kini dikenal sebagai logika Boole. Tahun 1903, Alfred North Whitehead 1861 -
Bertrand Russell menerbitkan Principia Mathematica yang mengulas kebenaran matematika berdasar aksioma dan aturan
kesimpulan dalam logika simbolik.
4. Konsep Aljabar
a. Teorema Pythagoras
Teorema ini diberi nama Pythagoras karena perguruan Pythagoras-lah yang pertama memberi sebuah bukti secara geometris. Tetapi hubungan antara sisi-sisi
segitiga siku-siku tersebut telah lama dikenal jauh sebelum Pythagoras dan perguruannya. Di Universitas Columbia, terdapat naskah prasasti bernama Plimpton
322 dari 1900 SM hingga 1600 SM. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga kolom bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras. Sebuah catatan kuno,
Chou Pie Suan Ching 500 hingga 200 SM menyajikan pembahasan dan bukti secara geometris tentang Teorema Pythagoras. Teks kuno dari India juga telah mengenal
Kegiatan Belajar 6
76
tentang Teorema Pythagoras jauh sebelum Pythagoras. Di dalam naskah kuno Baudhayana Sulbasutras 800-600 SM terdapat bahasan Teorema Pythagoras, juga
Tripel Pythagoras, seperti: 5, 12, 13, 12, 16, 20, 8, 15, 17, 15, 20, 25, 12, 35, 37, 15, 36, 39,
5 2
, 6,
13 2
, dan
15 2
, 10,
25 2
. Ada yang mengatakan rumus Tripel Pythagoras:
−
, ,
+
berasal dari perguruan Pythagoras, namun ada pula yang menyatakannya telah dikenal di Babilonia. Rumus itu sendiri hanya berlaku untuk
m bilangan ganjil. Belakangan, Plato memberikan rumus yang lebih baik: m
2
–1, 2m, m
2
+1.
b. Persamaan Kuadrat
Bangsa Babilonia telah mengguna kan suatu algoritma melengkapkan kuadrat
untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan kuadrat, misalnya dalam Papirus Berlin suatu naskah Mesir Kuno dari tahun 2160-1700 SM. Sekitar 300 SM, Euclid
dalam buku Data membahas 3 soal mengenai persamaan kuadrat, namun menggunakan kuantitas geometri. Dalam buku Arithmetica, Diophantus antara 210-
290 juga menyelesaikan persamaan kuadrat. Matematikawan India telah menggunakan cara yang ekuivalen dengan rumus akar persamaan kuadrat.
Aryabhata I memberikan aturan untuk jumlah suatu deret geometri yang menunjukkan pengetahuannya tentang persamaan kuadrat dengan kedua akarnya.
Sementara itu, Brahmagupta menggunakan cara mirip Babilonia tetapi dengan variasi yang lebih baik, termasuk dengan kuantitas negatif. Perkembangan penting
berikutnya oleh Al-Khowarizmi yang menulis tipe-tipe persamaan kuadrat dengan mengabaikan akar nol maupun negatif. Al-Khowarizmi menyusun 6 macam
persamaan kuadrat. Setiap tipe persamaan kuadrat di atas, diselesaikannya dengan menggunakan diagram geometris dan prinsip melengkapkan kuadrat. Menurut
sejarawan, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi atau lebih dikenal di Eropa sebagai Savasorda k.1125 menulis buku Liber embadorum yang diterbitkan di Eropa tahun
1145 dan merupakan buku pertama yang memberikan penyelesaian lengkap persamaan kuadrat.
c. Sistem Persamaan Linear
Babilonia diketahui yang pertama mengenal dan menulis tentang sistem persamaan.Pada sebuah batu bertulis bangsa Babilonia, dari masa 300 SM, termuat
Kategori