Rangkuman Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Modul Matematika SMA
37
Contoh 1.
Misalnya akan dicari nilai kebenaran dari pernyataan p q p dengan tabel
kebenaran dan prosedur aritmetika. a
Tabel Kebenaran p
q p
q p
q p B
B B
B B
S S
B S
B S
B S
S S
B Berdasarkan tabel di atas, terlihat bahwa p
q p merupakan tautologi. b
Prosedur Aritmetika p
q p = p+q+pq
p =
1+p+q+pqp =
p + p
2
+ pq + p
2
q =
p + p + pq + pq =
2p + 2pq =
0 + 0 =
Berdasarkan hasil yang diperoleh dalam prosedur aritmetika di atas, pernyataan p
q p merupakan tautologi.
Contoh 2.
Selidiki apakah pernyataan p p q p merupakan tautologi atau bukan.
Penyelesaian:
Tabel kebenaran dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut. p
q p
q p
p q p
p q p B
B B
B B
B S
S S
B S
B B
S B
S S
B S
B
Kegiatan Belajar 4
38
Menggunakan prosedur aritmetika diperoleh: p
p q p =
p 1+pq p
= p
q + pq p =
p +q + pq+pq+pq p
= p +q + pq+pq + pq
p =
p + q + 0 + pq p
= p +q + pq
p =
1+p+q+pqp =
p +p
2
+pq + pq =
p + p + 2pq =
2p+2q =
0+0 =
Berdasarkan hasil di atas, diperoleh kesimpulan bahwa p p q p merupakan
tautologi. Jika suatu pernyataan majemuk melibatkan lebih dari 3 pernyataan tunggal, maka
penggunaan tabel kebenaran akan memerlukan minimal 16 baris. Oleh karena itu, apakah terdapat cara lain yang juga bisa digunakan untuk mengetahui apakah suatu
pernyataan majemuk merupakan tautologi atau bukan. Karena kita sudah mengetahui bahwa p
p selalu bernilai benar, dan sudah diketahui bahwa suatu disjungsi bernilai benar, apabila terdapat pernyataan yang
bernilai benar dan suatu konjungsi akan bernilai salah apabila terdapat pernyataan yang bernilai salah, maka diperoleh suatu kesimpulan:
a a B = B
b a B = a
c S a = a
d S a = S
Modul Matematika SMA
39
Menggunakan sifat EKUIVALENSI di atas, kita bisa membuktikan bahwa pernyataan
p q p selalu bernilai benar sebagai berikut.
p q p
= p q p
= p q p
= p
p q =
B q
= B
Contoh 3.
Menggunakan sifat ekuivalensi, pernyataan p p q p merupakan tautologi,
sebab: p
p q p =
[p p q ] p =
[ p p q ] p
= [
p p p q] p =
[B p q] p
= p q p
= p p q
= B
q =
B