RANGKUMAN UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT

Modul PKB Guru Matematika SMA 117 Berikut akan dicari persamaan ellips yang diturunkan dari definisi ellips dengan menggunakan eksentrisitas. Diberikan titik tertentu � dan garis tertentu �. Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik � yang memenuhi syarat perbandingan jaraknya ke titik � dan jaraknya ke garis � tetap, kurang dari 1, yaitu �� �� = � 1. Gambar 105. Definisi ellips Dengan menggambar �� tegak lurus terhadap �, terdapat titik �’ pada �� sedemikian sehingga �’���’ = �, dan terdapat titik � pada �� dengan ���� = �. Maka �′ dan � pada ellips. Misalkan �’� = 2�, dan titik � titik tengah �’�, maka �’� = �� = �. Akan ditentukan �� dan �� dalam suku-suku � dan �. Karena �’� = �. ��’, dan �� = �. ��, diperoleh �’� + �� = ���’ + ��. Akan tetapi �’� + �� = 2�, ��’ = �� – �, dan �� = �� + �. Maka 2� = �. 2��; di mana �� = ��. Diperoleh juga, �� – �’� = ��� – ��’; yaitu �� + �– � − �� = �. 2�; di mana �� = ��. Gambar 106. Ellips dengan pusat �0,0 Dengan mengambil titik asal di �, sumbu-� tegak lurus terhadap direktriks, sumbu- � sejajar dengan direktriks, misalkan titik ��, � sebarang titik pada ellips. Maka persamaan ellips diperoleh dari definisi �� = �. ��. Karena �−��, 0, maka �� = �� + �� 2 + � 2 . Kegiatan Pembelajaran 8 118 Karena , maka . . Dengan demikian, atau 1 1 . Persamaan ellips ini dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan membagi kedua ruas dengan 1 , dan kemudian menuliskan 1 , diperoleh 1. Persamaan ini merupakan persamaan umum ellips yang berpusat di , . Eksentrisitas ellips berhubungan dengan dan dan diberikan oleh persamaan 1 . Jika √ . Dengan demikian, jarak dari fokus ke pusat adalah √ . Fokus ellips 1 adalah di , dan , , di mana juga dapat diperoleh dari √ . Setelah diperoleh persamaan ellips, berikut akan dibahas unsur‐unsur ellips. Ruas garis ’ dan ’ berturut‐turut disebut sumbu utama major axes dan sumbu minor dari ellips. Titik ujung sumbu utama ’ dan dan titik ujung sumbu minor dan disebut titik puncak ellips vertex. Gambar 1 . Unsur‐unsur ellips Modul PKB Guru Matematika SMA 119 Titik � disebut pusat ellips, ruas garis �� atau OA’ dan �� atau OB’, atau � dan � disebut setengah sumbu ellips semiaxes. Titik puncak ellips ini adalah −�, 0, �, 0, 0, �, dan 0, −�. Garis �� dan �′�′ merupakan direktriks ellips. Garis ini berjarak � � dari pusat ellips �0, 0 sehingga direktriksnya adalah garis � = ± � � . Karena �� = � maka direktriks ellips dapat ditulis sebagai � = ± � 2 � . Perbandingan �� yang disebut eksentrisitas eccentricity ellips ini menentukan bentuk ellips. Jika eksentrisitasnya besar, maka ellips lebih panjang. Semakin kecil nilai eksentrisitas, ellips akan semakin bulat. Jika eksentrisitas 0, akan diperoleh lingkaran. Ellips mempunyai dua latus rectum. Panjang kedua latus rectum ellips � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1 adalah panjang ruas garis yang tegak lurus sumbu utama dan melalui fokus, yaitu ruas garis yang terletak pada garis � = √� 2 − � 2 . Dengan mensubstitusikan nilai � ini ke persamaan ellips diperoleh ordinat titik potong latus rectum dan ellips � = ± � 2 � . Jadi panjang latus rectum adalah 2� 2 � . Contoh 5: Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips � 2 100 + � 2 64 = 1 . Dalam persamaan ini, � 2 = 100 dan � 2 = 64 sehingga � = 10 dan� = 8 , karena � 0 dan � 0. Jadi titik puncaknya −10, 0, 10, 0, 0, −8 dan 0,8. Nilai � adalah � = √� 2 − � 2 = √100 − 64 = 6. Jadi fokus ellips di −6, 0 dan 6, 0. Jika sumbu utama ellips adalah sumbu- � maka fokus terletak pada sumbu-�, sehingga persamaan ellips menjadi � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1, dengan � �. Dari persamaan ini diperoleh ellips berpusat di �0, 0, fokusnya di 0, � dan 0, −�, dan puncaknya di titik �, 0, −�, 0, 0, � dan 0, −�. Contoh 6: Kegiatan Pembelajaran 8 120 Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips 25� 2 + � 2 = 25. Jawab: Persamaan 25� 2 + � 2 = 25 dapat ditulis sebagai � 2 + � 2 25 = 1 . Jadi � = 1 dan � = 5 . Sumbu utamanya adalah sumbu- � . Titik puncaknya adalah 0, −5 , 0, 5 , 1,0 , dan −1,0 . Nilai � diperoleh dari � = √� 2 − � 2 = √25 − 1 = 2√6 Sehingga fokusnya adalah 0, −2√6 dan 0, 2√6 . Contoh 7: Tentukan persamaan ellips yang panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di 0, −5 dan sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu koordinat. Jawab : Karena panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di 0, −5 , maka a = 5 dan b = 4. Jadi persamaan ellips yang dicari adalah: � 2 16 + � 2 25 = 1 Selanjutnya akan dicari persamaan ellips yang pusatnya di titik ℎ, � dan sumbu- sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat. Jika diambil garis ��′ dan ��′ sebagai sumbu-sumbu koordinat, persamaan ellips adalah � 2 � 2 + � 2 � 2 = 1 . Misal dilakukan translasi sumbu ��′ dan ��′ , dengan memindahkan titik asal � ke titik � , yang bersesuaian dengan titik � jika titik asalnya adalah −ℎ, −� . Jika � ditulis menjadi � − ℎ dan � menjadi � − � , maka persamaan ellips Gambar 108. Ellips berpusat di ℎ, �