Proyeksi Jarak URAIAN MATERI

Kegiatan Pembelajaran 7 108 109 KEGIATAN PEMBELAJARAN 8 IRISAN KERUCUT

A. TUJUAN

Setelah mengikuti kegiatan pembelajaran ini, pembaca dapat menjelaskan pengertian irisan kerucut dan jenis-jenisnya serta dapat menjelaskan persamaan irisan kerucut dengan mengintegrasikan penguatan pendidikan karakter.

B. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

Setelah membaca dan mengikuti serangkaian kegiatan pada bagian ini, pembaca diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian irisan kerucut. 2. Menjelaskan pengertian parabola. 3. Menjelaskan pengertian ellips. 4. Menjelaskan pengertian hiperbola. 5. Menjelaskan persamaan parabola. 6. Menjelaskan persamaan ellips. 7. Menjelaskan persamaan hiperbola. 8. Menggunakan konsep irisan kerucut untuk menyelesaikan permasalahan yang terkait.

C. URAIAN MATERI

1. Irisan Kerucut

Irisan kerucut dan sifat-sifatnya telah dipelajari oleh Menaechmus sekitar 350 SM dan Apollonius sekitar 225 SM. Menaechmus menggunakan kurva parabola untuk menyelesaikan permasalahan melipatduakan volum kubus. Apollonius menulis 11 buku, salah satu yang terkenal adalah “Conics”. Ia memperkenalkan istilah parabola, hiperbola, dan ellips. Saat ini, kurva irisan kerucut banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, sifat parabola yang memantulkan sinar sejajar sumbu simetri sehingga melalui fokus telah digunakan untuk kompor matahari, pembangkit listrik tenaga surya, reflektor lampu, radar, dll. Sebelum tergeser oleh peralatan GPS Global Positioning Kegiatan Pembelajaran 8 110 System kurva hiperbola digunakan dalam navigasi pelayaran. Kurva hiperbola juga digunakan dalam konstruksi cerobong pendingin cooling tower karena memiliki kekuatan struktur dengan bahan pembuatan yang minimal. Bentuk ini juga membantu kecepatan naik udara panas sehingga meningkatkan efisiensi pendinginan. Karena mempunyai banyak kegunaan maka sampai sekarang masih relevan untuk dipelajari. Gambar 94. Bangunan yang penampangnya berbentuk hiperbola Sumber gambar:http:en.wikipedia.orgwikiCooling_tower Sesuai dengan namanya, irisan kerucut diperoleh dari sepasang kerucut kerucut ganda yang dipotong oleh sebuah bidang. Irisan dari kerucut ganda dengan bidang disebut irisan kerucut. Misal diberikan kerucut ganda yang sumbunya vertikal. Misalkan juga sudut antara garis pelukis kerucut dan sumbu kerucut sebesar α dan sudut antara bidang dengan sumbu kerucut sebesar β. Terdapat beberapa kemungkinan : a. � = �2 Jika � = �2 dan bidang tidak melalui puncak kerucut maka irisan antara bidang dengan kerucut ganda berbentuk lingkaran. Jikabidang melalui puncak kerucut, maka irisan antara bidang dengan kerucut ganda berupa titik. Modul PKB Guru Matematika SMA 111 Gambar 95. Irisan kerucut dan bidang berupa lingkaran Gambar 96. Irisan kerucut dan bidang berupa ellips b. � � π 2 Jika � � π 2 dan bidang tidak melalui titik puncak kerucut maka irisan antara bidang dengan kerucut ganda dinamakan ellips. c. � = � Jika � = � dan bidang tidak melalui titik puncak kerucut maka irisan antara kerucut ganda dan bidang dinamakan parabola. Jika bidang melalui kerucut maka irisannya berupa sebuah garis. Gambar 97. Irisan kerucut dan bidang berupa parabola Gambar 98. Irisan kerucut dan bidang berupa hiperbola Kegiatan Pembelajaran 8 112 d. 0 ≤ � � Jika 0 ≤ � � irisan kerucut yang terbentuk berupa sepasang hiperbola. Jika � = 0 dan melalui sumbu kerucut, maka irisannya berupa sepasang garis yang berpotongan di puncak kerucut. Misal titik � sembarang titik pada tempat kedudukan, garis tertentu �, titik tertentu �, jarak titik � ke titik � dinotasikan �, jarak titik � ke garis � dinotasikan �’, dan perbandingan yang tetap �: �’ dinotasikan �. Garis tertentu � dinamakan direktriks, titik tertentu dinamakan fokus atau titik api, dan perbandingan � dinamakan eksentrisitas. Bentuk dari irisan kerucut ditentukan oleh nilai dari perbandingan �: �’, yaitu : a. Jika � = 1 , yaitu jika � = �’, irisan kerucut dinamakan parabola. b. Jika � 1, irisan kerucut dinamakan ellips. c. Jika � 1, irisan kerucut dinamakan hiperbola. Pada pembahasan berikutnya, akan ditunjukkan bagaimana memperoleh persamaan dari irisan-irisan kerucut tersebut dengan menggunakan definisi ini. Selain definisi di atas, bangun-bangun irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai berikut. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan titik pusat lingkaran, sedangkan jarak tertentu tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu sama. Titik tertentu tersebut dinamakan titik api fokus, sedangkan garis tertentu tersebut dinamakan direktriks. Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap. Kedua titik tertentu tersebut dinamakan fokus atau titik api. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya ke dua titik tertentu tetap. Kedua titik tertentu tersebut dinamakan fokus atau titik api. Gambar 99. Definisi irisan kerucut denganeksentrisitas � = �: �’