Kegiatan Pembelajaran 5
58
Jika seluruh titik suatu obyek geometri dipindahkan menurut suatu aturan, akan
didapatkan bayangan dari gambar asli. Proses ini dinamakan transformasi. Setiap
titik pada obyek asli memiliki pasangan dengan titik pada bayangannya. Dalam geometri, transformasi merupakan prosedur yang spesifik yang memindahkan titik-
titik pada bidang ke titik-titik yang berbeda.
Suatu transformasi merupakan sebuah korespondensi satu-satu antara dua
himpunan � dan �’, sedemikian sehingga setiap titik di himpunan �
berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik di himpunan �’, yang disebut
sebagai peta bayangan, serta setiap titik di
�’ merupakan peta dari satu dan hanya satu titik di
�, yang dinamakan sebagai prapeta. Transformasi yang tidak mengubah bentuk dinamakan isometri. Pada isometri,
jarak setiap dua titik pada bangun bayangan sama dengan jarak dua titik pada bangun asalnya, sehingga bangun yang dihasilkan kongruen dengan bangun aslinya.
Transformasi isometri di antaranya adalah transformasi identitas peta dan prapeta berimpit, pergeseran translasi, perputaran rotasi dan pencerminan refleksi.
Transformasi yang mengubah jarak atau mengubah bentuk dinamakan transformasi non isometri atau transformasi yang mengubah bentuk. Salah satu transformasi
yang mengubah bentuk adalah dilatasi.
1. Transformasi Isometri
a. Translasi
Translasi merupakan transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan arah yang sama dan jarak yang sama pula.
Jika Δ�’�’�’ merupakan bayangan dari
Δ��� pada suatu translasi, maka ��’ = ��’ = ��’. Pada suatu translasi,
diperlukan ruas garis berarah yang dinamakan sebagai vektor translasi. Pada
sistim koordinat Kartesius, gerakan mendatar sejauh
�, dan vertikal sejauh � dinyatakan dengan vektor
����.
Gambar 43 Translasi
Modul PKB Guru Matematika SMA
59
Sebagai ilustrasi pada gambar di atas, vektor translasi � = �31� mentranslasikan
obyek dengan arah pergeseran 3 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas. Pada vektor translasi pergeseran vertikal naik atau horisontal ke kanan dinyatakan dengan
bilangan positif, sedangkan gerakan vertikal turun atau horisontal kiri dinyatakan dengan bilangan negatif.
Translasi dengan vektor translasi ���� dapat dipandang sebagai suatu fungsi
�� = �’ dengan � �
� �� = �
� �� + �
� ��
Catatan: Notasi yang dapat digunakan antara lain sebagai berikut. �: �, � ↦ � + �, � + �
��, � = � + �, � + � �
�
�, � = � + �, � + � �, �
�=����
�⎯⎯⎯� � + �, � + � Secara umum, jika titik P
�, � ditranslasikan oleh �= ���� ke P’�’,�’, maka diperoleh hubungan
�’ = � + � �′ = � + �
Dalam bentuk matriks, persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai ��′
�′� =
� �
�� + � �
�� Contoh soal:
Tentukan persamaan bayangan kurva � = �
2
+ � − 1 oleh translasi � 1
−2� .
Alternatif penyelesaian bantuan: Misalkan
��, � pada kurva � = �
2
+ � − 1, titik � akan dipetakan ke �’�’, �’
dengan persamaan �
′
= � + 1 dan �
′
= � + −2. Bentuk dapat diubah menjadi
� = �
′
− 1 dan � = �
′
+ 2. Substitusikan kedua persamaan ini ke � = �
2
+ � − 1,
diperoleh bentuk �
′
+ 2 = �
′
− 1
2
+ � − 1 − 1. Jika disederhanakan diperoleh
�
′
= �′
2
− �′ − 3. Karena �
′
, �
′
tempat kedudukan titik-titik pada bayangan, maka persamaan bayangan yang dimaksud adalah
� = �
2
− � − 3. Contoh Soal:
