Kegiatan Pembelajaran 8
112
d. 0 ≤ � �
Jika 0 ≤ � � irisan kerucut yang terbentuk berupa sepasang hiperbola. Jika � = 0
dan melalui sumbu kerucut, maka irisannya berupa sepasang garis yang berpotongan di puncak kerucut.
Misal titik � sembarang titik pada tempat kedudukan, garis
tertentu �, titik tertentu �, jarak titik � ke titik � dinotasikan
�, jarak titik � ke garis � dinotasikan �’, dan perbandingan yang tetap
�: �’ dinotasikan �. Garis tertentu � dinamakan
direktriks, titik tertentu dinamakan fokus atau titik api,
dan perbandingan
� dinamakan eksentrisitas.
Bentuk dari irisan kerucut ditentukan oleh nilai dari perbandingan
�: �’, yaitu : a.
Jika � = 1 , yaitu jika � = �’, irisan kerucut dinamakan parabola.
b.
Jika � 1, irisan kerucut dinamakan ellips.
c.
Jika � 1, irisan kerucut dinamakan hiperbola.
Pada pembahasan berikutnya, akan ditunjukkan bagaimana memperoleh persamaan dari irisan-irisan kerucut tersebut dengan menggunakan definisi ini. Selain definisi
di atas, bangun-bangun irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai berikut. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu
titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan titik pusat lingkaran, sedangkan jarak tertentu tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu sama. Titik tertentu tersebut dinamakan titik
api fokus, sedangkan garis tertentu tersebut dinamakan direktriks. Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu
tetap. Kedua titik tertentu tersebut dinamakan fokus atau titik api. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya ke dua titik
tertentu tetap. Kedua titik tertentu tersebut dinamakan fokus atau titik api. Gambar 99. Definisi
irisan kerucut denganeksentrisitas
� = �: �’
Modul PKB Guru Matematika SMA
113
2. Persamaan Parabola
Beberapa lengkung jembatan berbentuk parabola. The Gladesville Bridge di Sydney
Australia adalah jembatan lengkung tunggal terpanjang di dunia, dibangun
pada tahun 1964. Lengkung jembatan ini hampir berbentuk parabola dengan
persamaan � = −�
2
. Lengkung seperti ini
sering dinamakan catenary ket: catenary tidak sama dengan parabola.
Gambar 100. Lengkung jembatan berbentu parabola
http:www.ozroads.com.au Selain diaplikasikan di arsitektur, parabola banyak dikaitkan dengan permasalahan
sehari-hari. Perhatikan beberapa contoh kejadian yang mengikuti hukum alam. Misalkan air mancur yang dipancarkan ke atas akan turun lagi membentuk lintasan
berupa parabola karena pengaruh gaya grafitasi. Bentangan kabel telpon di antara dua tiang juga akan melengkung ke bawah membentuk parabola. Titik terendah
akan berada di tengah-tengah, simetris terhadap kedua tiang. Berikut akan dicari persamaan parabola yang paling sederhana, yaitu jika garis yang
melalui fokus tegak lurus terhadap direktriks adalah sumbu- � dan titik asal
merupakan titik tengah antara fokus dan direktriks. Berdasarkan definisi, titik-titik pada
parabola memenuhi �� = ��.
Misalkan 2� adalah notasi untuk
jarak tetap dari � ke �. Maka �, titik
tengah ��, berjarak sama dari � dan
�, yaitu suatu titik pada parabola. Gambar 101. Parabola dengan puncak di
� Dengan mengambil titik puncak di titik asal
� dan sumbu-� sepanjang ��, titik tertentu
��, 0; dan jika ��, � sebarang titik pada parabola, maka persamaan parabola ditentukan dari kondisi
�� = ��; yaitu, �� − �
2
+ �
2
= � + �. Dengan
demikian diperoleh persamaan parabola yang dicari, yaitu �
2
= 4 ��.
Kegiatan Pembelajaran 8
114
Parabola �
2
= 4 �� memiliki fokus di titik �, 0, dan direktriksnya adalah garis
� = − �. Sumbu-� merupakan sumbu simetri parabola. Perpotongan antara sumbu simetri dan parabola dinamakan titik puncak parabola, dalam hal ini adalah titik
�0,0. Contoh 1:
Parabola �
2
= 24� memiliki titik 6,0 sebagai fokusnya dan garis � = −6 sebagai
direktriksnya. Secara umum, suatu garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada irisan
kerucut dinamakan tali busur chord. Suatu tali busur yang melalui focus dinamakan tali busur fokus focal chord. Suatu ruas garis yang menghubungkan
fokus dan sebarang titik pada kurva dinamakan jari-jari fokus focal radius. Tali busur fokus yang tegak lurus sumbu simetri disebut latus rectum focal width.
Pada gambar di samping, ruas garis ��,
��, dan �� merupakan tali busur parabola. Tali busur
�� dan �� merupakan tali busur fokus. Tali busur
fokus �� merupakan latus rectum,
karena merupakan tali busur fokus yang tegak lurus sumbu simetri parabola.
Gambar 102. Tali busur parabola Parabola dengan persamaan
�
2
= 4 �� terletak di sebelah kanan sumbu-�. Jika kurva
terletak di sebelah kiri sumbu- �, maka persamaan parabola adalah �
2
= −4��.
Contoh 2:
Buatlah sketsa kurva dan tentukan fokus dan titik ujung latus rectum dari parabola �
2
= −12�.
Jawab: Persamaan
�
2
= −12� memiliki � = 3 dan membuka ke
kiri. Fokusnya adalah �−3,0, sedangkan titik ujung latus
rectumnya adalah −3,6 dan −3, −6.
Modul PKB Guru Matematika SMA
115
Persamaan parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu- � dan puncaknya di titik
asal adalah �
2
= 4 �� dan �
2
= −4��.
Parabola ini berturut-turut membuka ke atas atau membuka ke bawah. Fokusnya terletak pada sumbu-
� yaitu �0, � atau �0, −�, sedangkan direktriksnya adalah garis
� = −� atau � = �.
Contoh 3: Parabola dengan persamaan
�
2
= −6�
mempunyai fokus di titik �0, −
3 2
. Gambar 103. Parabola dengan sumbu simetri sumbu-
�
