Kegiatan Pembelajaran 8
124
Contoh 9: Diberikan hiperbola
�
2
9
−
�
2
16
= 1. Analisalah dan kemudian tentukan karakteristik
hiperbola ini. Jawab:
Dari persamaan diperoleh �
2
= 9 atau � = 3 dan �
2
= 16 atau � = 4 sehingga
� = √9 + 16 = 5. Karakteristiknya adalah: a.
Berpusat di �0,0. b.
Fokus di titik −5,0 dan 5,0. c.
Sumbu utama adalah sumbu-� dengan panjang 6. d.
Sumbu sekawan adalah sumbu-� dengan panjang 8. e.
Titik puncaknya di −3,0 dan 3,0. f.
Panjang latus rectum
32 3
. g.
Direktriks garis � = −
9 5
dan � =
9 5
. h.
Eksentrisitas � =
5 3
. i.
Asimptotnya garis � = ±
� �
�. Jika sumbu-
� merupakan sumbu nyata, maka fokusnya terletak di sepanjang sumbu nyata ini, variabel
� dan � bertukar posisi dalam persamaan, sehingga diperoleh −
�
2
�
2
+ �
2
�
2
= 1 atau
�
2
�
2
− �
2
�
2
= 1
di mana 2� menyatakan sumbu nyata �′�, dan 2� merupakan panjang sumbu
sekawan �’�.
x
1
2 2
2 2
= −
b y
a x
y
x a
b y
− =
x a
b y
=
F’ -c,0
F c,0
A’ -a,0
A a,0
b,0
- b
B
B’ O
C C’
Gambar 110. Unsur-unsur hiperbola
Modul PKB Guru Matematika SMA
125
Dengan cara yang sama untuk hiperbola yang fokusnya terletak pada sumbu‐ , diperoleh juga beberapa rumus berikut.
a. 1
b.
√
. c.
√ .
d. .
Gambar 111iperbola dengan sumbu nyata sumbu‐
Contoh 1 : Diberikan hiperbola dengan persamaan 9
1 144
tentukan pusat, puncak, asimptot, fokus, dan buatlah sketsanya.
Jawab: Persamaan hiperbola 9
1 144
dapat ditulis menjadi 1.
Dari persamaan terakhir diperoleh 4, 3 sehingga
√ √1
9 5 dan memiliki karakteristik sebagai berikut.
a. Berpusat di , .
b. Puncak , 4 dan , 4 . c. Asimptot
x y
3 4
=
dan
x y
3 4
− =
d. Fokus , 5 dan , 5 .
Persamaan hiperbola yang pusatnya di titik , dan sumbu nyatanya sejajar dengan sumbu‐ analog dengan ellips adalah
Kegiatan Pembelajaran 8
126
� − ℎ
2
�
2
− � − �
2
�
2
= 1.
Hiperbola ini mempunyai sifat : Pusat hiperbola :
ℎ, �. Puncak hiperbola :
�
1
ℎ + �, � dan �
2
ℎ– �, �. Fokus hiperbola :
�
1
ℎ + �, � dan �
2
ℎ– �, �. Asimptot
: h
x a
b k
y −
= −
dan h
x a
b k
y −
− =
− Jika sumbu nyata sejajar dengan sumbu-
�, � menyatakan panjang setengah sumbu nyata hiperbola, dan persamaannya adalah
− � − ℎ
2
�
2
+ � − �
2
�
2
= 1 atau
� − �
2
�
2
− � − �
2
�
2
= 1.
D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN
LK 8.1 Irisan kerucut In
Untuk kegiatan tatap muka IN, dibentuk kelompok beranggotakan 4 atau 5 orang peserta. Diskusikanlah aktivitas-aktivitas berikut.
1. Bandingkan persamaan yang pembaca peroleh pada uraian materi di modul
dengan persamaan parabola yang dipelajari di SMP, yaitu � = ��
2
+ �� + �.
Apa hubungan kedua persamaan parabola tersebut ? 2.
Persamaan ellips juga dapat diturunkan dari definisi tempat kedudukan titik- titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap. Tunjukkan bahwa
persamaan ellips yang berpusat di �0, 0 dan jumlah jaraknya ke dua titik
tertentu, yaitu titik ��, 0 dan �
′
−�, 0 adalah
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1 dengan mengikuti
langkah-langkah berikut. Misalkan jumlah jarak yang tetap tersebut 2�.
a. Ambil sembarang titik ��, � pada ellips.
b. Jumlah jarak � ke � dan �′ tetap sebesar 2�, maka memenuhi �� + ��
′
= 2�. Dengan menggunakan jarak rumus jarak antara dua titik dan
pengkuadratan sebanyak dua kali, jabarkan dan sederhanakan persamaan
yang diperoleh. c.
Setelah diperoleh persamaan yang memuat �
2
− �
2
, tuliskan �
2
− �
2
= �
2
.
Modul PKB Guru Matematika SMA
127
d. Sederhanakan sampai diperoleh persamaan
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1.
3. Hiperbola yang paling sederhana, yaitu �� = 1
adalah hiperbola siku. Jika dibandingkan dengan hiperbola yang sudah dibahas, hiperbola ini
diperoleh dengan memutar sebesar 45° terhadap titik asal. Selidikilah sifat-sifat hiperbola ini.
LK 8.2 Irisan Kerucut On
1. Bumi mengelilingi matahari menurut lintasan yang berbentuk ellips, di mana
matahari berada di salah satu fokusnya ditemukan oleh Keppler pada tahun 1610. Nilai dari eksentrisitas
� =
� �
orbit bumi adalah 160. Carilah referensi
tentang jarak terjauh dan jarak terdekat bumi ke matahari aphelium dan perihelium. Selanjutnya susunlah persamaan orbit bumi.
2. Dari mana munculnya definisi ellips, parabola, dan hiperbola? Bagaimana
kerucut diiris oleh bidang sehingga menghasilkan kurva-kurva tersebut? Proses kerucut diiris bidang sehingga menghasilkan definisi kurva tersebut
dapat dijelaskan dengan menggunakan bola Dandelin. Carilah referensi tentang Bola Dandelin. Buatlah ringkasan tentang proses mendapatkan kerucut diiris
sehingga menghasilkan definisi parabola, hiperbola dan ellips. 3.
Carilah aplikasi parabola pada permasalahan nyata, misalnya pada alat-alat seperti antenna parabola. Carilah penjelasan tentang sifat parabola yang
diaplikasikan pada peralatan tersebut. 4.
Sebelum ditemukannya sistem GPS, untuk menentukan posisi kapal di laut digunakan sistem LORAN. Sistem ini melibatkan kurva-kurva hiperbola. Carilah
referensi tentang bagaimana prinsip kerja sistem ini.
LK 8.3 Soal HOTS tentang Irisan Kerucut On
1. Cermatilah, analisalah, dan bandingkan persamaan parabola, persamaan ellips,
dan persamaan hiperbola. Bila diberikan sebuah persamaan berderajad dua,
