Kegiatan Pembelajaran 8
120
Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips 25�
2
+ �
2
= 25.
Jawab: Persamaan
25�
2
+ �
2
= 25
dapat ditulis sebagai
�
2
+
�
2
25
= 1
. Jadi
� = 1
dan
� = 5
. Sumbu utamanya adalah sumbu-
�
. Titik puncaknya adalah
0, −5
,
0, 5
,
1,0
, dan
−1,0
. Nilai
�
diperoleh dari
� = √�
2
− �
2
= √25 − 1 = 2√6
Sehingga fokusnya adalah
0, −2√6
dan
0, 2√6
.
Contoh 7: Tentukan persamaan ellips yang panjang sumbu minornya 8 dan salah satu
puncaknya di
0, −5
dan sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu koordinat. Jawab
:
Karena panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di
0, −5
, maka a = 5 dan b = 4. Jadi persamaan ellips yang dicari adalah:
�
2
16 +
�
2
25 =
1
Selanjutnya akan dicari persamaan ellips yang pusatnya di titik
ℎ, �
dan sumbu- sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat. Jika diambil garis
��′
dan
��′
sebagai sumbu-sumbu koordinat, persamaan ellips adalah
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1
. Misal dilakukan translasi sumbu
��′
dan
��′
, dengan memindahkan titik asal
�
ke titik
�
, yang bersesuaian dengan titik
�
jika titik asalnya adalah
−ℎ, −�
. Jika
�
ditulis menjadi
� − ℎ
dan
�
menjadi
� − �
, maka persamaan ellips Gambar 108. Ellips
berpusat di ℎ, �
Modul PKB Guru Matematika SMA
121
yang bersesuaian dengan sumbu-
�
dan sumbu-
�
adalah
� − ℎ
2
�
2
+ � − �
2
�
2
= 1
Contoh 8: Analisalah dan kemudian tuliskan karakteristik
ellips dengan persamaan
�−1
2
25
+
�+2
2
9
= 1
. Jawab:
Dari persamaan terlihat bahwa ellips berpusat di
1, −2
,
� = 5
, dan
� = 3
. Panjang sumbu utama adalah 10 dan panjang sumbu minornya
adalah 6. Sumbu mayor garis
� = −2
, sedangkan sumbu minor garis
� = 1
. Ellips tersebut berpuncak di titik
1 + 5, −2 = 6, −2
,
1 − 5, −2 = −4, −2
,
1, −2 + 3 = 1, 1
, dan
1, −2 − 3 = 1, −5
. Fokus ellips di titik −3, −2 dan 5, −2.
4. Persamaan Hiperbola
Seperti halnya parabola, dan ellips, hiperbola juga memiliki banyak aplikasi di kehidupan. Salah satunya adalah menara pendingin pada PLTN penampangnya
berbentuk hiperbola. Beberapa lintasan komet juga berbentuk hiperbola. Pada Kegiatan Belajar ini akan dipelajari tentang persamaan hiperbola.
Salah satu definisi hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola
menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu � dan garis tertentu �. Hiperbola
adalah tempat kedudukan titik-titik � yang bergerak sedemikian sehingga
perbandingan jaraknya dari � dan � konstan lebih besar dari 1, yaitu ���� = �.
Kegiatan Pembelajaran 8
122
Lukis �� tegak lurus dengan �. Maka
pada �� terdapat titik � sedemikian
sehingga ���� = �, dan titik �’
sedemikian sehingga �’��’� = �, yaitu,
�� = � ⋅ �� dan �’� = � ⋅ �’�. Maka, menurut definisi,
� dan �’ berada pada hiperbola.
Gambar 109 Definisi Hiperbola Misalkan
�’� = 2� dan � titik tengah �’�, sehingga �’� = �� = �. �� dan �� akan dinyatakan dalam
� dan �. Karena �’� – �� = ��’� – ��, yaitu, 2� = �� + �� – � − ��, diperoleh
�� = ��. Selain itu,
�’� + �� = 2�� = ��’� + �� = � ⋅ 2� sehingga �� = ��. Selanjutnya akan ditentukan persamaan hiperbola. Dengan mengambil titik asal
�, sumbu-
� tegak lurus dengan direktriks dan sumbu-� sejajar dengan direktriks, misalkan
��, � sembarang titik pada hiperbola. Persamaan hiperbola dapat ditentukan dari syarat
�� = �. ��. Karena
���, 0, maka �� = �� − ��
2
+ �
2
. Karena �� = ��– �� = �– ��,
maka �. �� = �� – �� = �� – �.
Dengan demikian, �� − � = �� − ��
2
+ �
2
; sehingga �
2
− 1�
2
− �
2
= �
2
�
2
− 1, atau
�
2
�
2
−
�
2
�
2
�
2
−1
= 1.
Dengan mengambil bilangan positif �
2
�
2
− 1 = �
2
, diperoleh
�
2
�
2
−
�
2
�
2
= 1.
Persamaan di atas sering ditulis juga sebagai �
2
�
2
− �
2
�
2
= �
2
�
2
. Dari langkah-langkah di atas diperoleh unsur-unsur dan karakteristik hiperbola
sebagai berikut : a.
Misal dinotasikan �� = �, dari �
2
�
2
− 1 = �
2
diperoleh �
2
= �
2
+ �
2
.
Modul PKB Guru Matematika SMA
123
b. Garis �� dan garis �’�’ merupakan direktriks dari hiperbola. Kedua garis ini
berjarak
� �
dari titik O. Jadi direktriks hiperbola adalah garis dengan persamaan � = ±
� �
. c.
Karena �� = �, maka persamaan direktriks dapat ditulis sebagai � = ±
�
2
�
. d.
Titik ���, 0 atau ��, 0 merupakan fokus dari hiperbola. Hiperbola juga akan terbentuk jika didefinisikan dari fokus ke dua
�’ dan direktriks ke dua �’�’. Jadi fokus hiperbola tersebut adalah
��, 0 dan �’−�, 0. e.
Ruas garis �’� disebut sumbu nyata. Walaupun kurva tidak memotong sumbu- �, dapat ditempatkan �� = �, dan ��’ = −�, garis �’� atau sumbu-� disebut
sumbu sekawan conjugate axis.
f. Jelas bahwa �’ dan �, �’�’ dan �� simetris terhadap sumbu sekawan, yaitu
sumbu- �.
g. Titik �’ dan � disebut titik puncak vertexvertices, yaitu perpotongan antara
sumbu nyata dengan hiperbola. Koordinat titik puncak hiperbola adalah �, 0
dan −�, 0.
h. Titik O dinamakan pusat hiperbola, yaitu perpotongan antara sumbu nyata dan
sumbu sekawan. i.
Latus rectum hiperbola
�
2
�
2
−
�
2
�
2
= 1, ruas garis ��’ diperoleh dari mengalikan 2
ordinat positif dari fokusnya, yaitu dengan mengalikan 2 ordinat yang bersesuaian dengan
� = √�
2
+ �
2
. Diperoleh panjang latus rectum adalah
2�
2
�
. j.
Ruas kanan persamaan
�
2
�
2
−
�
2
�
2
= 1 atau �
� �
+
� �
� �
� �
−
� �
� = 1 tidak pernah bernilai 0 sehingga
� �
+
� �
≠ 0 dan
� �
−
� �
≠ 0. Jadi sembarang titik �, � pada hiperbola tidak pernah terletak pada garis
� �
+
� �
= 0 atau � = −
� �
� dan garis
� �
−
� �
= 0 atau � =
� �
�. Kedua garis ini dinamakan asimptot hiperbola.
Kegiatan Pembelajaran 8
124
Contoh 9: Diberikan hiperbola
�
2
9
−
�
2
16
= 1. Analisalah dan kemudian tentukan karakteristik
hiperbola ini. Jawab:
Dari persamaan diperoleh �
2
= 9 atau � = 3 dan �
2
= 16 atau � = 4 sehingga
� = √9 + 16 = 5. Karakteristiknya adalah: a.
Berpusat di �0,0. b.
Fokus di titik −5,0 dan 5,0. c.
Sumbu utama adalah sumbu-� dengan panjang 6. d.
Sumbu sekawan adalah sumbu-� dengan panjang 8. e.
Titik puncaknya di −3,0 dan 3,0. f.
Panjang latus rectum
32 3
. g.
Direktriks garis � = −
9 5
dan � =
9 5
. h.
Eksentrisitas � =
5 3
. i.
Asimptotnya garis � = ±
� �
�. Jika sumbu-
� merupakan sumbu nyata, maka fokusnya terletak di sepanjang sumbu nyata ini, variabel
� dan � bertukar posisi dalam persamaan, sehingga diperoleh −
�
2
�
2
+ �
2
�
2
= 1 atau
�
2
�
2
− �
2
�
2
= 1
di mana 2� menyatakan sumbu nyata �′�, dan 2� merupakan panjang sumbu
sekawan �’�.
x
1
2 2
2 2
= −
b y
a x
y
x a
b y
− =
x a
b y
=
F’ -c,0
F c,0
A’ -a,0
A a,0
b,0
- b
B
B’ O
C C’
Gambar 110. Unsur-unsur hiperbola
