Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Kegiatan Pembelajaran 5 60 Suatu jalur jalan dan jembatan yang arahnya tegak lurus sungai harus dibangun untuk menghubungkan kota � ke kota � dengan posisi seperti pada gambar. Tentukan posisi jembatan agar diperoleh total jarak yang harus dilalui dari kota � ke � menjadi minimum. Penyelesaian Buat vektor � dengan panjang sama dengan lebar sungai dan tegak lurus sisi sungai. Translasikan B dengan vektor translasi � sehingga diperoleh �′. ��′ memotong sisi sungai di �. Di titik � inilah jembatan �� ′ dibangun. Untuk menunjukkan bahwa �� + ��’ + �’� minimum, digunakan sifat segitiga. Untuk � tidak sama dengan �, �� ′ �� + ��′ sifat segitiga �� + �� ′ �� + ��′ penjumlahan ruas garis �� + �� ′ �� + �′� sifat jajargenjang �� ′ = �′� dan �� ′ = �′� �� + � ′ � + �� ′ �� + � ′ � + ��′ ��’ = ��’ �� + �� ′ + � ′ � �� + �� ′ + �′� sifat komutatif penjumlahan Jarak total dari � ke � melalui � kurang dari jarak total dari � ke � melalui �. b. Rotasi Perputaran 1 Rotasi dengan pusat �0, 0 Rotasi dengan pusat �0, 0, dengan sudut rotasi � dinotasikan sebagai � �,� . Rotasi dengan pusat � sudut rotasi � merupakan suatu transformasi yang memenuhi: i. Untuk setiap titik � ≠ �, maka �� = ��′ dan ∠��� ′ = �. ii. Bayangan pusat rotasi � adalah � sendiri. Misalkan sudut antara sumbu- � positif dan �� adalah �, maka pada titik � berlaku hubungan � = ��. cos � dan � = ��. sin � ……. Modul PKB Guru Matematika SMA 61 Pada rotasi dengan pusat �0, 0 dan sudut rotasi � bayangan titik � adalah �’�’, �’ dangan � ′ = ��. cos� + � dan � ′ = ��. sin� + �. Akibatnya, � ′ = ��. cos � cos � − ��. sin � sin � � ′ = ��. sin � cos � + ��. cos � sin � Dengan mensubstitusikan ke persamaan di atas, diperoleh � ′ = � cos � − � sin � � ′ = � sin � + � cos � Dalam bentuk matriks, dapat dituliskan sebagai ��′ �′� = � cos � − sin � sin � cos �� � � �� Contoh soal: Tentukan persamaan bayangan garis � = 2� + 1 oleh rotasi 45° dengan pusat 0,0. Alternatif penyelesaian: Misalkan titik ��, � titik pada garis � = 2� + 1. Titik ini akan dipetakan ke � ′ � ′ , � ′ dengan persamaan � ′ = � cos 45° − � sin 45° dan � ′ = � sin 45° + � cos 45°. Jika disederhanakan diperoleh � ′ = 1 2 √2. � − 1 2 √2. � dan � ′ = 1 2 √2. � + 1 2 √2. �. Gambar 44. Rotasi berpusat di 0, 0