Modul PKB Guru Matematika SMA
127
d. Sederhanakan sampai diperoleh persamaan
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1.
3. Hiperbola yang paling sederhana, yaitu �� = 1
adalah hiperbola siku. Jika dibandingkan dengan hiperbola yang sudah dibahas, hiperbola ini
diperoleh dengan memutar sebesar 45° terhadap titik asal. Selidikilah sifat-sifat hiperbola ini.
LK 8.2 Irisan Kerucut On
1. Bumi mengelilingi matahari menurut lintasan yang berbentuk ellips, di mana
matahari berada di salah satu fokusnya ditemukan oleh Keppler pada tahun 1610. Nilai dari eksentrisitas
� =
� �
orbit bumi adalah 160. Carilah referensi
tentang jarak terjauh dan jarak terdekat bumi ke matahari aphelium dan perihelium. Selanjutnya susunlah persamaan orbit bumi.
2. Dari mana munculnya definisi ellips, parabola, dan hiperbola? Bagaimana
kerucut diiris oleh bidang sehingga menghasilkan kurva-kurva tersebut? Proses kerucut diiris bidang sehingga menghasilkan definisi kurva tersebut
dapat dijelaskan dengan menggunakan bola Dandelin. Carilah referensi tentang Bola Dandelin. Buatlah ringkasan tentang proses mendapatkan kerucut diiris
sehingga menghasilkan definisi parabola, hiperbola dan ellips. 3.
Carilah aplikasi parabola pada permasalahan nyata, misalnya pada alat-alat seperti antenna parabola. Carilah penjelasan tentang sifat parabola yang
diaplikasikan pada peralatan tersebut. 4.
Sebelum ditemukannya sistem GPS, untuk menentukan posisi kapal di laut digunakan sistem LORAN. Sistem ini melibatkan kurva-kurva hiperbola. Carilah
referensi tentang bagaimana prinsip kerja sistem ini.
LK 8.3 Soal HOTS tentang Irisan Kerucut On
1. Cermatilah, analisalah, dan bandingkan persamaan parabola, persamaan ellips,
dan persamaan hiperbola. Bila diberikan sebuah persamaan berderajad dua,
Kegiatan Pembelajaran 8
128
bagaimana cara mengetahui apakah persamaan tersebut merupakan parabola, ellips, atau hiperbola ?
2. Susunlah dua soal HOTS terkait irisan kerucut. Soal dapat berupa pilihan ganda
atau uraian. Lengkapilah dengan kunci jawaban ataupun pedoman penskorannya.
E. LATIHANKASUSTUGAS
1. Pada kerucut yang diiris oleh bidang, apa hubungan antara hiperbola dan dua
garis berpotongan ? 2.
Apakah mungkin eksentrisitas � bernilai negatif ? Jelaskan. 3.
Tentukan fokus, persamaan direktriks, dan latus rectum dari parabola berikut. a.
�
2
= 8�.
b. �
2
= 8�.
c. � = 2�
2
d. 6� = −�
2
4. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik asal dan sumbunya
adalah salah satu sumbu koordinat, dan memenuhi kondisi yang diberikan. a.
Ruas garis yang kedua titik ujungnya −2,5 dan −2, −5 merupakan salah satu tali busurnya.
b. Ruas garis yang kedua titik ujungnya −2,6 dan 2,6 merupakan salah
satu tali busurnya. c.
Fokusnya 0, −3 d.
Fokusnya terletak pada garis3� + 4� = 12. 5.
Tentukan persamaan parabola yang memenuhi kondisi berikut. a.
Direktriksnya garis � = 6 dan fokusnya titik 4,2. b.
Direktriksnya garis 4� = 3 dan fokusnya titik 1,1. 6.
Tentukan puncak, fokus, dan direktriks dari parabola berikut. a.
�
2
− 4� − 6� + 10 = 0. b.
�
2
= 3� + 2� + 5.
c. 2�
2
+ 12� + 3� + 3 = 0.
d. � = 2�
2
− 6� + 3.
Modul PKB Guru Matematika SMA
129
7. Buktikan bahwa puncak kedua parabola �
2
− 2� = 5� − 11 dan �
2
= 4 � +
5� − 9 sama, dan tentukan titik perpotongan kedua parabola. 8.
Suatu antenna penerima berbentuk parabola dengan lebar penampang 12m dan kedalaman
2m. Di manakah penerima sinyal harus ditempatkan agar penerimaan optimal ?
9. Tentukan fokus, direktriks, dan panjang latus rectum ellips berikut.
a.
4 �
2
+ 25�
2
=
100.
b.
�
2
+ 25�
2
= 25.
c.
3�
2
+ 4 �
2
= 12.
d.
25�
2
+ 9 �
2
= 225.
10. Tentukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya adalah sumbu koordinat
dan memenuhi kondisi berikut: a.
Fokus
±4,0
; puncaknya
± 6,0.
b. Fokus
± 3,0
; direktriks
� = ±12.
c. Panjang sumbu minor 6; fokus
±4,0.
d. Puncak
± 8,0
; eksentrisitas
¾.
11. Tentukan pusat, eksentrisitas, dan fokusnya.
a.
�
2
+ 9 �
2
+ 16� − 18� − 11 = 0.
b.
4 �
2
+ 25�
2
− 8� − 100� + 4 = 0.
c.
2�
2
+ 5�
2
− 16� + 20� + 42 = 0.
12. Tentukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu
kordinat dan memenuhi kondisi berikut. a.
Berpusat di
4, 3
, eksentrisitas
½
, sumbu utama sejajar sumbu-
�
dan
panjangnya 12.
b. Fokus di
6, −2
dan
−2, −2
, dan panjang sumbu utama dua kali
panjang sumbu minor.
c. Berpusat di
1,2
dan melalui titik
1,1
dan
3,2
13. Tentukan fokus, eksentrisitas, panjang latus rectum, dan direktriks dari
hiperbola-hiperbola berikut. a.
4�
2
− 25�
2
= 100.
Kegiatan Pembelajaran 8
130
b. 9�
2
− 4�
2
= 36.
14. Tentukan persamaan hiperbola yang sumbu-sumbunya sepanjang sumbu
koordinat dan memenuhi kondisi berikut. a.
Salah satu titik puncaknya 4,0 dan fokusnya 5,0. b.
Salah satu titik puncaknya 0,8 dan eksentrisitasnya 2. c.
Salah satu asimptotnya 2� = 3�, dan fokusnya 13,0. 15.
Diberikan dua persamaan berikut. �. 4�
2
− 9�
2
− 16� + 18� = 29. ��. 9�
2
− �
2
+ 36� + 6� + 18 = 0.
a. Selidikilah apakah kedua persamaan di atas merupakan persamaan irisan
kerucut dengan jenis yang sama ? Jelaskan mengapa demikian. b.
Apakah kedua persamaan memiliki asimptot ? Jelaskan mengapa. c.
Tentukanlah eksentrisitas, puncak, dan fokusnya.
F. RANGKUMAN
Irisan kerucut merupakan irisan antara kerucut ganda dan bidang. Jenis irisan kerucut ditentukan oleh sudut antara garis pelukis kerucut dan sudut antara bidang
dengan sumbu kerucut. Irisan kerucut juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang
perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu tetap. Bilangan perbandingan ini dinamakah eksentrisitas
�. a.
Jika � = 1, irisan kerucut berupa parabola.
b.
Jika � 1, irisan kerucut berupa ellips.
c.
Jika � 1, irisan kerucut berupa hiperbola.
Definisi lain : a.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
b. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik
tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu sama. c.
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap.
Modul PKB Guru Matematika SMA
131
d. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya ke dua
titik tertentu tetap. Persamaan parabola yang puncaknya di
�0,0 dan sumbunya pada sumbu-� adalah
�
2
= 4 �� dan �
2
= −4��.
Persamaan parabola yang puncaknya di �0,0 dan sumbunya pada sumbu-�
adalah �
2
= 4 �� dan �
2
= −4��.
Persamaan parabola yang puncaknya di ℎ, � dan sumbunya sejajar sumbu-�
adalah � − �
2
= 4 �� − ℎ dan � − �
2
= −4�� − ℎ.
Persamaan parabola yang puncaknya di ℎ, � dan sumbunya pada sumbu-
�adalah� − ℎ
2
= 4 �� − � dan � − ℎ
2
= −4�� − �.
Persamaan ellips yang berpusat di �0, 0 dan sumbu mayornya sumbu-� adalah
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1 dan mempunyai sifat-sifat berikut.
a. Pusat di �0, 0
b. Sumbu simetri : sumbu mayor adalah sumbu-� dan sumbu minor adalah
sumbu- �.
c. Panjang sumbu mayor 2� dan panjang sumbu minor 2�.
d. Fokus di �, 0 dan −�, 0
e. Puncak di �, 0, −�, 0, 0, � dan 0, −�
f. Direktriks garis� = ±
� �
= ±
�
2
�
. g.
Panjang latus rectum adalah
2�
2
�
. Persamaan ellips yang berpusat di
�0, 0 dan sumbu mayornya sumbu-� adalah
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1.
Persamaan ellips yang berpusat di �ℎ, � dan sumbu mayornya sejajar dengan
sumbu- � adalah
�−ℎ
2
�
2
+
�−�
2
�
2
= 1.
Persamaan hiperbola yang pusatnya di �0, 0 dengan sumbu nyata sumbu-� adalah
�
2
�
2
−
�
2
�
2
= 1.
Sifat-sifat hiperbola
�
2
�
2
−
�
2
�
2
= 1 :
a. Hubungan nilai �, � dan � adalah �
2
= �
2
+ �
2
.
Kegiatan Pembelajaran 8
132
b. Direktriks hiperbola adalah garis dengan persamaan � = ±
� �
. c.
Fokus hiperbola tersebut adalah ��, 0 dan �’−�, 0. d.
Sumbu-� merupakan sumbu sekawan conjugate axis. e.
Koordinat titik puncak hiperbola adalah �, 0 dan −�, 0. f.
Panjang latus rectum adalah
2�
2
�
. g.
Garis � = −
� �
� dan garis � =
� �
� dinamakan asimptot hiperbola. Persamaan hiperbola dengan pusat
�0, 0 dan sumbu nyata sumbu-� adalah −
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1 atau
�
2
�
2
−
�
2
�
2
= 1.
Persamaan hiperbola yang pusatnya di titik ℎ, � dan sumbu nyatanya sejajar
dengan sumbu- � adalah
�−ℎ
2
�
2
−
�−�
2
�
2
= 1.
Dengan sifat-sifat: a.
Pusat di ℎ, �. b.
Puncak di �
1
ℎ + �, � dan �
2
ℎ– �, �. c.
Fokus di �
1
ℎ + �, � dan �
2
ℎ– �, �. d.
Asimptot garis � − � = ±
� �
� − ℎ.
G. UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Anda telah mempelajari materi irisan kerucut dan persamaan-persamaannya. Untuk menguasai materi ini dibutuhkan keterampilan perhitungan dan penguasaan
dasar-dasar geometri yang kuat. Sebelum melanjutkan ke materi berikutnya, ada baiknya Anda mengerjaan soal latihan terlebih dahulu baru kemudian mencocokkan
jawaban dengan kunci yang tersedia. Hitunglah jawaban yang benar, kemudian gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
kompetensi dalam Kegiatan Pembelajaran 8.
Tingkat penguasaan kompetensi = ������ ������� �����
������ ���� ×
100
Tingkat penguasaan kompetensi Keterangan
90 – 100 Baik sekali
80 – 89 Baik
70 – 79 Cukup
0 – 69 Kurang
