Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti
29
Matematika
rasional atau 2
5 2 5
× =
adalah bilangan irasional
d Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional
atau bilangan irasional. Contoh:
• 5
× 125
= 5
× 5 5
= 25 25 adalah bilangan rasional
• 3
5 15
× =
15 adalah bilangan
irasional e
a
n
disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat
n dari a adalah bilangan irasional. Untuk merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
+ −
, ,
r p
q +
, dan r
p q
− .
dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a
2
– b
2
, sehingga p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q p
q +
− =
− =
− +
− =
− =
−
2 2
2 2
2
Bentuk p
q +
dan bentuk p
q −
saling sekawan, bentuk
p q
+ dan
p q
− juga saling sekawan.
Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan
real.
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
+ =
+ −
− =
− −
.
2
dimana q ≥
0 dan p
2
≠ q.
30
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
r p
q r
p q
p q
p q
r p q
p q
− =
− +
+ =
+ −
.
2
dimana q ≥
0 dan p
2
≠ q. r
p q
r p
q p
q p
q r
p q
p q
+ =
+ −
− =
− −
. dimana p
≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
r p
q r
p q
p q
p q
r p
q p
q −
= −
+ +
= +
− .
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p
≠ q
Contoh 1.8
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a.
2 3
2 2
3 2
3 2
3 2
− =
− × +
+ =
+ −
+ 2 3
2 3
2 3 2
= +
− =
+ =
+ 2 3
2 9
2 6
2 2 7
6 7
2 7
7
b. 3
6 3
3 6
3 6
3 6
3 3 6
3 6
3 6
3 +
= +
× −
−
= −
+ −
31
Matematika
= −
− =
− =
− 18 3 3
36 3 18 3 3
33 6
11 3
11 c.
4 7
5 4
7 5
7 5
7 5
4 7
5 7
5 7
5 4
7 5
7 5 4 7
4 5 2
2 7 2 5
− =
− ×
+ +
= +
− +
= +
− =
+ =
+
Contoh 1.9
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan- bilangan berikut
1 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 +
+ +
+ +
+
+ +
+ =
... ...?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
= 1
1 2
1 2
1 2
+ ×
− −
+ 1
2 3
2 3
2 3
+ ×
− −
+ 1
3 4
3 4
3 4
+ ×
− −
+ Jelaskan cara mera-
sionalkan bentuk akar dengan mengalikan ben-
tuk sekawan sesuai penye- but dari bentuk rasional
seperti pada Contoh 1.9. Beri kesempatan pada
siswa untuk mencoba menguji penyelesaian soal
pada contoh-contoh yang diberikan.
32
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
1 4
5 4
5 4
5 +
× −
− + ... +
1 99
100 99
100 99
100 +
× −
−
= 1
2 1
2 3
1 3
4 1
4 5
1 99
100 1
− −
+ −
− +
− −
+ −
− +
+ −
− ...
= – 1
2 2
3 3
4 4
5 99
100 +
− +
− +
− +
− − +
... =
− +
= − + =
1 100
1 10 9
.
Contoh 1.10
Tentukan nilai dari 1
3 1
3 1
3 +
+ + ...
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = +
+ +
3 1
3 1
3 ...
atau P
P = +
3 1
⇔ P
2
– 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh:
⇔ P −
− =
3 2
13 4
2
⇔ P =
+ 6
2 13 4
Minta siswa mengamati Contoh 1.10 dan memberi
kebebasan berpikir dalam menganalisis permasala-
han yang diberikan. Uji pemahaman dengan men-
gajukan berbagai per- tanyaan serta ingatkan
kembali materi prasyarat yang dibutuhkan dalam
pentelesaian soal terse- but.
Bantu siswa memanfaat- kan pemisalan dan ingat-
kan kembali materi persa- maan kuadrat yang telah
dipelajari di SMP, tentang bentuk kuadrat sempurna,
agar siswa dapat melan- jutkan tugas memahami
langkah penyelesaian Contoh 1.10
33
Matematika
Jadi, nilai 1
3 1
3 1
3 1
6 2 13
4 4
6 2 13
+ +
+ =
+ =
+ ...
Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4
6 2 13
4 6
2 13 6
2 13 6
2 13 4 6
2 13 16
+ =
+ −
− =
− −
. =
− 2 1
3 6
2 Jadi,
1 3
1 3
1 3
2 13 6
2 +
+ +
= −
...
3 Menyederhanakan bentuk p
q pq
+ ± 2
Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk
p q
pq +
± 2 . Perhatikan proses berikut ini
Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu a.
p q
p q
+ +
b. p
q p
q −
− Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu
akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi p
q pq
+ ± 2
. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut Arahkan siswa mema-
hami cara penyederha- naan bentuk akar dengan
menjelaskan penyelesaian Contoh 1.11.
34
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi 1.2
1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini a.
5 15
d. 6
24 b.
2 20
e. 2 2
48 c.
3 18
f. 2
3 a
a 2. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini
a. 1
5 3
− d.
3 5
10 −
b. 4
2 4
2 −
+ e.
xy x
y +
c. 2
3 5
a a
+ f.
24 54
150 96
+ −
Contoh 1.11
Sederhanakan bentuk akar berikut ini a.
8 2 15
+ =
5 3
2 5 3
5 2 5
3 3
+ +
× = +
× + =
5 3
5 3
2
+ =
+ b.
9 4 5
− =
5 4 5
4 5
2 5
2
2
− + =
− =
−
Berikan soal-soal pada Uji Kompetensi 1.2 se-
bagai pekerjaan rumah sesuaikan dengan materi
yang telah dipelajari. Hal ini berguna untuk mengu-
kur penguasaan siswa ter- hadap konsep dan prinsip
matematika yang telah di- pelajari.
35
Matematika
3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a.
15 75
1 2
3 −
− b.
7 2
8 11
2 8
+ +
− c.
4 3
2 3
2 1 5
3 2
+ −
− +
− d
. 10
5 6
12 6
7 14
7 8
+ +
+ +
+ 4. Jika
2 3
2 3
6 −
+ =
+ a
b , tentukan
nilai a + b
5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 19 8 3
+ b.
5 2 6
+ c.
43 12 7
+ d.
21 4 5 −
e. 18
8 2 11
6 2
+ +
− f.
3 14
6 5 21
12 3 −
+ +
SOAL TANTANGAN
1. Tentukanlah nilai dari: a.
2 3
2 3
2 3 ...
3 3
3 3
b. 2
2 2
2 2
+ +
+ +
+ ...
c. 1
1 1
1 1
1 +
+ +
... 2. Jika a,b bilangan asli dengan
a ≤ b dan
3 4
+ +
a b
adalah bilangan rasional, tentukan pasangan
a,b. OSN 20052006 3. Nyatakan b dalam a dan c dari
persamaan b
c c
a
3 3
= abc. 4. Sederhanakan bentuk
49 20 6
4
− .
5. Tentukan nilai a dan b dari
1 2
3 1
3 4
1 4
5 1
1 000 000 1 000 001
+ +
+ +
+ + +
+ =
− ...
. .
. .
a b
6. Hitunglah
54 14 5
12 2 35
32 10 7
+ +
− +
− =
7. Jika3+43
2
+4
2
3
4
+4
4
3
8
+4
8
3
16
+4
16
3
32
+4
32
= 4
x
–3
y
, tentukan nilai x–y .
36
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Projek
Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irasional. Sebagai contoh
0,333... bukanlah bilangan irasional, karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan 1
3 . Kenyataannya, bilangan pecahan
desimal tak hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan
desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri contoh penerapan prosedur yang kamu
rancang.
b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional
π tidak mungkin sama dengan
22 7
, karena 22
7 hanyalah pendekatan
untuk nilai π sebenarnya.
1 Berapakah kesalahan 22
7 terhadap nilai
π? 2 Dengan menggunakan prosedur yang
kamu rancang di atas tentukan pecahan yang lebih mendekati nilai
π daripada 22
7 kesalahannya lebih kecil.
3 Apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh daripada menggunakan
22 7
4 Buat laporan projek ini dan paparkan di depan kelas.
Tugas proyek ini sebagai merupakan tugas indi-
vidu ataupun kelompok. Setelah tugas ini sele-
saikan dikerjakan dalam waktu tertentu minta
siswa untuk menyajikan laporannya di depan ke-
las.Gunakan rubrik pe- nilaian tugas dan projek
yang telah disajikan di bagain akhir buku ini
37
Matematika