Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
369
Matematika
Contoh 8.6
Misalkan diketahui titik-titik berikut ini: 1. A
–12,5 dan ∠XOA = α. 2. B 15,–8 dan ∠XOB = θ.
Tentukanlah nilai sin α dan tan α, serta cos θ dan tan θ
Alternatif Penyelesaian 1. Dengan memperhatikan koordinat titik A
–12,5, sangat jelas bahwa titik tersebut terletak di kuadran
kedua, karena x = –12, dan y = 5. Secara geometris, disajikan pada gambar berikut ini.
Gambar 8.16 Titik A –12,5 pada kuadran II
x Karena x = –12, dan y = 5, dengan menggunakan
teorema Phytagoras diperoleh sisi miring, r = 13. Oleh karena itu, diperoleh :
• sin α = 5
13 12 .
• tan α = – 5
13 5
12 .
2. Titik B 15, –8, berada di kuadran IV, karena x = 15, dan y
= –8. Untuk x =15, y = –8, dengan menggunakan teorema
Phytagoras diperoleh sisi miring, r = 17. Oleh karena itu, berlaku:
Ajukan pertanyaan ke siswa mengapa segitiga
yang terbentuk berada pada kuadran II.
Jika ada pertanyaan- pertanyaan atau ide-ide
dari seorang siswa, beri- kan kesempatan ke siswa
lain untuk memberikan tanggapan tentang ide
pertanyaan tersebut. Selain itu, pastikan siswa
telah memahami penem- patan sudut
α pada segiti- ga pada Gambar 8.16 me-
lalui pertanyaan berikut: i. Mengapa sudut α tidak
ditempatkan pada titik A?
ii. Mengapa bukan projek- si sumbu x yang dimun-
culkan untuk memben- tuk segitiga?
370
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Gambar 8.17 Titik B 15, –8 pada kuadran IV
x
• cos θ = 15
17 17 .
• tan θ = – 15
17 8
17 .
Dari contoh di atas, dapat dipahami, ternyata nilai sudut perbandingan trigonometri, dapat bernilai positif
juga negatif, tergantung pada letak koordinat titik yang diberikan. Selanjutnya, kebalikan dari kondisi pada Contoh
8.6, dapat diperhatikan pada contoh berikut ini.
Contoh 8.7
Jika diketahui: 1. cos
θ = – 4
5 12
θ θ
dengan 90
o
θ 180
o
, tentukan nilai cosec θ dan cotan θ.
2. tan β = – 16
12 dengan 90
o
β 180
o
, tentukan nilai sin
β dan cos β. Alternatif Penyelesaian
1. Sudut θ yang terletak di kuadran II menjadi penentu tanda nilai perbandingan trigonometri. Dalam
koordinat Cartesius, cos θ = – 4
5 12
θ θ
, digambarkan sebagai berikut:
Pastikan siswa memaha- mi bagaimana penulisan
lain dari 90 ˚ θ 180˚?,
penulisan sudut tersebut dalam dituliskan dalam
bentuk π
θ π 2
. Hal ini diperlukan untuk
memperkaya pengeta- huan siswa dalam istilah
matematika dan simbol-
simbol matematika.
371
Matematika
Gambar 8.18 cos θ = –
4 5
Gambar 8.19 tan β = –
16 12
Dari gambar di samping, mudah kita pahami bahwa: • cosec θ =
6 12
1 5
3 =
sin s
θ θ
• cotan θ =
1 4
3 tan
θ = −
2. Dengan pemahaman yang sama, dapat kita gambarkan tan
β = – 1
4 3
16 12
= θ
θ , dengan β di kuadran IV sebagai berikut:
Dengan atribut segitiga siku-siku yang sudah lengkap, seperti pada gambar di samping, dengan mudah kita
menentukan: • sin β = –
16 12
16 20
12 θ
θ = –
4 5
• cos β = 16
20 12
20 θ
θ =
3 5
372
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Tentunya, dengan pengetahuan dari Gambar 8.20 dan pengalaman pembahasan Contoh 8.5 dan 8.6 di atas, dapat
kita merumuskan nilai perbandingan trigonometri di setiap kuadran, yaitu:
Sifat-8.1
a. Jika 2
α π
, maka nilai sinus, cosinus, dan tangen bertanda positif.
b. Jika π
α π
2 , maka nilai sinus bertanda positif
dan nilai cosinus dan tangen bertanda negatif. c. Jika
π α
π 3
2 , maka nilai tangen bertanda
positif dan nilai sinus dan cosinus bertanda negatif. d. Jika
3 2
2 π
α π
, maka nilai cosinus bertanda positif dan nilai sinus dan tangen bertanda negatif.
Dalam kajian trigonometri ada istilah sudut istemewa, yang artinya sudut-sudut yang nilai perbandingan
trigonometri dapat ditentukan secara eksak. Misalnya, 30°, 45°, 60°, dan 90° merupakan sudut istimewa di kuadran I.
Selanjutnya 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, dan 300°, 315°, 330°, 360° berturut-turut adalah
sudut-sudut istimewa di kuadran II, III, dan IV. Pada beberapa referensi yang lain, sudut-sudut istimewa tersebut
dinyatakan dalam satuan radian. Pembahasan selanjutnya, yaitu, bagaimana nilai-nilai
perbandingan trigonometri untuk setiap sudut istimewa. Pertama kali, akan kita kaji nilai-nilai perbandingan
tersebut di kuadran I. Melalui pembahasan
Contoh 8.6 dan 8.7, Guru dan siswa berkolaborasi
menyimpulkan tanda nilai perbandingan trigonom-
eteri pada kuadran I, II,
III, dan IV. Pastikan siswa mema-
hami Sifat 8.1, dengan mengajukan pertanyaan
berikut : 1 Sebutkan nilai per-
bandingan trigonome- tri yang lain yang
nilainya sec α bertan-
da positif, di kuadran II.
2 Di kuadran berapa ni- lai perbandingan sela-
lu positif? Bagaimana dengan cotan
α? Berikan penjelasan ke
siswa, pemahaman akan nilai setiap perbandin-
gan bertanda negati atau positif sangat diperlukan
untuk kajian selanjutnya.
373
Matematika