Memahami dan Menemukan Konsep Nilai
59
Matematika
dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya.
Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah sumbu x negatif. Banyak
langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah dinyatakan
dengan nilai mutlak negatif 3 atau |-3|, sehingga banyak langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9
9 langkah.
Perhatikan Tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1 Nilai Mutlak
Nilai Nilai Mutlak
5 5
3 3
2 2
–2 2
–3 3
–4 4
–5 5
Dari ilustrasi dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik sebuah kesimpulan tentang pengertian nilai? Jika x adalah
variabel pengganti semua bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak x tersebut?
Perhatikan, x bilangan real, dituliskan dengan x ∈ R.
Dari contoh pada tabel tersebut, kita melihat bahwa nilai mutlak akan bernilai positif atau nol nonnegatif.
Nilai mutlak adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Perhatikan garis bilangan
berikut Kita melakukan beberapa percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan sebagai berikut.
|3| = 3 |–3| = 3
|–2| = 2
–3 –2 –1 1
2 3
4 –3 –2 –1
1 2
3 4
–3 –2 –1 1
2 3
4
Beri kesempatan kepada siswa untuk mengamati
tabel disamping. Minta siswa untuk menyampai-
kan pendapatnya. Beri pertanyaan kepada siswa,
bagaimana dengan nilai mutlak pada nilai desi-
mal, pecahan?
Pandu kembali siswa un- tuk menemukan konsep
nilai mutlak dengan me- ngamati percobaan pada
garis bilangan di sam- ping.
Buat satu persoalan ni- lai mutlak yang baru,
kemudian minta siswa untuk menggambarkan-
nya pada garis bilangan serta minta dia untuk
menjelaskan pendapatnya terhadap kinerjanya sen-
diri. Jawaban yang kurang cocok, harus di-
perbaiki oleh guru.
60
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
|x| = x |–x| = x
|0| – 0
–x ... –1
1 2
... x
–x ... –1
1 2
... x
–x ... –1
1 2
... x
Gambar 2.3 Selang Nilai Mutlak
Berdasarkan masalah – masalah di atas, dapat kita deinisikan konsep nilai mutlak, sebagai berikut.
Deinisi 2.1
Misalkan x bilangan real, nilai mutlak x, dituliskan │x│,
dideinisikan x
x x
x x
= ≥
−
jika jika
Berikut ini, kita akan mencoba menggambar graik
f x x
x x
x x
= =
≥ −
jika
jika
. Perhatikan beberapa titik yang mewakili graik fungsi di
atas.
Tabel 2.2 Beberapa Pasangan Koordinat Titik pada gaik
f x x
= x
... –4
–2 –1
y = fx ...
4 2
1 x,y
... –4,4
–2,2 –1,1
0,0 x
1 2
4 5
... y = fx
1 2
4 5
... x,y
1,1 2,2
4,4 5,5
...
Titik-titik yang kita peroleh pada tabel ini, disajikan dalam koordinat kartesius sebagai berikut.
Beri kesempatan kepada siswa untuk menarik ke-
simpulan nilai mutlak . Minta menarik kesimpu-
lan tentang nilai mutlak. Arahkan siswa meng-
hubungkan kesimpulan yang mereka tarik ke
Deinisi 2.1. Minta siswa untuk mem-
buat contoh baru sesuai dengan deinisi.
Arahkan siswa untuk be- lajar menggambar graik
fungsi mutlak, yaitu dengan melengkapi Tabel
2.2 berdasarkan pemaha- man sebelumnya. Minta
siswa untuk meletakkan setiap koordinat titik yang
di peroleh ke bidang koor- dinat kartesius.
Ingatkan siswa cara me- letakkan pasangan titik
x,y pada bidang koor- dinat, kemudian beri ke-
sempatan kepada mereka
61
Matematika
Gambar 2.4: Graik y = fx=|x|
Berdasarkan deinisi dan gambar graik di atas dapat kita simpulkan bahwa nilai |x| pada dasarnya menyatakan besar
simpangan dari titik x = 0.
Contoh 2.1
Gambarkan graik f x
x =
− 2 dengan memanfaatkan
Deinisi 2.1.
Alternatif Penyelesaian
Mari amati langkah– langkah berikut. Langkah 1.
Buatlah tabel untuk menunjukkan pasangan beberapa titik yang mewakili graik tersebut. Tentukan pertama kali nilai
x yang membuat nilai fungsi tersebut nol. Tentu x = 2, bukan? Jadi, koordinat awal kita adalah 2,0
Tabel 2.3 Beberapa pasangan koordinat pada graik
f x x
= − 2
x ...
-4 -3
-2 -1
y ...
... 5
... ...
2 x,y
... ...
-3,5 ...
... 0,2
x 1
2 3
4 ...
y ...
... 2
... x,y
... 2,0
... 4,2
... untuk meletakkan pasa-
ngan titik pada Tabel 2.2 di atas ke bidang sumbu
koordinat kartesius. Minta mereka menghubungkan
setiap titik yang telah di- letakkan.
Motivasi siswa secara in- ternal melalui menunjuk-
kan kebergunaan mempe- lajari nilai mutlak dalam
kehidupan sehari-hari. Ajukan contoh berikut
untuk lebih mendalami materi. Beri kesempatan
pada siswa menganalisis masalah dan makna nilai
mutlak dari berbagai ke- mungkinan nilai bilangan
riel. Minta siswa melengkapi
tabel yang ada pada buku siswa seperti yang tertera
pada tabel di bawah ini. Selanjutnya minta siswa
menggambarkan graik fungsi
f x x
= − 2
, dengan langkah – langkah
berikut. Contoh ini telah diselesaikan.
62
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Lengkapilah tabel di atas dan kamu akan menemukan beberapa koordinat titik yang memenuhi fungsi
f x x
= − 2
tersebut
Langkah 2. Letakkanlah titik – titik yang kamu peroleh pada tabel di
atas koordinat kartesius.
Gambar 2.5: Titik pada kurva f x = │x – 2│
4,2 0,2
-3,5
x 1
2 3
4 -1
-2 -3
-4 -5
y
1 2
3 4
5
Langkah 3. Buatlah garis lurus yang menghubungkan titik – titik
yang sudah kamu letakkan di bidang koordinat tersebut sesuai dengan urutan nilai x
. Kamu akan mendapat graik seperti pada gambar berikut.
4,2 0,2
-3,5
x
1 2
3 4
-1 -2
-3 -4
-5 y
1 2
3 4
5
− =
Gambar 2.6: Graik f x = │x – 2│
Minta siswa untuk kem- bali meletakkan pasangan
titik pada Tabel 2.3 ke bi- dang koordinat.
Minta siswa untuk men- ghubungan titik – titik
tersebut sehingga terben- tuk kurva garis seperti di
samping. Arahkan siswa
untuk mengamti graik tersebut dan memberikan
pendapatnya. Bantu siswa untuk menganalisis kurva
fungsi mutlak di samping.
63
Matematika
Latihan 2.1
Perhatikan graik f x
x =
− 2 pada Gambar 2.6.
Lihatlah penyimpangan graik terhadap sumbu x. Nilai dari fungsi tersebut adalah besar penyimpangan kurva
terhadap sumbu x. Bagaimana penyimpangan graik
f x x
p =
− terhadap sumbu x, untuk p bilangan real?
Alternatif Penyelesaian
f x x
p x
p jika
x p
x p
jika x
p =
− =
− ≥
− +
Karena p adalah bilangan real sembarang, maka ambil p 0, p = 0, p
0 sehingga sketsa graik yang diperoleh adalah:
x y
y=|x-p|
p y
x y=|x-p|
p x
y y=|x-p|
Berdasarkan gambar, nilai dari fungsi tersebut adalah besar penyimpangan kurva terhadap sumbu x.
Minta siswa memahami Contoh 2.1 dan menger-
jakan Latihan 2.1 serta menarik kesimpulan se-
cara umum dari anali- sis graik
f x x
p =
− Latihan
2.1 telah di sele- saikan
64
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Berikutnya, mari kita amati hubungan antara |x| dengan
x
2
? Mari kita lakukan percobaan sederhana dengan mengamati nilai kedua fungsi tersebut. Untuk memudahkan
pengamatan, kita sajikan data – data pada tabel berikut.
Tabel 2.4 Hubungan |x| dan x
2
x –3
–2 –1
x
2
9 4
1 |x|
3 2
1 x
2
3 2
1 x
1 2
3 4
x2 1
4 9
16 |x|
1 2
3 4
x
2
1 2
3 4
Apakah hasil pengamatanmu? Tentu saja, kamu dapat melihat bahwa nilai kedua fungsi sama, bukan? Dengan
demikian, kamu mendapatkan hubungan kedua fungsi : yaitu
|x| = x
2
.
Latihan 2.2
Dari Deinisi nilai mutlak yang kita pelajari, maka ax
b ax
b jika
x b
a ax b
jika x
b a
+ =
+ ≥ −
− −
−
Dengan a, b bilangan real dan a tidak nol
Untuk memperdalam pemahaman, arahkan
siswa untuk melengkapi Tabel 2.4, kemudian bantu
mereka untuk menganali- sis nilai antara |x| dengan
x
2
Pastikan siswa sudah me- mahami hubungan antara
|x| dengan
x
2
. Minta siswa untuk membuat ni-
lai yang lain. Arahkan siswa untuk
mengerjakan Latihan 2.2, kemudian beri kesempa-
tan kepada siswa untuk mempresentasikan hasil
kerjanya. Minta siswa untuk menemukan syarat
nilai a dan b pada soal
disamping. Latihan 2.2 telah diselesaikan sebagai
alternatif penyelesaian.
65
Matematika