Menemukan Konsep Eksponen Kelas 10 SMA Matematika Guru

5 Matematika xt = r t x .................................................................... 1 dengan t menyatakan banyak jam, x adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam. Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula 1 di atas, maka diperoleh x 3 = r 3 x = 10.000 dan x 5 = r 5 x = 40.000 x x r x r x r r 5 3 5 3 2 40 000 10 000 4 4 2 = = = = . . Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r 3 x = 10.000 sehingga 8x = 10.000. Dengan demikian x = 1.250. Subtitusikan x = 1.250 ke persamaan 1, pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan Dalam Masalah-1.1, ditemukan r 2 = 4, dan kemudian r = 2. Apakah r = –2 tidak berlaku? Berikan alasanmu x x t t = = = 1250 2 2 1250 320 000 8 8 . . Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri. Organisasikan siswa be- lajar dalam kelompok dengan banyak anggota kelompok 4-5 orang un- tuk mendiskusikan model matematika yang ditemu- kan secara individu. Guru menjembatani perbedaan hasil pemikiran antar siswa dalam setiap kelom- pok dan menuliskan hasil pemikiran bersama pada lembar kerja. Meminta beberapa siswa untuk memberi pendapat mengapa pada Masalah 1.1 Jika r 2 = 4, maka r = 2. Kenapa tidak berlaku r = -2? Alasan: r 2 = 4, r ∈ R ⇒ r = 2 atau r = -2. Tetapi dalam Ma- salah 1.1, r menyatakan banyak pembelahan bak- teri untuk setiap jam. Jadi bakteri membelah menjadi 2, bukan -2. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempre- sentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Jembatani jika ada cara yang berbe- da hasil kerja di antara ke- lompok. Beri kesempatan antar kelompok berdebat atas perbedaan pendapat untuk melatih kemampuan komunikasi siswa. 6 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Masalah-1.2 Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang terbentuk. Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian 1 2 2 = 2 2 4 4 = 2 × 2 3 8 8 = 2 × 2 × 2 4 ... ... ... ... ... n k ... Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan. k dapat dinyatakan dalam n, yaitu kn = 2 n ........................................................................ 2 Coba kamu uji kebenaran persamaan kn = 2 n dengan mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut. Motivasi siswa belajar dengan memperlihatkan kebergunaan matematika dalam kehidupan. Ajukan Masalah 1.2 dan mem- fasilitasi siswa terhadap alat yang dibutuhkan. Arahkan siswa melakukan percobaan melipat kertas dan menemukan pola dari data yang diperoleh sekai- tan membangun model matematika terkait ekspo- nen. Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan model matematika yang me- nyatakan hubungan ban- yak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Diharap- kan siswa menuliskan hal seperti tabel di samping. Selanjutnya guru me- minta siswa mengamati dan mencermati data pada tabel. Diharapkan siswa menemukan model matematika yang me- nyatakan hubungan ban- yaknya bidang kertas den- gan banyaknya lipatan. 7 Matematika Berdasarkan persamaan 1 dan 2, diperoleh Dari persamaan 1 xt = r t x , r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r. Dari persamaan 2 kn = 2 n , 2 adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari 2. Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat dideinisikan sebagai berikut. Deinisi 1.1 Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi a n menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis a a a a a n n faktor = × × × × ... dengan a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai pangkat. Catatan: 1. Pada Deinisi-1.1 di atas, kita sepakati, a 1 cukup ditulis a. 2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian? 3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab a n = a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta n ∈N. Perhatikan Masalah-1.3 berikut Arahkan siswa mengamati kedua model matematika di samping. Minta mereka menuliskan ciri-ciri bilan- gan berpangkat dan ber- dasarkan ciri-ciri tersebut dapat menuliskan penger- tian dari a n . Beri penjelasan pada siswa, tentang pemaha- man unsur-unsur yang ada pada Deinisi 1.1, mengapa n harus bilangan bulat positif. Minta siswa untuk memegang teguh sifat matematika dalam menetapkan deinisi bi- langan berpangkat; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, meng- gunakan variabel-varia- bel yang kosong dari arti, menganut kebenaran kon- sistensi. Minta siswa mencermati beberapa catatan penting terkait Deinisi 1.1. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 dan n = 0, maka a n = 0 , hasilnya taktentu. 8 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Masalah-1.3 Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah: 1 1 jam? 2 2 jam? 3 3 jam? 4 Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui ginjal 5 Gambar pasangan titik waktu, jumlah zat pada koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan. Alternatif Penyelesaian Langkah awal isilah tabel berikut: Waktu t dalam jam 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah zat zt dalam mg 50 25 12,5 ... ... ... ... ... Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius coba sendiri Selanjutnya perhatikan graik fungsi Gambar-1.2 di bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan. Ajak siswa untuk menga- mati Masalah 1.3 dan me- mahami tentang perma- salahan yang ditanyakan pada Masalah 1.3. Beri kebebasan bagi siswa menggali ide-ide secara bebas terbuka, mengaju- kan berbagai pertanyaan dalam menganalisis infor- masi yang tersedia pada Masalah 1.3. Minta siswa mengisi se- cara lengkap data pada tabel dan mencoba meng- gambarkan data-data pasangan titik tersebut pada sistem koordinat kartesius 9 Matematika 2 2 4 x 4 2 2 4 4 6 y fx = 3 -x fx = 2 -x fx = 2 x fx = 3 x Gambar-1.2: Graik Fungsi Eksponensial x –3 –2 –1 1 2 3 4 fx = 2 x fx = 2 -x fx = 2 x fx = 3 x fx = 3 -x Latihan 1.1 Amati graik Gambar-1.2 di atas. Tuliskan sedikitnya 5 lima sifat graik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlu mengetahui sifat-sifat tersebut. Organisasikan siswa bela- jar dalam kelompok. Min- ta siswa diskusi dengan temannya satu kelompok, bagaimana perilaku graik ketika x menuju - ∝ dan ke- tika x menuju ∝? Apakah graik itu sampai berpo- tongan atau tidak sampai menyinggung sumbu x? Sajikan hasil kerja kelom- pok di depan kelas. Untuk menguatkan konsep siswa, minta siswa untuk mencoba menyelesaikan Latihan 1.1 di samping. Misalnya graik fungsi fx = 2x, x bilangan real. Sifat graik yang diharap- kan ditemukan siswa, an- tara lain: 1 . Graik seluruhnya di atas sumbu-x. 2. Sumbu-x sebagai asim- tot 3. Memotong sumbu-y pada satu titik, saat x = 0. 4 . Graik tidak memotong sumbu-x, untuk x menu- ju 0. 5. Untuk nilai x sema- kin besar, maka nilai y semakin besar. Seba- liknya untuk nilai x se- makin kecil, diperoleh nilai y semakin kecil 10 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi

2. Pangkat Bulat Negatif

Deinisi 1.2 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, dideinisikan a a m m − =       1 Deinisi di atas dijelaskan sebagai berikut: a a a a a a m m − =       =       ×       ×       × ×       1 1 1 1 1 ... sebany yak faktor faktor m m m a a a a a = × × × × = 1 1 ... Contoh 1.1 Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x -3 y 4 Alternatif Penyelesaian x y y x − = = − = − = − 3 4 4 3 4 3 2 2 16 8 2

3. Pangkat Nol

Deinisi 1.3 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a = 1. 6. Untuk x ∝ menuju ∝, diperoleh y menuju ∝. Untuk x menuju - ∝, di- peroleh y menuju 0. Ajukan beberapa con- toh yang dipahami siswa tentang perpangkatan di SMP, dalam membangun pemahaman terhadap Deinisi 1.2 di samping. Misalnya 3 1 3 1 3 3 3 3 − = =       =       ×       ×       1 3 1 3 1 3 = 1 3 3 3 1 9 × × = Selanjutnya menga- jak siswa mencermati penjelasan Deinisi 1.2 secara deduktif, seperti disajikan disamping. Untuk lebih memahami Deinisi 1.2, minta siswa mencermati Contoh 1.1 di samping. Cek kebenaran hasil kerja siswa mener- apkan Deinisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada Contoh 1.1. Arahkan siswa memahami Deinisi 1.4 di samping, dengan mengajukan be- berapa pertanyaan, sep- erti: 11 Matematika Untuk lebih memahami deinisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut. 2 3 = 8 3 3 = 27 2 2 = 4 3 2 = 9 2 1 = 2 3 1 = 3 2 = 1 3 = 1 Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.

4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan deinisi bilangan berpangkat yang kamu telah pelajari sebelumnya. Sifat-1 Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka a m × a n = a m+n Bukti: a a a a a a a a a a m n m faktor n faktor × = × × × × × × × × × ... ... = × = × × × × × + a a a a a a a a m n m n = a m+n • Perhatikan a a a a a m m faktor = × × × × ... . Diskusikan dalam kelompokmu, apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang? • Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif? Mengapa batasan bilan- gan real dan . Bagaimana hasil a0, ketika a = 0. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 maka a = 0 , hasil- nya taktentu. Selanjutnya ajak siswa mengamat pola hasil perpangkatan bilan- gan 2 dan 3 di samping. Untuk meyakinkan siswa bahwa a = 1, a ≠ 0 Minta siswa untuk dapat membuktikan Sifat-1 se- hingga siswa dapat me- nyimpulkan bahwa sifat tersebut benar untuk m dan n bilangan bulat posi- tif. Jelaskan pada siswa bah- wa perpangkatan adalah perkalian berulang. Si- fat-1, hanya berlaku a bilangan real, m dan n bi- langan bulat positif. Jika m dan n bukan bilangan bulat positif, Sifat-1 tidak berlaku, misalnya a = 0 dan m = n = 0, tidak ber- laku 12 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Sifat-2 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a a a m n m n = − . Bukti: a a a a a a a a a a m n m n = × × × × × × × × ... ... faktor faktor sesuai Deinisi 1.1 • Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0 dipersyaratkan? • Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian a a m n ? Jika kamu tidak tahu bertanya ke guru Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 tiga kemungkinan, yaitu a m n, b m = n, dan c m n. a Kasus m n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m n maka m – n 0. Dengan demikian a a a a a a a a a a a m n m n = × × × × × × × × = × ... ... faktor faktor a a a a a a a a a a a n n × × × × × × × × × × × ... ... .. faktor faktor .. ... × = × × × × = − − − a a a a a a m n m n m n faktor faktor Jadi a a m n = a m-n , dengan m, n bilangan bulat positif dan m n Selanjutnya bimbing siswa agar memaha- mi tentang Sifat-2 dan data menunjukkan bukti dari sifat tersebut. Beri penjelasan pada siswa dalam Sifat-2, tidak diiz- inkan a = 0, sebab ben- tuk perpangkatan pada Sifat-2 adalah bentuk ra- sional. Dalam pecahan penyebutnya tidak lazim nol.Ketika a = 0 dan m, n bilangan bulat positif, maka a m atau a n dimung- kinkan hasilnya 0.Jika hasil a m dan a n keduanya nol, maka hasil baginya tak tentu. Jika a m = 0 dan a n ≠ 0, maka hasil baginya 0. Tetapi jika a m ≠ 0 dan a n = 0, maka hasil baginya tak ter- deinisi.