Menemukan Konsep Eksponen Kelas 10 SMA Matematika Guru
5
Matematika
xt = r
t
x .................................................................... 1
dengan t menyatakan banyak jam, x adalah jumlah
bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.
Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat
40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula 1 di atas, maka diperoleh x
3
= r
3
x = 10.000
dan x
5
= r
5
x = 40.000
x x
r x r x
r r
5 3
5 3
2
40 000 10 000
4 4
2 =
= =
= .
.
Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam
Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r
3
x = 10.000 sehingga
8x = 10.000. Dengan demikian x
= 1.250. Subtitusikan
x = 1.250 ke persamaan 1, pola
pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan
Dalam Masalah-1.1, ditemukan r
2
= 4, dan kemudian r = 2. Apakah
r = –2 tidak berlaku? Berikan alasanmu
x x
t t
= =
= 1250 2
2 1250
320 000
8 8
. .
Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.
Organisasikan siswa be- lajar dalam kelompok
dengan banyak anggota kelompok 4-5 orang un-
tuk mendiskusikan model matematika yang ditemu-
kan secara individu. Guru menjembatani perbedaan
hasil pemikiran antar siswa dalam setiap kelom-
pok dan menuliskan hasil pemikiran bersama pada
lembar kerja.
Meminta beberapa siswa untuk memberi pendapat
mengapa pada Masalah 1.1
Jika r
2
= 4, maka r = 2. Kenapa tidak berlaku r =
-2?
Alasan: r
2
= 4, r
∈
R ⇒ r = 2 atau
r = -2. Tetapi dalam Ma- salah 1.1, r menyatakan
banyak pembelahan bak- teri untuk setiap jam. Jadi
bakteri membelah menjadi 2, bukan -2.
Guru meminta salah satu kelompok untuk mempre-
sentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Jembatani
jika ada cara yang berbe- da hasil kerja di antara ke-
lompok. Beri kesempatan antar kelompok berdebat
atas perbedaan pendapat untuk melatih kemampuan
komunikasi siswa.
6
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Masalah-1.2
Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga
garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang
sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan
hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.
Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara
banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang terbentuk.
Banyak Lipatan
Banyak Bidang Kertas
Pola Perkalian
1 2
2 = 2 2
4 4 = 2
× 2 3
8 8 = 2
× 2 × 2 4
... ...
... ...
... n
k ...
Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang
kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan.
k dapat dinyatakan dalam n, yaitu kn = 2
n
........................................................................ 2 Coba kamu uji kebenaran persamaan kn = 2
n
dengan mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut.
Motivasi siswa belajar dengan memperlihatkan
kebergunaan matematika dalam kehidupan. Ajukan
Masalah 1.2 dan mem- fasilitasi siswa terhadap
alat yang dibutuhkan. Arahkan siswa melakukan
percobaan melipat kertas dan menemukan pola dari
data yang diperoleh sekai- tan membangun model
matematika terkait ekspo- nen.
Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara
banyak lipatan dengan banyak bidang kertas
yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan model
matematika yang me- nyatakan hubungan ban-
yak lipatan kertas dan banyak bidang kertas
yang terbentuk. Diharap- kan siswa menuliskan hal
seperti tabel di samping.
Selanjutnya guru me- minta siswa mengamati
dan mencermati data pada tabel. Diharapkan
siswa menemukan model matematika yang me-
nyatakan hubungan ban- yaknya bidang kertas den-
gan banyaknya lipatan.
7
Matematika
Berdasarkan persamaan 1 dan 2, diperoleh Dari persamaan 1 xt = r
t
x , r adalah bilangan pokok
dan t adalah eksponen dari r. Dari persamaan 2 kn = 2
n
, 2 adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari 2.
Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat.
Bilangan berpangkat dideinisikan sebagai berikut.
Deinisi 1.1
Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi a
n
menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis
a a
a a
a
n n faktor
= × × × × ...
dengan a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai
pangkat.
Catatan:
1. Pada Deinisi-1.1 di atas, kita sepakati, a
1
cukup ditulis a.
2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan
pada gurumu, mengapa demikian? 3. Jika
n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab a
n
= a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku
ketika semesta n ∈N.
Perhatikan Masalah-1.3 berikut Arahkan siswa mengamati
kedua model matematika di samping. Minta mereka
menuliskan ciri-ciri bilan- gan berpangkat dan ber-
dasarkan ciri-ciri tersebut dapat menuliskan penger-
tian dari a
n
. Beri penjelasan pada
siswa, tentang pemaha- man unsur-unsur yang
ada pada Deinisi 1.1, mengapa n harus bilangan
bulat positif. Minta siswa untuk memegang teguh
sifat matematika dalam
menetapkan deinisi bi- langan berpangkat; yaitu,
matematika bersandar pada kesepakatan, meng-
gunakan variabel-varia- bel yang kosong dari arti,
menganut kebenaran kon- sistensi.
Minta siswa mencermati beberapa catatan penting
terkait Deinisi 1.1. Beri penjelasan bahwa ketika
a = 0 dan n = 0, maka a
n
= 0 , hasilnya taktentu.
8
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Masalah-1.3
Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam
separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat
itu tersisa dalam darah setelah: 1 1 jam?
2 2 jam? 3 3 jam?
4 Buatlah model matematika pengurangan zat
tersebut dari tubuh melalui ginjal 5 Gambar pasangan titik waktu, jumlah zat pada
koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan.
Alternatif Penyelesaian Langkah awal isilah tabel berikut:
Waktu t dalam jam 1
2 3
4 5
6 7
8 Jumlah zat zt
dalam mg 50
25 12,5
... ...
... ...
...
Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius
coba sendiri Selanjutnya perhatikan graik fungsi Gambar-1.2 di
bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.
Ajak siswa untuk menga- mati Masalah 1.3 dan me-
mahami tentang perma- salahan yang ditanyakan
pada Masalah 1.3. Beri kebebasan bagi siswa
menggali ide-ide secara bebas terbuka, mengaju-
kan berbagai pertanyaan dalam menganalisis infor-
masi yang tersedia pada Masalah 1.3.
Minta siswa mengisi se- cara lengkap data pada
tabel dan mencoba meng- gambarkan data-data
pasangan titik tersebut pada sistem koordinat
kartesius
9
Matematika
2 2
4 x
4 2
2 4
4 6
y fx = 3
-x
fx = 2
-x
fx = 2
x
fx = 3
x
Gambar-1.2: Graik Fungsi Eksponensial
x –3
–2 –1
1 2
3 4
fx = 2
x
fx = 2
-x
fx = 2
x
fx = 3
x
fx = 3
-x
Latihan 1.1
Amati graik Gambar-1.2 di atas. Tuliskan sedikitnya 5 lima sifat graik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya
di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlu mengetahui sifat-sifat tersebut.
Organisasikan siswa bela- jar dalam kelompok. Min-
ta siswa diskusi dengan temannya satu kelompok,
bagaimana perilaku graik ketika x menuju -
∝ dan ke- tika x menuju
∝? Apakah graik itu sampai berpo-
tongan atau tidak sampai menyinggung sumbu x?
Sajikan hasil kerja kelom- pok di depan kelas.
Untuk menguatkan konsep siswa, minta siswa untuk
mencoba menyelesaikan Latihan 1.1 di samping.
Misalnya graik fungsi fx = 2x, x bilangan real.
Sifat graik yang diharap- kan ditemukan siswa, an-
tara lain: 1
. Graik seluruhnya di atas sumbu-x.
2. Sumbu-x sebagai asim- tot
3. Memotong sumbu-y
pada satu titik, saat x = 0.
4 . Graik tidak memotong
sumbu-x, untuk x menu- ju 0.
5. Untuk nilai x sema- kin besar, maka nilai y
semakin besar. Seba- liknya untuk nilai x se-
makin kecil, diperoleh nilai y semakin kecil
10
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi