Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
308
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Perhatikan persamaan kuadrat yang kita peroleh dari beberapa permasalahan di atas yang memiliki
koeisien x
2
, a = 1, kita telah menerapkan cara pemfaktoran ini.
• Jika a 1 atau a 1 Berdasarkan Deinisi-1, bentuk umum persamaan
kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan riel dan a
≠ 0. a
≠ 0 ⇒
1 a
≠ 0 ax
2
+ bx + c =
1 a
a
2
x
2
+ abx + ac = 0................1 Perhatikan bentuk ax + max + n = 0
⇒
1 a
ax + nax + max + n = 0 ⇒
1 a
a
2
x
2
+ anx + amx + m × n = 0 ⇒
1 a
a
2
x
2
+ am + nx + m × n = 0.......2 Berdasarkan Persamaan-1 dan 2 diperoleh,
a
2
x
2
+ abx + ac = a
2
x
2
+ am + nx + m × n = 0 Menggunakan sifat persamaan maka diperoleh
m + n = b dan m × n = ac. ∴ ax
2
+ bx + c =
1 a
ax + max + n = 0, untuk a
≠ 1, m + n = b dan m × n = ac Nilai x yang memenuhi persamaan ax
2
+ bx + c = ax + max + n = 0 adalah x
1
= -
m a
atau x
2
= -
n a
.
309
Matematika
Contoh 7.4
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3z
2
+ 2z – 85 = 0 dengan cara pemfaktoran.
Alternatif Penyelesaian
3 2
85 1
3 9
6 225
1 3
9 3 17
15 17
15 1
2 2
2
z z
z z
z z
+ −
= +
− =
⇒ +
− +
× =
⇒ 3
3 9
51 45
255 1
3 3
17 3 15 3
17 3
17
2
z z
z z
z z
z +
− +
= ⇒
+ −
+ =
⇒ +
− =
+ −
= 3
15 3
17 5
z z
z atau
Harga-harga z yang memenuhi adalah z = −
− 17
3 ,
atau z = 5, sehingga himpunan penye-
lesaian persamaan 3z
2
+ 2z – 85 = 0 adalah −
−
17
3 17
3 5
, .
2 Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat
sempurna cermati beberapa pertanyaan berikut. a Apa yang dimaksud melengkapkan kuadrat
sempurna? b Apakah kamu masih ingat pelajaran di SMP bahwa
a + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
? c Dapatkah kamu membentuk persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0 dalam bentuk a + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
? d Apakah seluruh bentuk persamaan kuadrat
dapat ditentukan akarnya dengan teknik kuadrat sempurna?
Berikan contoh untuk melatih siswa menggu-
nakan cara pemfaktoran dalam menentukan akar-
akar persamaan kuadrat,
seperti Contoh 7.4. Bantu siswa melakukan proses
pemfaktoran persamaan kuadrat yang diketahui
dalam soal. Meminta siswa menguji nilai z yang
diperoleh ke persamaan kuadrat yang diberikan.
Ingat bentuk umum persamaan kuadrat
ax
2
+ bx + c = 0, a, b, c bilangan real dan
a ≠ 0. m = 17
n = -15 m + n = 2
m × n = -255
Minta siswa menemukan pola, bagaimana cara
melengkapkan sebuah persamaan kuadrat untuk
menentukan nilai-nilai x yang memenuhi dan
tanyakan apa kelemahan
cara tersebut.
Bantu siswa memodiikasi bentuk umum persamaan
kuadrat membentuk kuadrat sempurnauntuk
310
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Berdasarkan Deinisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat
ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0. Untuk a = 1,
Contoh 7.5
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x
2
– x – 6 = 0. Alternatif Penyelesaian
x
2
– x – 6 = 0 x
2
– x = 6 x
x
2 2
2
1 2
6 1
2 − + −
= + −
x x
2 2
1 4
25 4
− +
=
x x
2 2
1 4
25 4
− +
=
x −
= 1
2 25
4
2
kasus a = 1.Gunakan sifat perpangkatan dan
penarikan akar Sifat 1 yang ada pada Bab I dan
sifat persamaan pada Bab II untuk menemukan rumus
penentuan nilai x sebagai akar persamaan kuadrat.
Beri kesempatan kepada siswa untuk lebih memahami
cara melengkapkan kuadrat dalam menentukan akar-
akar persamaan kuadrat
melalui Contoh 7.5. Bantu siswa melakukan manipulasi
aljabar dalam melengkapkan kuadrat sempurna.
311
Matematika
x − = ±
1 2
25 4
x − = ±
1 2
5 2
x = ± + 5
2 1
2 x
1
5 2
1 2
3 = + =
x
2
5 2
1 2
2 = − +
= − Jadi akar-akar persamaan kuadrat x
2
– x – 6 = 0 adalah x
1
= 3 dan x
2
= –2.
3 Menggunakan Rumus ABC
Masih ingatkah kamu rumus abc waktu belajar persamaan kuadrat di SMP? Darimana rumus itu
diturunkan? Bagaimana cara menemukannya?. Untuk itu perhatikan beberapa pertanyaan berikut.
a Dapatkah kamu membagi persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c
= 0 dengan koeisien a? mengapa? b Setelah kamu membagi persamaan dengan koeisien
a, dapatkah kamu melakukan manipulasi aljabar untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna?
c Bagaimana memanipulasi dan menyederhanakan persamaan agar diperoleh nilai x
1
dan x
2
? d Akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan,
dapatkah kamu membedakan jenis akar-akar itu dari segi jenis bilangannya dan nilainya? Apa yang
membedakan akar-akar tersebut? e Temukanlah jenis-jenis akar-akar persamaan
kuadrat dilihat dari nilai diskriminan. Minta siswa menemukan
rumus abc, bagaimana cara menentukan nilai-
nilai x yang memenuhi persamaan dengan rumus
abc. Ingatkan kembali si- fat persamaan pada Bab
II yang berguna dalam memodiikasi
bentuk umum persamaan kuadrat
ke bentuk kuadrat sem- purna. Meminta siswa
merenungkan pertanyaan di samping agar lebih me-
mahami langkah-langkah
penurunan rumus abc.
312
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Gunakan sifat persamaan Sifat-1 pada Bab II untuk memodiikasi bentuk ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0.
Sifat-1
Akar-akar persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a
≠ 0, adalah x
b b
ac a
1 2 2
4 2
,
= − ±
− .