150
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Trisna bersama Ayahnya membutuhkan waktu 6 jam menyelesaikan panenan. Hal ini dapat dimaknai
6
1 x
+ 6
1 y
= 1 ⇒
1 x
+
1 y
=
1 6
…………………. b Trisna dan Kakeknya membutuhkan waktu 8 jam menyelesaikan panenan. Hal
ini dapat dimaknai 8
1 x
+ 8
1 y
= 1 ⇒
1 x
+
1 y
=
1 8
…………………. c Misalkan: p =
1 x
, q =
1 y
, dan r =
1 z
Mensubtitusikan pemisalan p =
1 x
, q =
1 y
, dan r =
1 z
ke dalam Persamaan-a, b, dan c diperoleh sebuah sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu
p + q + r =
1 4
⇒ 4p + 4q + 4r = 1 ….………………………. 1 p + q
=
1 6
⇒ 6p + 6q = 1 ………………………………. 2 p + r
=
1 8
⇒ 8p + 8r = 1 ………………………………. 3 Akan ditentukan nilai p, q, dan r sebagai berikut:
Petunjuk:
• Jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis penuh dan hasilnya dikurangi dengan
jumlah hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis putus-putus.
• Lakukan pada pembilang dan penyebut.
p =
1 4
4 1
4 1
6 0 1 6
1 0 8
1 4
4 4
4 4
6 6
6 6
8 8
8 p =
+ + −
+ + + +
− + +
24 32
48 192
0 192 192
151
Matematika
p =
1 24
r =
4 4
1 4
4 6
6 1
6 6
8 1
8 4
4 4
4 4
6 6
6 6
8 8
8 q
= 4
1 4
4 1
6 1
6 1
8 1
8 8
1 4
4 4
4 4
6 6
6 6
8 8
8 q =
+ + −
+ + + +
− + +
32 48
32 24
192 192
192 r =
+ + −
+ +
+ + −
+ + 48
24 24
32 192
192 192
q =
1 8
r =
1 12
p =
= 1
24
dan p = ⇒ x = 24
q =
1 8
dan q = ⇒
y = 8 r =
1 12
dan r = ⇒ z = 12
Banyak waktu yang dibutuhkan Trisna, Ayahnya, dan Kakeknya untuk menyelesaikan panenan, jika mereka bekerja sendiri-sendiri adalah:
Trisna membutuhkan waktu 24 jam Bapak Trisna membutuhkan 8 jam
Kakek Trisna membutuhkan 12 jam
152
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Masalah-3.6
Pak Rendi berencana membangun 2 tipe rumah; yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas
10.000 m
2
. Setelah dia berkonsultasi dengan arsitek perancang bangunan, ternyata untuk membangun
sebuah rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 m
2
dan untuk membangun sebuah rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 m
2
. Karena dana yang dimilikinya terbatas, maka banyak rumah yang
direncanakan akan dibangun paling banyak 125 unit. Jika kamu adalah arsitek Pak Rendi,
1 bantulah Pak Rendi menentukan berapa banyak
rumah tipe A dan tipe B yang mungkin dapat dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang
ada dan jumlah rumah yang akan dibangun 2 gambarkanlah daerah penyelesaian pada bidang
kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diuraikan.
Alternatif Penyelesaian Misalkan:
x: banyak rumah tipe A yang akan dibangun
y: banyak rumah tipe B yang akan dibangun 1 Banyak rumah tipe
A dan tipe B yang dapat dibangun a Luas tanah yang diperlukan untuk membangun
rumah tipe A dan tipe B di atas tanah seluas
10.000m2 ditentukan oleh pertidaksamaan: 100x + 75
y ≤ 10.1000, pertidaksamaan ini disederhanakan menjadi:
4x + 3 y ≤ 400 ....................................................1
b Jumlah rumah yang akan dibangun x +
y ≤ 125.........................................................2 Dari pertidaksamaan 1 dan 2, kita tentukan banyak
rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun dengan menerapkan metode eliminasi pada sistem persamaan
linear dua variabel berikut. Motivasi siswa dengan
menunjukkan kebergu- naan matematika dalam
memecahkan Masalah
3.6. Organisasikan siswa dalam kelompok bela-
jar dalam memecahkan masalah. Diskusikanlah
dengan teman-temanmu, bagaimana caranya untuk
mencari banyak rumah tipe A dan tipe B yang
dapat dibangun selain yang sudah kita temukan
di atas sesuai dengan ke- terbatasan yang ada.
Bantu siswa menemukan hubungan banyak rumah
tipe A dan banyak rumah tipe B yang dinyatakan
dalam model matematika berupa sistem pertidaksa-
maan linear dua variabel
yang tertera di samping.
153
Matematika
4 3
400 125
1 3
4 3
400 3
3 375
25 x
y x
y x
y x
y x
+ =
+ =
× ×
→ +
= →
+ =
− =
untuk x = 25 maka
y = 125 – x y = 125 – 25
= 100 Dengan demikian, Pak Rendi dapat membangun rumah tipe
A sebanyak 25 unit, dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.
Diskusi
Diskusikanlah dengan teman-temanmu, bagaimana caranya untuk mencari banyak rumah tipe A dan tipe B
yang dapat dibangun selain yang sudah kita temukan di atas sesuai dengan keterbatasan lahan yang tersedia.
2 Graik daerah penyelesaian pada diagram kartesius Untuk menggambar daerah penyelesaian pada diagram
kartesius dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Menggambar garis dengan persamaan 4x + 3 y = 400
dan garis x + y = 125. Agar kita mudah menggambar garis
ini, terlebih dahulu kita cari titik potong dengan sumbu x yang terjadi jika
y = 0 dan titik potong dengan sumbu y yang terjadi jika x = 0.
Untuk garis 4x + 3 y = 400, jika y = 0, maka x = 100.
jika x = 0, maka
y = 133,3. Maka garis 4x + 3
y = 400 memotong sumbu y di titik 0, 133,3 dan memotong sumbu
y di titik 100, 0. Untuk garis x +
y = 125, jika y = 0 maka x = 125 jika
x = 0 maka y = 125
Maka gari x + y = 125 memotong sumbu y di titik 0,125
dan memotong sumbu x di titik 125, 0.
Langkah 2
Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3
y ≤ 400 dan x + y ≤ 125. Daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3
y ≤ 400. Jika Bimbing siswa menggam-
bar graik pertidaksa- maan linear yang tersedia
dengan langkah-langkah berikut.
a Tentukan titik potong terhadap sumbu-x dan
sumbu-y untuk tiap- tiap pertidaksamaan.
b Gambarkan graik
persamaan garis pada sistem koordinat
c Tentukan titik potong kedua graik persa-
maan garis lurus. d Arsirlah daerah yang
memenuhi sistem per- tidaksamaan tersebut,
yaitu daerah tempat kedudukan titik-titik
yang memenuhi sistem pertidaksamaan.
154
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
garis 4x + 3 y = 400 digambar pada diagram kartesius maka
garis tersebut akan membagi dua daerah, yaitu daerah 4x + 3
y 400 dan daerah 4x + 3y 400. Selanjutnya menyelidiki daerah mana yang menjadi
daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 4x + 3 y ≤ 400,
dengan cara mengambil sebarang titik misal Px, y pada
salah satu daerah, kemudian mensubstitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan 4x + 3
y ≤ 400. Jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar maka daerah yang memuat titik
Px, y merupakan daerah penyelesaiannya, jika bernilai
salah maka daerah tersebut bukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3
y ≤ 400. Dengan cara yang sama maka daerah penyelesaian pertidaksamaan x +
y ≤ 125 juga dapat diketahui.
Langkah 3 Mengarsir daerah yang merupakan daerah
penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Daerah yang diarsir dua kali merupakan daerah penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linier.
Setelah langkah 1, 2, dan 3 di atas dilakukan, maka daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan digambarkan
sebagai berikut.
Gambar 3.7 Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linier
133,3 y
x 125
100 125
Dari Gambar 3.7, daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian.
Arahkan siswa meng- amati graik sistem perti-
daksamaan pada Gambar 3.7. Mintalah siswa meng-
himpun informasi yang tergambar pada graik
tersebut terkait, titik po- tong terhadap sumbu-x
dan sumbu-y, titik po- tong dua garis lurus, dan
tanyakan pada siswa, berapa maksimal banyak
rumah tipe A dan B yang dapat dibangaun dengan
ketersediaan lahan dan biaya.
