Transpos Matriks Kelas 10 SMA Matematika Guru

182 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi b. Jika A = [–3 4 6 8 19], maka A t = −                 3 4 6 8 19 , c. Jika C C t =             = 1 5 3 14 9 4 2 2 5 8 6 3 7 12 4 1 14 2 3 9 5 7 5 4 8 12 3 2 , maka 6 6 4             . Cara lain menentukan transpos matriks persegi. Jika matriks, C =             1 5 3 14 9 4 2 2 5 8 6 3 7 12 4 maka transpos matriks C dapat ditentukan melalui, 1 5 3 14 9 4 2 2 5 8 6 3 7 12 4             Ubah posisi elemen matriks yang simetris dengan diagonal utama matriks. Akibatnya, C t =             1 1 4 2 3 9 5 7 5 4 8 12 3 2 6 4 Ajukan pertanyaan kepa- da siswa bagaimana cara lain menentukan transpos suatu matriks. Misalnya seperti cara di samping. 183 Matematika Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya, jika matriks awal berordo m × n, maka transposnya berordo n × m. Coba kamu pikirkan… • Mungkinkah suatu matriks sama dengan transposnya? Berikan alasanmu • Periksa apakah A t + B t = A + B t , untuk setiap matriks A dan B berordo m × n? Alternatif Penyelesaian Ada matriks yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri, diantaranya matriks identitas I n × n , misalnya: Jika I 3 3 1 1 1 × =           , maka I t t 3 3 1 1 1 1 1 1 × =           =           . Selanjutnya untuk memeriksa apakah A t + B t = A + B t , diberikan: A a a a a a a a a a a a a a m n n n n m × = 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 ... ... ...      a a a a m m mn 2 3 ...                 , B b b b b b b b b b b b b b m n n n n m × = 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 ... ... ...      b b b b m m mn 2 3 ...                 Berikan kesempatan ke- pada siswa untuk men- coba menemukan suatu matriks yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri. Misalnya seperti alterna- tif penyelesaian di sam- ping. 184 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi maka, A a a a a a a a a a a a a m n t m m m × = 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 ... ... ...      a a a a a n n n mn 1 2 3 ...                 , B b b b b b b b b b b b b m n t m m m × = 11 21 31 1 12 22 32 2 13 23 33 3 ... ... ...      b b b b b n n n mn 1 2 3 ...                 Oleh karena itu, A B a b a b a b a b a b a m n t m n t m m × × + = + + + + + + 11 11 21 21 31 31 1 1 12 12 22 ... b b a b a b a b a b a b a b a m m m m 22 32 32 2 2 13 13 23 23 33 33 3 3 + + + + + + ... ...      1 1 1 2 2 3 3 n n n n n n mn mn b a b a b a b + + + +                 ... . Disisi lain, matriks A B a b a b a b a b a b a b m n m n t n n × × + = + + + + + + 11 11 12 12 13 13 1 1 21 21 22 22 ... a a b a b a b a b a b a b a n n n n m 23 23 2 2 31 31 32 32 33 33 3 3 1 + + + + + + + ... ...      b b a b a b a b m m m m m mn mn t 1 2 2 3 3 + + +                 ... A B a b a b a b a b a b a b m n m n t m m × × + = + + + + + + 11 11 21 21 31 31 1 1 12 12 22 22 ... a a b a b a b a b a b a b a m m m m n 32 32 2 2 13 13 23 23 33 33 3 3 1 + + + + + + + ... ...      b b a b a b a b n n n n n mn mn 1 2 2 3 3 + + +                 ... . Jadi ditemukan, matriks A t + B t = A + B t . 185 Matematika

4. Kesamaan Dua Matriks

Dua kompleks perumahan ruko di daerah Tangerang memiliki ukuran yang sama dan bentuk bangunan yang sama. Gambar di bawah ini mendeskripsikan denah pembagian gedung-gedung ruko tersebut. Gedung 6A Gedung 5B Gedung 5A Gedung 6B Gedung 7A Gedung 4B Gedung 4A Gedung 7B Gedung 9A Gedung 2B Gedung 2A Gedung 9B Gedung 8A Gedung 3B Gedung 3A Gedung 8B Gedung 10A Gedung 1B Gedung 1A Gedung 10B Gambar 4.6 Denah komplek ruko Gerbang Utama Blok B Blok A J A L A N Dari denah di atas dapat dicermati bahwa Blok A sama dengan Blok B, karena banyak Ruko di Blok A sama dengan banyak Ruko di Blok B. Selain itu, penempatan setiap Ruko di Blok A sama dengan penempatan Ruko di Blok B. Artinya 10 Ruko di Blok A dan Blok B dibagi dalam dua jajaran. Dari ilustrasi di atas, kita akan mengkaji dalam konteks matriks. Dua matriks dikatakan sama jika memenuhi sifat berikut ini. Matriks A dan matriks B dikatakan sama A = B, jika dan hanya jika: i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B, a ij = b ij untuk semua nilai i dan j. Deinisi 4.2 Ajak siswa mengamati penerapan konsep kesa- maan dua matriks dalam konteks kompleks pe- rumahan seperti ilustrasi di samping. Motivasi siswa bahwa sangat banyak nilai kebermak- naan matematika dalam kehidupan kita. 186 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 4.3 Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi hubungan P t = Q, bila P a b d a c Q b a c = − +           = − −       2 4 3 2 2 4 7 5 3 4 3 6 7 dan . Alternatif Penyelesaian Diketahui matriks P berordo 3 × 2, maka matriks P t berordo 2 × 3. Akibatnya, hubungan P t = Q dituliskan: 2 4 2 4 3 2 7 5 3 4 3 6 7 a d a b c b a c − +       = − −      . ♦ Dengan menggunakan Deinisi 4.2, coba kamu tentukan nilai a, b, c, dan d. Contoh 4.4 Jika diberikan persamaan matriks berikut ini 2 32 4 16 2 3 1 1 10 4 2 2 3 2 x y b t a y a b − +          = +         log log         maka hitunglah nilai: a.b- 2x + y. Alternatif Penyelesaian ♦ Setelah menemukan hubungan kesamaan matriks, pilih pasangan elemen yang seletak yang pertama kali diselesaikan dengan tujuan mempermudah menentukan nilai variabel yang lain. ♦ Demikian juga untuk langkah yang kedua dan ketiga hingga ditemukan nilai a, b, x, dan y. Untuk lebih memahami tentang deinisi kesamaan dua matriks, ajak siswa memahami Contoh 4.3. Berikan tantangan ke siswa jika mampu mene- mukan penyelesaian yang lain. Ingatkan kembali siswa tentang makna Sifat 1.8 Bab 1 buku ini, yaitu: Misalkan a, b, c , a 0, a ≠ 1, dan b 0 maka a log b = c jika dan hanya jika a c = b. Ajak siswa berpikir untuk memilih persamaan ele- men seletak yang pertama diselesaikan. Guru menegaskan ke siswa, pemilihan tersebut bertujuan mengefektifkan waktu menyelesaikan 187 Matematika masalah kesamaan dua matriks, seperti yang di- tuliskan pada alternatif penyelesaian Contoh 4.4. ♦ b log 16 = 2, diperoleh b = 4. ♦ 3 log a + b 2 = 1, diperoleh a + b = 3. Akibatnya a = –1. ♦ 2 + 3a = 10 y , dengan a = –1, maka y = –10. ♦ 2 32 1 2 x y − = , atau 2 2x–y–5 = 2 . Akibatnya ditemukan x = − 5 2 . Jadi, nilai a.b – 2x + y = –9. Uji Kompetensi 4.1 1. Diketahui matriks M = [2 6 12 7 11] dan N = 2 4 6 8 7                     . Dari matriks M dan N, tentukanlah : a. Elemen baris ke-1 kolom ke-3 matriks M b. Elemen kolom ke-1 baris ke-5 matriks N c. Hasil kali elemen baris ke-2 matriks N dengan elemen kolom ke-4 matriks M d. Selisih elemen baris ke-6 pada matriks N dan elemen kolom ke-2 matriks M e. Elemen baris ke-7 matriks N. Jelaskan 2. Menurut kamu, apakah ada batasan banyak baris dan kolom untuk membentuk suatu matriks? Jelaskan 3. Coba berikan contoh yang lain selain yang disajikan di atas mengenai matriks yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari Motivasi siswa dalam mengerjakan soal-soal pada Uji Kompetensi 4.1 sebagai wadah dalam mengoreksi pengetahuan dan keterampilan mereka akan masalah-masalah terkait matriks. Bimbing siswa dalam penugasan, jika dibutuh- kan tim dalam menyele- saikan masalah-masalah bentuklah kelompok bela- jar yang heterogen.