182
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
b. Jika A = [–3 4 6 8 19], maka
A
t
= −
3
4 6
8 19
,
c. Jika C
C
t
=
=
1 5
3 14
9 4
2 2
5 8
6 3
7 12
4 1
14 2
3 9
5 7
5 4
8 12 3
2 , maka
6 6
4
.
Cara lain menentukan transpos matriks persegi.
Jika matriks, C =
1
5 3
14 9
4 2
2 5
8 6
3 7 12
4 maka transpos matriks
C dapat ditentukan melalui, 1
5 3
14 9
4 2
2 5
8 6
3 7 12
4
Ubah posisi elemen matriks yang simetris dengan diagonal
utama matriks.
Akibatnya, C
t
=
1
1 4
2 3
9 5
7 5
4 8
12 3
2 6
4 Ajukan pertanyaan kepa-
da siswa bagaimana cara lain menentukan transpos
suatu matriks. Misalnya seperti cara di samping.
183
Matematika
Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya, jika matriks awal
berordo m × n, maka transposnya berordo n × m.
Coba kamu pikirkan… • Mungkinkah suatu matriks sama dengan transposnya?
Berikan alasanmu • Periksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
, untuk setiap matriks A dan B berordo
m × n?
Alternatif Penyelesaian
Ada matriks yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri, diantaranya matriks identitas I
n × n
, misalnya: Jika
I
3 3
1 1
1
×
=
, maka
I
t t
3 3
1 1
1 1
1 1
×
=
=
. Selanjutnya untuk memeriksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
, diberikan:
A a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
m n n
n n
m ×
=
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1
... ...
...
a a
a a
m m
mn 2
3
...
,
B b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
m n n
n n
m ×
=
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1
... ...
...
b b
b b
m m
mn 2
3
...
Berikan kesempatan ke-
pada siswa untuk men- coba menemukan suatu
matriks yang transposnya sama dengan matriks itu
sendiri. Misalnya seperti alterna-
tif penyelesaian di sam- ping.
184
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
maka,
A a
a a
a a
a a
a a
a a
a
m n t
m m
m ×
=
11 21
31 1
12 22
32 2
13 23
33 3
... ...
...
a a
a a
a
n n
n mn
1 2
3
...
,
B b
b b
b b
b b
b b
b b
b
m n t
m m
m ×
=
11 21
31 1
12 22
32 2
13 23
33 3
... ...
...
b b
b b
b
n n
n mn
1 2
3
...
Oleh karena itu,
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a
m n t
m n t
m m
× ×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
21 21
31 31
1 1
12 12
22
... b
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
m m
m m
22 32
32 2
2 13
13 23
23 33
33 3
3
+ +
+ +
+ +
... ...
1 1
1 2
2 3
3 n
n n
n n
n mn
mn
b a
b a
b a
b +
+ +
+
...
.
Disisi lain, matriks
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a b
m n m n
t n
n ×
×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
12 12
13 13
1 1
21 21
22 22
... a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
n n
n n
m 23
23 2
2 31
31 32
32 33
33 3
3 1
+ +
+ +
+ +
+ ...
...
b b
a b
a b
a b
m m
m m
m mn
mn t
1 2
2 3
3
+ +
+
...
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a b
m n m n
t m
m ×
×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
21 21
31 31
1 1
12 12
22 22
... a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
m m
m m
n 32
32 2
2 13
13 23
23 33
33 3
3 1
+ +
+ +
+ +
+ ...
...
b b
a b
a b
a b
n n
n n
n mn
mn 1
2 2
3 3
+ +
+
...
.
Jadi ditemukan, matriks A
t
+ B
t
= A + B
t
.
185
Matematika
4. Kesamaan Dua Matriks
Dua kompleks perumahan ruko di daerah Tangerang memiliki ukuran yang sama dan bentuk bangunan yang
sama. Gambar di bawah ini mendeskripsikan denah pembagian gedung-gedung ruko tersebut.
Gedung 6A
Gedung 5B
Gedung 5A
Gedung 6B
Gedung 7A
Gedung 4B
Gedung 4A
Gedung 7B
Gedung 9A
Gedung 2B
Gedung 2A
Gedung 9B
Gedung 8A
Gedung 3B
Gedung 3A
Gedung 8B
Gedung 10A
Gedung 1B
Gedung 1A
Gedung 10B
Gambar 4.6 Denah komplek ruko
Gerbang Utama Blok B
Blok A
J A
L A
N
Dari denah di atas dapat dicermati bahwa Blok A sama dengan Blok B, karena banyak Ruko di Blok A sama
dengan banyak Ruko di Blok B. Selain itu, penempatan setiap Ruko di Blok A sama dengan penempatan Ruko
di Blok B. Artinya 10 Ruko di Blok A dan Blok B dibagi dalam dua jajaran.
Dari ilustrasi di atas, kita akan mengkaji dalam konteks matriks. Dua matriks dikatakan sama jika memenuhi sifat
berikut ini.
Matriks A dan matriks B dikatakan sama A = B, jika dan hanya jika:
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B,
a
ij
= b
ij
untuk semua nilai i dan j.
Deinisi 4.2
Ajak siswa mengamati penerapan konsep kesa-
maan dua matriks dalam konteks kompleks pe-
rumahan seperti ilustrasi di samping. Motivasi
siswa bahwa sangat
banyak nilai kebermak- naan matematika dalam
kehidupan kita.
186
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Contoh 4.3
Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi hubungan P
t
= Q, bila P
a b
d a
c Q
b a
c =
− +
= −
−
2
4 3
2 2
4 7
5 3
4 3
6 7
dan .
Alternatif Penyelesaian Diketahui matriks P berordo 3 × 2, maka matriks P
t
berordo 2 × 3. Akibatnya, hubungan P
t
= Q dituliskan: 2
4 2
4 3
2 7
5 3
4 3
6 7
a d
a b
c b
a c
− +
=
− −
.
♦ Dengan menggunakan Deinisi 4.2, coba kamu tentukan nilai a, b, c, dan d.
Contoh 4.4
Jika diberikan persamaan matriks berikut ini
2 32
4 16
2 3 1
1 10
4 2
2 3
2 x y
b t
a y
a b
−
+
= +
log
log
maka hitunglah nilai: a.b- 2x + y.
Alternatif Penyelesaian ♦ Setelah menemukan hubungan kesamaan matriks,
pilih pasangan elemen yang seletak yang pertama kali diselesaikan dengan tujuan mempermudah
menentukan nilai variabel yang lain. ♦ Demikian juga untuk langkah yang kedua dan ketiga
hingga ditemukan nilai a, b, x, dan y. Untuk lebih memahami
tentang deinisi kesamaan dua matriks, ajak siswa
memahami Contoh 4.3. Berikan tantangan ke
siswa jika mampu mene- mukan penyelesaian yang
lain.
Ingatkan kembali siswa tentang makna Sifat 1.8
Bab 1 buku ini, yaitu: Misalkan a, b, c , a 0,
a
≠ 1, dan b 0 maka
a
log b = c jika dan hanya jika
a
c
= b.
Ajak siswa berpikir untuk memilih persamaan ele-
men seletak yang pertama diselesaikan.
Guru menegaskan ke siswa, pemilihan tersebut
bertujuan mengefektifkan waktu menyelesaikan
187
Matematika
masalah kesamaan dua matriks, seperti yang di-
tuliskan pada alternatif penyelesaian Contoh 4.4.
♦
b
log 16 = 2, diperoleh b = 4. ♦
3
log a + b
2
= 1, diperoleh a + b = 3. Akibatnya a = –1.
♦ 2 + 3a = 10
y , dengan a = –1, maka y = –10.
♦ 2
32 1
2 x y
−
= , atau 2
2x–y–5
= 2 . Akibatnya ditemukan
x = − 5
2 .
Jadi, nilai a.b – 2x + y = –9.
Uji Kompetensi 4.1
1. Diketahui matriks M = [2 6 12 7 11] dan N = 2
4 6
8 7
.
Dari matriks M dan N,
tentukanlah : a. Elemen baris ke-1 kolom ke-3 matriks M
b. Elemen kolom ke-1 baris ke-5 matriks N c. Hasil kali elemen baris ke-2 matriks N dengan
elemen kolom ke-4 matriks M d. Selisih elemen baris ke-6 pada matriks N dan
elemen kolom ke-2 matriks M e. Elemen baris ke-7 matriks N. Jelaskan
2. Menurut kamu, apakah ada batasan banyak baris dan kolom untuk membentuk suatu matriks? Jelaskan
3. Coba berikan contoh yang lain selain yang disajikan di atas mengenai matriks yang dapat dijumpai dalam
kehidupan sehari-hari Motivasi siswa dalam
mengerjakan soal-soal pada Uji Kompetensi 4.1
sebagai wadah dalam mengoreksi pengetahuan
dan keterampilan mereka akan masalah-masalah
terkait matriks. Bimbing siswa dalam
penugasan, jika dibutuh- kan tim dalam menyele-
saikan masalah-masalah bentuklah kelompok bela-
jar yang heterogen.