Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

13 Matematika b Kasus m = n Jika m = n, maka a a m n = 1 = a = a m–n . Bukti: a a a a m n m m = , sebab m = n = a a a a a a a a m m × × × × × × × × ... ... faktor faktor = 1 = a Latihan 1.2 Buktikan sendiri untuk kasus m n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus a. Buktikan Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, m n, maka a a a m n m n = − . Bukti: Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m n. m n ⇒ m – n 0. a a a a a a a a a a m n m faktor n m faktor = × × × × × × × × − ... ... = × × × × × × × ×  − a a a a a a a a m faktor n m faktor ... ...          × × × × ×           = × × × 1 1 a a a a a a a m faktor ... ... × ×           =       = = − − − − − a a a a n m faktor n m n m m n 1 karena m n, maka m – n 0 Agar siswa benar-benar dapat menguasai kon- sep tentang Sifat-2 un- tuk kasus m n, sesuai Latihan 1.2. Alternatif jawaban yang diharap- kan dari siswa sebagai bukti Sifat-1.2 untuk kasus m n, dapat dicermati di samping. 14 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Sifat-3 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a m n = a mn Bukti: a a a a a a a a a m n m m m m n m = × × × × = × × × × ... ... faktor faktor       × × × ×       × × × × a a a a a a a a m ... ... faktor m m m a a a a faktor faktor       × × × ×       ... ...  = × × × ×    × n m n a a a a faktor faktor ...    = × a a m n m n terbukti Diskusi Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau kedua-duanya bilangan negatif. Catatan Dalam beberapa deinisi, sifat, dan proses pembuktian sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut. a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua. Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x 2 ≥ 0 dibaca, untuk setiap x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol. b. Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya x = 2 ⇒ x 2 = 4 Ajak siswa berdiskusi dalam kelompok belajar, untuk menganalisis pent- ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un- tuk Sifat-3. Jika m dan n adalah salah satu negatif dan ketika a = 0, misalnya 1 2 3 2 3 6 6 = = = − − × − Tentu 0 6 = 0. Dengan demikian 1 1 6 = hasil- nya tak terdeinisi. Jelaskan pada siswa catatan penting di sam- ping, tentang pemanfaatan dan makna simbol logika matematika yang sering digunakan dalam deinisi, sifat, dan proses pembuk- tian. Selanjutnya minta siswa untuk mencoba mema- hami bukti Sifat-3 dengan memberi bantuan sebagai berikut. 3 2 3 = 3 × 3 3 = 9 3 = 9 × 9 × 9 = 729 = 3 6 = 3 2×3 Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si- fat-3 secara umum, seper- ti yang tertera pada buku siswa di samping 15 Matematika c. Simbol p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Misalnya x 2 = 4 ⇔ x = 2 atau x = -2 Contoh 1.2 a Buktikan jika a ∈ R, a 1 dan n m, maka a n a m Bukti: Karena a 1 dan n m maka n – m 0 dan a n 0, a m 0. Akibatnya, berlaku ⇔ = ⇔ − a a a a a a a n m n m n m n m Lihat sifat-1di atas Mengapa ?Beri al 1 1 aasamu Karena terbukti ⇔ × × ⇔ a a a a a a a n m m m m m n 1 b Perlukah syarat a 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a 1 dan n m. Apakah yang terjadi? Pilih a = –2, dengan n m, pilih n = 3 dan m = 2. Apakah yang terjadi? –2 3 = –2 × –2 × –2 = –8 –2 2 = –2 × –2 = 4 Dengan demikian, a n = –8 4 = a m atau a n a m . Jadi, tidak benar bahwa a n a m bila a 1 dan n m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a 1 dan n m merupakan syarat cukup untuk membuktikan a n a m . Latih siswa berpikir anal- itis dengan mengajukan Contoh 1.2 di samping. Minta siswa membuktikan masalah yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan kosep dan sifat yang sudah dipela- jari sebelumnya, untuk proses pembuktian. Minta siswa memberi con- toh yang lain dengan me- milih nilai a tertentu, agar pernyataan pada Contoh 1.2 tidak berlaku, apabila a 1. Seperti halnya con- toh penyangkal pada buku siswa di samping. 16 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Diskusi Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2 • Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n m 0? Jelaskan • Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan • Bagaimanakah bila 0 a 1 dan a 0? • Buat aturan hubungan antara a n dan a m untuk bermacam-macam nilai a di atas • Buat laporan hasil diskusi kelompokmu. Contoh 1.3 Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 7 × = × × × × × × = × × × × faktor faktor faktor = = + 2 2 7 2 5 dengan menggunakan Sifat-1 2. dengan menggunakan Sifat-2 kasus b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 = × × × × × × × × = = 2 5–5 = 2 5–5 Arahkan siswa diskusi dengan temannya satu kelompok. Minta siswa menganalisis beberapa pernyataan pada tabel di samping. Jika syarat a 1 tidak dipenuhi, maka per- nyataan jika a ϵ R , a 1 dan n m, maka an am, belum tentu benar. Tidak perlu diperkuat syarat n m menjadi n m 0, sebab per- nyataan pada Contoh 1.4 berlaku untuk n dan m yang negatif. Syarat a 1 tidak boleh diganti dengan a ≥ 1, se- bab untuk a = 1, a n = a m . Arahkan siswa mencer- mati beberapa contoh yang disajikan, agar lebih mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber- pangkat dalam penyele- saian berbagai soal.Cek pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan- pertanyaan terkait peman- faatan sifat tersebut 17 Matematika 3. dengan menggunakan Sifat-3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 = × = × × × × × = × f f aktor aktor 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 3 6 × × × × = = + faktor 4. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 × = × × × × × = × × × × × faktor faktor = × 2 3 3 3 dengan menggunakan Deinisi 1.1 5. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3       =       ×       ×       = × × × × faktor 3 3 2 3 3 3 3 faktor = dengan menggunakan Deinisi 1.1 Contoh 1.4 Buktikan bahwa jika a 1 dan n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka a n a m . Bukti: Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n. Karena a 1 maka a a a a m n n m − − = 1 Gunakan sifat a –m = 1 a m . a a n m 1 ⇒ a n a m terbukti Latih siswa berpikir kri- tis, analitis, dan kreatif dengan mengajukan Con- toh 1.4 di samping. Minta siswa membuktikan per- nyataan yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan konsep dan sifat yang sudah dipelajari sebelumnya, untuk proses pembuktian. Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a 1, misalnya pilih a = –3, n = –2, dan m = –3. a a n m = − − = − − − − 3 3 3 3 2 3 3 2 = − = − 27 9 3 1 a a a a n m n m ⇒ 1 . 18 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 1.5 Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7 1234 tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut? Perpangkatan 7 Nilai Angka Satuan 7 1 7 7 7 2 49 9 7 3 343 3 7 4 2401 1 7 5 16807 7 7 6 117649 9 7 7 823543 3 7 8 5764801 1 Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 7 1234 . Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat.

5. Pangkat Pecahan

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, maka a m 1 = p adalah bilangan real positif, sehingga p m = a. Deinisi 1.4 Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan. Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat positif dideinisikan a a m n n m =       1 . Deinisi 1.5 Jelaskan pada siswa me- lalui beberapa contoh yang sudah dipelajari se- belumnya di SMP untuk membangun pemahaman terhadap Deinisi-1.4 dan 1.5. Misalnya, 4 2 4 2 4 2 4 1 2 1 2 2 2 1 2 2 = ⇒ = ⇒       = ⇒       ×  = ⇒ = 2 4 2 2 2 Dalam contoh ini, a = 4, p = 2, dan m = 2. Beri bantuan siswa melanjutkan langkah pe- nyelesaian Contoh-1.5 di samping. Alternatif penyelesaiannya adalah Dengan menggunakan si- fat eksponen, maka kita peroleh: 7 1234 = 7 4 × 308 × 7 2 . 7 1234 = 7 4 308 × 7 2 . Ingat: a mxn = a m n = a n m 7 1234 = 7 4 308 × 7 2 sehingga satuan dari [7 1234 ] = satuan dari [7 4 308 × 7 2 ] Satuan dari [7 1234 ] = satu- an dari [1 308 ] × satuan dari [7 2 ]. Satuan dari [7 1234 ] = 1 × 9 Satuan dari [7 1234 ] = 9 Jadi, angka terakhir dari 7 1234 adalah 9. 19 Matematika Sifat-4 Misalkan a bilangan real dengan a 0, p n m n dan adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka a a a m n p n m p n             = + . Bukti: Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a ≠ 0, m, n adalah bilangan bulat positif, maka a a m n n m =       1 . Dengan demikian a a a a m n p n n m n p             =             1 1 a a a a a a a a m n p n n m n p n n n             =             = × × × × 1 1 1 1 1 1 ... n n m n n n n p a a a a faktor faktor       × × × × 1 1 1 1 ...       = × × × ×       + a a a a n n n n m p 1 1 1 1 ... faktor S SesuaiSifat Berdasarkan Definisi1.5 = , sehing 1 1       a a n m m n g ga diperoleh terbu a a a a m n p n n m p m p n             =       = + + 1 k kti Sifat-5 Jika a adalah bilangan real dengan a 0, m n dan p q bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka a a a m n p q m n p q             = + . Untuk Deinisi 1.5 berikan contoh agar siswa lebih memahaminya. Misalnya 2 2 6 2 3 = = 2 × 2 × 2 = 8 2 2 1 2 6 1 2 6       = × = 2 3 = 2 × 2 × 2 = 2 Berarti 2 2 6 2 1 2 6 =       Selanjutnya arahkan siswa membuktikan Sifat-4 menggunakan Definisi 1.5 Arahkan siswa membukti- kan Sifat-5 menggunakan deinisi dan sifat perpang- katan yang sudah dipela- jari. Alaternatif pembuk- tian dapat dicermati di samping. 20 Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Uji Kompetensi 1.1 1. Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut. a. 2 5 × 2 9 × 2 12 b. 2 5 × 3 6 × 4 6 c. 2 3 4 12 5 5 2 2 × × d. − × 5 25 125 6 2 e. 3 7 2 42 7 3 3 × × 2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut. a. 2x 3 × 7x 4 × 3x 2 b. −       × − × 2 2 5 4 2 p q q p c. y 5 × x × y 3 1 2 x y ×       d. a × b × c 4 × 3 27 3 3 5 b c b a × × e. − ×       4 2 8 3 5 a b a b f. 1 2 3 5 3 4 2 2 2 x y x y x y × × × g. − × × −       ×       a b b a a b 3 4 5 2 3 h. 24 6 4 2 3 8 5 3 3 2 a b a b b a a × ×       × ×       Minta siswa untuk meny- elesaikan uji kompetensi melalui pemberian tugas untuk menilai penguasaan siswa terhadap materi yang sudah dipelajari. Terutama tugas projek yang tersedia. Gunakan rubrik penilaian projek yang telah tersedia pada bagian akhir dari buku guru ini.