Barisan Aritmetika Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika
261
Matematika
sehingga diperoleh barisan aritmetika tingkat tiga adalah 2, 3, 7, 17, 36, 67, 113, …
Masalah-6.3
Perhatikan masalah berikut Jika tinggi satu anak
tangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga
jika terdapat 15 buah anak tangga? Tentukanlah pola
barisannya
Gambar 6.9. Tangga
Alternatif Penyelesaian Untuk menentukan tinggi tangga maka permasalahan di
atas diurutkan menjadi:
u
1
= a u
2
20 20 + 20
= 40
20 + 20 + 20
= 60
20 + 20 + 20 + 20
= 80
20 + 20 + 20 + 20 +
20 =
100 20 + 20 +
20 + ... + 20
... u
3
u
4
u
5
u
1
= a u
1
= a
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+20 +20
+20 +20
Dari uraian di atas, ditemukan susunan bilangan 20, 40, 60, 80, …
u
n
: suku ke-n u
1
= 20 = 1 × 20
u
5
= 100 =5 × 20
u
2
= 40 = 2 × 20
... u
3
= 60 = 3 × 20 u
n
= n × 20 = 20n
u
4
= 80 = 4 × 20
Cermati pola bilangan u
n
= 20n, sehingga u
15
= 15 × 20 =
300. Berarti tinggi tangga tersebut sampai anak tangga yang ke-
15 adalah 300 cm. minta siswa untuk mema-
hami masalah 6.3 kemu- dian tanyakan bagaimana
pola bilangan yang dipe- roleh oleh siswa.
Penyelesaian masalah ini adalah menentukan pola
bilangan sehingga siswa dapat menentukan suku
ke-15
262
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Masalah-6.4
Lani, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul. Ia dapat menyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4
m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain batik terus
bertambah sehingga Lani harus menyediakan 9 helai kain batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan
ketiga. Dia menduga, jumlah kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya.
Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Lani menyelesaikan 63 helai kain batik?
Alternatif Penyelesaian Dari Masalah-6.4, dapat dituliskan jumlah kain batik sejak
bulan pertama seperti di bawah ini. Bulan I
: u
1
= a = 6 Bulan II : u
2
= 6 + 1.3 = 9 Bulan III : u
3
= 6 +2.3 = 12 Bulan IV : u
4
= 6 + 3.3 = 15 Demikian seterusnya bertambah 3 helai kain batik untuk
bulan-bulan berikutnya sehingga bulan ke-n : u
n
= 6 + n
–1.3 n merupakan bilangan asli. Sesuai dengan pola di atas, 63 helai kain batik selesai
dikerjakan pada bulan ke-n. Untuk menentukan n, dapat dip eroleh dari,
63 = 6 + n – 1.3 63 = 3 + 3n
n = 20. Jadi, pada bulan ke-20, Lani mampu menyelesaikan 63
helai kain batik. Jika beda antara dua bilangan berdekatan di notasikan
“b”, maka pola susunan bilangan 6, 9, 12, 15,…, dapat dituliskan u
n
= a + n – 1.b. Minta siswa untuk me-
mahami masalah 6.4 ke- mudian ajak siswa untuk
menyelesaikannya. Pe- nyelesaian dari perma-
salahan ini adalah untuk menemukan konsep ten-
tang suku ke-n dari se- buah barisan aritmetika
u
n
=a+n-1.b
263
Matematika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama.
Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut. b = u
2
– u
1
= u
3
– u
2
= u
4
– u
3
= ... = u
n
– u
n–1
n adalah bilangan asli sebagai nomor suku, u
n
adalah suku ke-n.
Deinisi 6.1
Berdasarkan deinisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.
u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, …, u
n
Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh
u
1
= a u
2
= u
1
+ 1.b u
3
= u
2
+ b = u
1
+ 2.b u
4
= u
3
+ b = u
1
+ 3.b u
5
= u
4
+ b = u
1
+ 4.b …
u
n
= u
1
+ n – 1b
Sifat-6.1
Jika u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, …, u
n
merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus suku ke-n barisan tersebut
dinyatakan sebagai berikut. u
n
= a + n – 1b a = u
1
adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda barisan aritmetika
Masalah-6.5
Setiap hari Siti menabungkan sisa uang jajannya. Uang yang ditabung setiap hari selama enam hari mengikuti
pola barisan aritmetika dengan suku pertama a = 500
dan beda b = 500. Bagaimana cara mengetahui banyaknya uang Siti yang
ditabung pada hari ke-6?
Bersama-sama dengan siswa membuat deinisi
6.1 secara induktif ber- dasarkan beberapa pe-
nyelesaian masalah- masalah sebelumnya.
Minta siswa untuk me- mahami masalah 6.5 pe-
nyelesaian dari perma- salahan ini merupakan
penggunaan dari prinsip suku ke-n barisan aritme-
tika.
264
Buku Guru Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Alternatif Penyelesaian Penyelesaian Masalah-6.5 dapat dilakukan dengan
membuat barisan aritmetika dari uang yang ditabung Siti kemudian menentukan suku terakhirnya.
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
500 u
1
+ 500
u
2
+ 500
u
3
+ 500
u
4
+ 500
u
5
+ 500
Karena u
n
= a + n – 1b maka u
6
= a + 5b =
500 +
5500 =
500 +
2500 = 3000
Berarti tabungan Siti pada hari ke-6 adalah Rp 3000,00.
Contoh 6.5
1. Tentukan suku ke-n barisan di bawah ini a 1, 2, 3, 4, 5, 6, … tentukan suku ke-15
b 4, 1, – 2, – 5, – 8, … tentukan suku ke-18 Alternatif Penyelesaian
a 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Dari barisan bilangan tersebut, diketahui bahwa
u
1
= a = 1, u
2
= 2, u
3
= 3, …. b = u
2
– u
1
= u
3
– u
2
= 1. Karena
u
n
= a + u – 1b, maka u
15
= a + 15 – 1b. u
15
= 1 + 15 – 1.1 = 15 b 4, 1, – 2, – 5, – 8, …
Diketahui: u
1
= a = 4, u
2
= 1, u
3
= –2, u
4
= –5 …. b = u
2
– u
1
= u
3
– u
2
= u
4
– u
3
= –3. Karena
u
n
= a + n – 1b, maka u
18
= a + 18 – 1b. u
18
= 4 + 18 – 1. –3 = –47 Untuk lebih memahami
tentang pronsip barisan aritmetika minta siswa
memahami contoh-contoh berikut.
265
Matematika
2. Suku ke-4 barisan aritmetika adalah 19 dan suku ke-7 adalah 31. Tentukan suku ke-50.
Alternatif Penyelesaian u
n
= a + n – 1b u
4
= 19 = a + 3b
u
7
= 31 = a + 6b –
– 3b = –12 b = 4
a + 3b = 19
u
50
= a + 49b
a + 34 = 19
= 7 + 49 4 a
= 7 = 203