keluaran yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan p x q keluaran yang mungkin.
Kaidah perkalian sebagaimana dikemukakan di atas dapat pula dipahami sebagai kaidah pengisian tempat yang tersedia
yang diilustrasikan sebagai berikut.
Misalkan terdapat n buah tempat tersedia, dengan : k
1
adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama, k
2
adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,
k
3
adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi,
… demikian seterusnya. k
n
adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat
– tempat pertama, kedua, ketiga, . . ., dan ke n-1 terisi.
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah
Tabel 2.2 Rumus kaidah perkalian k
1
x k
2
x k
3
x . . . x k
n
Untuk dapat menentukan banyaknya cara dimaksud dari soal sebelumnya, dapat dilakukan secara sistematis sebagai
berikut. Tabel 2.3 Penggunaan Filling slots
Tempat ke 1 Tempat Ke 2 Total banyaknya cara
2 X 3 = 6
. Keterangan :
Tempat pertama dapat diisi dengan 2 cara, yakni celana hitam dan celana biru tua.
Tempat kedua dapat diisi dengan 3 cara, yakni baju putih, baju biru muda dan baju krem.
Dengan demikian, setelah dilakukan operasi perkalian pada nilai tempat ke 1 dan dan ke 2 akan didapatkan total banyaknya
cara adalah 6 cara
13. Faktorial
Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Secara umum dapat
didefinisikan sebagai berikut : Tabel 2.4. Rumus umum faktorial
n = n x n-1 x n- 2 x ….. x 3 x 2 x 1
Didefinisikan pula bahwa : Tabel 2.5. Definisi 0 Dan 1
Dengan menggunakan definisi tersebut, factorial suatu bilangan asli dapat ditentukan sebagai contoh :
a. 2 = 2 x 1 = 2
b. 3 = 3 x 2 x 1 = 6
c. 5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
14. Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula dengan
memperhatikan urutannya. Permutasi ini sendiri memiliki beberapa situasi dan kondisi
diantaranya : a.
Permutasi dari unsur – unsur yang berbeda Misalkan dari tiga buah angka 1, 2 dan 3 akan disusun
suatu bilangan yang terdiri atas dua angka dengan bilangan –
bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama, maka susunan yang dapat dibentuk adalah :
12 13
21 23
31 32
1 = 1 dan 0 =1
Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu dapat digunakan rumus:
Tabel 2.6. Rumus Permutasi Unsur Berbeda � =
−
Dimana n adalah banyaknya unsur yang tersedia r adalah banyaknya unsur yang diambil r ≤ n
Sehingga dari contoh soal yang diambil dapat ditentukan n = 3 , r = 2
substitusikan ke dalam rumus umum permutasi menjadi �
2 3
= 3
3 − 2 =
3 1
= 3 × 2 × 1
1 = 3 × 2
= 6 Jadi banyaknya cara untuk membuat susunan tersebut adalah 6
cara. b.
Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama Misalkan terdapat 3 unsur yang tersedia, yaitu huruf
– huruf A, A dan B. Berapa banyak permutasi 3 huruf yang terjadi?
Dari pertanyaan tersebut dapat kita lihat terdapat 2 unsur yang sama, yaitu huruf A.
Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang
berbeda. Untuk tujuan itu, huruf yang sama huruf A dibubuhi indeks 1 dan 2 sehingga diperoleh huruf
– huruf A
1
, A
2
, dan B 3 unsur yang berbeda
Banyak permutasi 3 unsur yang berbeda adalah 3 = 6, yaitu permutasi :
A
1
A
2
B, A
2
A
1
B, A
1
BA
2,
A
2
BA
1,
BA
1
A
2,
BA
2
A
1
Permutasi - permutasi di atas dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang
sama apabila indeksnya dihapus. Misalnya : Kelompok A
1
A
2
B dan A
2
A
1
B, jika indeks dihapus diperoleh permutasi AAB.
Kelompok A
1
BA
2
dan A
2
BA
1,
jika indeks dihapus diperoleh permutasi ABA.
Kelompok BA
1
A
2
dan BA
2
A
1,
jika indeks dihapus diperoleh permutasi BAA.
Dengan demikian, banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut
P =
3 2
=
3×2×1 2×1
= 3 Jadi, banyaknya permutasi dari huruf A, A dan B sama
dengan 3 macam. Ketiga permutasi itu adalah AAB, ABA dan BAA.
Berdasarkan contoh di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut :
Tabel 2.7. Rumus Permutasi Memuat Beberapa Unsur Sama 1
Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama
k ≤ n, maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan.
P = 2
Misalkan dari n unsur yang tersediaterdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama k + l +
m ≤ n, maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan.
P =
c. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah penyusunan sederetan obyek yang melingkar, misalkan tiga orang A Ani, B Boy dan C Carli
menempati tiga buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Susunan penempatan diperlihatkan pada gambar 2.3.
