dimana olah data penelitian berupa bilangan yang lebih menekankan makna dari pada generalisasi.
13. Sistem Persamaan Linear Satu Variabel SPLSV
Dalam kegiatan pembelajaran matematika kelas VII semester gasal, sesuai dengan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan KTSP dengan
materi SPLSV, diberikan Standar Kompetensi SK, sebagai berikut: 1
Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel
2 Menggunakan bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear
satu variabel, dan perbandingan dalam pemecahan masalah, dengan Kompetensi Dasar KD, menyelesaikan persamaan linear satu
variabel. Berdasarkan buku matemtika untuk kelas VII semester gasal karangan Budi Wono Setya 2004:166-177, karangan Sukino dan Wilson
Simangunsong 2006:117-125, karangan Adinawan dan M. Cholik 2007:114-128, maka diperoleh ringkasan materi sebagai berikut:
a Pernyataan dan kalimat terbuka
1 Kalimat benar dan kalimat salah
Kalimat matematika yang telah jelas memiliki nilai kebenaran benar atau salah dinamakan pernyataan.
Contoh 1: a
Semarang di Jawa Tengah b
c Pasar Klewer ada di Solo
Ketiga kalimat di atas merupakan kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar.
Contoh 2: a
Pasar Klewer di Semarang b
c merupakan bilangan prima
Contoh 3: a
Apakah kamu lapar? b
Silahkan duduk
Yaitu kalimat tanya, perintah, dan lain sebagainya.
2 Kalimat terbuka
a Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai
kebenarannya benar atau salah karena masih bergantung pada peubah atau variabel.
b Variabel atau peubah adalah lambang atau simbol yang dapat
diganti oleh sembarang anggota dari himpunan semesta. c
Konstanta adalah pengganti dari suatu variabel. Contoh 3:
a Dia seorang ayah, nilai kebenaran kalimat ini tergantung pada kata
“dia”.
b , nilai kebenaran kalimat ini tergantung pada variabel
. Kalimat yang memuat variabel atau sesuatu yang belum ditentukan nilai
kebenarannya disebut kalimat terbuka. Perhatikan kembali kalimat pada contoh b di atas.
1. Jika diganti dengan maka akan diperoleh kalimat
Merupakan kalimat dengan nilai kebenaran benar. 2.
Jika diganti dengan maka akan diperoleh kalimat
Merupakan kalimat dengan nilai kebenaran salah. Kita dapat mengganti nilai
dengan berbagai nilai lain sehingga kita dapat menentukan nilai kebenarannya.
Setiap kalimat terbuka yang memuat variabel harus diganti oleh satu atau beberapa anggota dari himpunan semesta yang didefinisikan.
Pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian solusi. Himpunan dari semua
penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari variabel pada kalimat terbuka
yang membuat kalimat tersebut menjadi benar. Himpunan penyelesaian sering disingkat sebagai HP.
b Persamaan Linear Satu Variabel PLSV
1 Persamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda
“ ” pada kedua ruasnya. 2
Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu.
3 PLSV adalah persamaan linear yang hanya memiliki satu variabel.
Contoh 4:
Bentuk umum PLSV adalah dengan dan adalah
bilangan real, dimisalkan sebagai variabel.
c Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Suatu Persamaan
Ahmad ingin menjawab secara mencongak soal persamaan linear satu variabel
dengan variabel bilangan asli. Dia mengganti dengan
, sehingga kalimat terbuka menjadi benar. benar
adalah penyelesaian akar PLSV .
Jadi, himpunan penyelesaian dari adalah { }.
Penyelesaian suatu persamaan linear dengan satu variabel adalah bilangan pengganti dari variabel pada daerah definisi persamaan yang
membuat persamaan menjadi pernyataan yang benar. Selain cara mencongak, kita juga dapat menyelesaikan persamaan linear
satu variabel dengan cara substitusi satu per satu variabel yang terdefinisi sehingga persamaan itu menjadi kalimat yang benar.
Contoh 5: Tentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari
dengan anggota pada himpunan bilangan cacah.
Jawab: Untuk
, maka kalimat salah,
Untuk , maka kalimat salah,
Untuk , maka kalimat salah.
Hal ini tidak perlu dilanjutkan lagi karena kita akan selalu mendapatkan kalimat yang salah.
Jadi, penyelesaian tidak ada dan himpunan penyelesaian { }.
Berdasarkan contoh tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
Himpunan penyelesaian suatu persamaan linear dengan satu variabel mempunyai dua kemungkinan, yaitu memiliki hanya satu
buah anggota atau tidak ada anggota himpunan kosong.
d Kalimat matematika Model matematika
Kalimat matematika adalah kalimat yang ditulis dengan lambang- lambang matematika dan dapat dinilai kalimat yang telah memiliki nilai
kebenaran benar atau salah. Contoh 6:
Untuk Permasalahan: Gareng memiliki berat badan kg, sementara
ia ingin menaikkan berat badannya sehingga menjadi kg. Jika
dimisalkan berat badan yang harus ditambahkan Gareng supaya menjadi
kg itu sebanyak kg, maka dapat dituliskan menjadi: .
e Penyelesaian kalimat terbuka yang berbentuk cerita
Untuk menyelesaikan kalimat terbuka yang berbentuk cerita, dapat ditempuh langkah-langkah sebagai berikut.
1 Terjemahkan kalimat cerita itu kedalam kalimat matematika yang
berbentuk persamaan. Jika perlu, gunakan gambar sketsa diagram. 2
Selesaikan persamaan itu dengan cara substitusi.
Contoh 7: Sebuah buku cerita setebal 238 halaman sedang dibaca oleh Kevin
dalam beberapa hari. Dalam 6 hari ia telah membaca sebanyak 103 halaman. Berapa halaman yang harus dibaca oleh Kevin untuk
mengetahui akhir cerita buku tersebut? Jawab:
Misalkan jumlah halaman yang tersisa atau belum dibaca , maka
kalimat matematikanya adalah: .
Penyelesaian: .
karena jika 135 disubstitusikan ke persamaan , menjadi merupakan kalimat yang benar.
Jadi, Kevin harus membaca sebanyak halaman lagi untuk
mengetahui akhir cerita buku tersebut.
f Persamaan yang ekuivalen
Persamaan yang ekuivalen adalah suatu persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, apabila pada persamaan tersebut
dikenakan suatu operasi tertentu. Notasi ekuivalen adalah .
1 Menyelesaikan persamaan dengan sifat-sifat operasi suatu
persamaan yang ekuivalen
i Penambahan pada kedua ruas dengan bilangan yang sama untuk
mendapatkan persamaan yang ekuivalen. ii
Pengurangan pada kedua ruas dengan bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.
iii Perkalian pada kedua ruas dengan bilangan yang sama untuk
mendapatkan persamaan yang ekuivalen. iv
Pembagian pada kedua ruas dengan bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.
B. Kerangka Berpikir
Kategori