99
BAB II ~ Peluang
Contoh 2.4.3 Seorang siswa mempunyai peluang lulus ujian Matematika dan Bahasa Inggris
masing-masing adalah 23 dan 49. Jika peluang siswa tersebut lulus paling sedikit satu mata pelajaran adalah 45, berapakah peluang bahwa dia akan lulus di kedua
mata pelajaran di atas.
Penyelesaian: Misalkan A adalah kejadian lulus ujian Matematika, dan B kejadian lulus ujian
Bahasa Inggris. Dari yang diketahui, maka PA = 23, PB = 49, dan
P A B
∪
= 45. Jadi,
2 3 4 9 4 5 14 45 P A
B P A
P B P A
B ∩
= +
− ∪
= +
− =
Jadi, peluang siswa akan lulus di kedua mata pelajaran adalah
14 45
. W
2.4.2 Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas
Misalkan pada percobaan melempar sekali dadu sisi enam terjadi dua kejadian, yaitu:
- Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil, yaitu A = { 1, 3, 5 }.
- Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu genap, yaitu B = { 2, 4, 6}.
Mudah kita pahami bahwa A B
∩ = ∅ , dalam kondisi seperti ini kita katakan bahwa kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang lepas. Diagram Venn
dari dua kejadian ini diperlihatkan oleh Gambar 2.11.
Gambar 2.11 Dua Kejadian Saling Lepas
Karena
A B
∩ = ∅
, maka
P A B
∩ =
. Oleh karena itu, jika hasil ini kita substitusikan ke dalam rumus persamaan 2.12, kita peroleh:
P A B
P A P B
∪ =
+ −
atau
P A B
P A P B
∪ =
+
Hal ini berlaku secara umum untuk sembarang dua kejadian saling lepas. Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas dalam ruang sampel S, maka
peluang kejadian
A B
∪
adalah:
P A B
P A P B
∪ =
+
2.13
3 1
5 6
2 4
A B
S
Matematika Kelas XI - IPS SMA
100
Contoh 2.4.4 Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Berapakah peluang
kejadian yang terambil adalah kartu sekop atau kartu berwarna merah? Penyelesaian:
Misalkan A adalah kejadian yang terambil kartu sekop, maka
13 n A
=
, PA =
13 1
5 2
4 =
Jumlah kartu yang berwarna merah ada 26 buah, yaitu hati dan berlian. Misalkan B kejadian munculnya kartu hitam, maka:
PB =
26 1
5 2
2 =
Karena A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas, maka menurut 2.13:
1 4 1 2 3 4. P A
B P A
P B ∪
= +
= +
=
Jadi, peluang kejadian terambil kartu sekop atau kartu berwarna merah adalah
3 4
. W
2.4.3 Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Bebas
Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali secara serentak. Misalkan: -
Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, yaitu: A = {3, 1, 3,2, 3,3,3,4, 3,5, 3,6}
- Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 5, yaitu:
B = {1, 5, 2,5, 3,5,4,5, 5,5, 6,5} Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama tidak dipengaruhi oleh
kejadian munculnya angka 5 pada dadu kedua, dan sebaliknya. Dalam hal ini, A dan B dikatakan dua kejadian saling bebas. Secara umum,
Kejadian A dan kejadian B dikatakatan dua kejadian saling bebas, jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B
tidak dipengaruhi oleh kejadian A.
Sebagai catatan : bedakan pengertian dua kejadian saling lepas dan dua kejadian saling bebas.
Kembali pada dua kejadian saling bebas, A dan B, pada pelemparan dua buah dadu sisi enam di atas. Hasil percobaan diberikan oleh Tabel 2.4.
101
BAB II ~ Peluang
Tabel 2.4 Hasil percobaan pelemparan dua dadu sisi enam
Dari hasil percobaan itu tampak bahwa
{3,5} A
B ∩ =
, lihat perpotongan kolom dan baris yang diwarnai. Lebih lanjut,
36 n S
=
,
6 n A
=
,
6 n B
=
, dan
1 n A
B ∩
=
sehingga:
6 1
36 6
n A P A
n S =
= =
,
6 1
36 6
n B P B
n S =
= =
, dan
1 36
n A B
P A B
n S ∩
∩ =
=
. Tampak bahwa dari bilangan-bilangan ini terdapat hubungan:
P A B
P A P B
∩ =
×
Hasil ini berlaku umum untuk sembarang dua kejadian saling bebas. Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas, maka berlaku:
P A B
P A P B
∩ =
×
2.14 Sebaliknya, jika
P A B
P A P B
∩ ≠
×
, maka kejadian A dan kejadian B tidak bebas.
Contoh 2.4.5 Dua buah dadu sisi enam dilempar secara serentak sekali. Kejadian A adalah
kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama, sedangkan kejadian B adalah kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu sama dengan 8. Periksa, apakah
kejadian A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas?
Penyelesaian: Ruang sampel dari percobaan ini tertuang pada Tabel 2.4, dengan nS = 36.
Kejadian
{ }
3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6 A
=
,
6 n A
=
, dan
6 1
36 6
n A P A
n S =
= =
D ad
u P
er tam
a
1 5
6 2
3 4
Dadu Kedua
2 3
4 1
6 5
1,1 1,2
1,3 1,4
1,5 1,6
2,1 2,2
2,3 2,4
2,5 2,6
3,1 3,2
3,3 3,4
3,6 3,5
6,1 6,2
6,3 6,4
6,6 6,5
5,1 5,2
5,3 5,4
5,6 5,5
4,1 4,2
4,3 4,4
4,6 4,5
Matematika Kelas XI - IPS SMA
102
Kejadian
{ }
2,6,3,5,4,4,5,3,6,2 B
=
,
5 n B
=
, dan
5 36
n B P B
n S =
=
. Kejadian
{ }
3,5 A
B ∩ =
, dengan
1 n A
B ∩
=
, dan
1 36
n A B
P A B
n S ∩
∩ =
=
Dengan hasil perhitungan ini, kita peroleh:
1 1
5 36
6 36 ≠ ×
atau
P A B
P A P B
∩ ≠
×
Dari persamaan 2.14, kejadian A dan kejadian B adalah dua kejadian yang tidak saling bebas.
W Contoh 2.4.6
Misalkan A dan B adalah kejadian yang saling bebas, tetapi tidak saling lepas. Jika
1 2
P A =
dan
3 4
P A B ∪
= , hitunglah peluang kejadian B.
Penyelesaian: Karena kejadian A dan kejadian B saling bebas, maka berlaku:
P A B
P A P B
∩ =
×
Dari yang diketahui diperoleh:
1 2
P A B P B
∩ =
Karena A dan B tidak lepas, maka berlaku hubungan:
P A B
P A P B
P A B
∪ =
+ −
∩
Substitusi
1 2
P A =
,
3 4
P A B ∪
= , dan
1 2
P A B P B
∩ =
, diperoleh:
3 1
1 4
2 2
P B P B
= + −
⇔
1 3
1 1
2 4
2 4
P B = − =
⇔
1 1
2 4
2 P B
= × =
Jadi, peluang kejadian B adalah
1 2 P A
=
. W
Contoh 2.4.7 Seorang siswa mengambil 3 jenis kursus, yaitu kursus komputer, bahasa Inggris,
dan bahasa Jepang. Peluang siswa tersebut untuk lulus komputer adalah 0,5; lulus bahasa Inggris adalah 0,6; dan lulus bahasa Jepang adalah 0,75. Hitunglah peluang:
a. siswa lulus ketiga jenis kursus b. siswa lulus kursus komputer dan bahasa Inggris
c. siswa lulus sedikitnya 2 jenis kursus
103
BAB II ~ Peluang
Penyelesaian: Misalkan K, I, dan J masing-masing menyatakan kejadian siswa lulus komputer,
lulus bahasa Inggris, dan lulus bahasa Jepang. Dengan demikian , kita peroleh:
0,5 P K
=
,
0,6 P I
=
, dan
0,75 P J
=
a. Siswa lulus 3 jenis kursus merupakan kejadian saling bebas untuk 3 kejadian. Dengan menerapkan rumus 2.14 untuk 3 kejadian, maka peluang siswa lulus
3 jenis kursus adalah:
P K I
J P K
P I P J
∩ ∩ = ×
× 0,50,6 0,75 0,225
= ×
× =
b. Karena peluang siswa lulus bahasa Jepang adalah 0,75, maka peluang siswa tidak lulus bahasa Jepang adalah
1 0,75 0,25
c
P J = −
=
. Dengan demikian, peluang siswa lulus komputer dan bahasa Inggris adalah:
c c
P K I
J P K
P I P J
∩ ∩ =
× ×
0,50,6 0,25 0,075 =
× ×
=
c. Misalkan
c
P K
dan
c
P I
masing-masing menyatakan peluang siswa tidak lulus komputer dan siswa tidak lulus bahasa Inggris, maka:
1 0,5 0,5
c
P K = −
=
dan
1 0,6 0,4
c
P I = −
=
Peluang siswa untuk lulus 2 jenis kursus :
c c
P K I
J P K
P I P J
∩ ∩ =
× ×
0, 50,6 0, 25 0,075 =
× ×
=
c c
P K I
J P K
P I P J
∩ ∩ = ×
× 0,50,4 0,75 0,15
= ×
× =
c c
P K I
J P K
P I P J
∩ ∩ = ×
× 0, 50,6 0,75 0,225
= ×
× =
Jadi, peluang siswa lulus sedikitnya dua jenis kursus adalah: 0,075 + 0,15 + 0,225 = 0,450
W
1. Dalam permainan satu set kartu bridge. Berapa peluang pengambilan satu kartu:
a. A atau K? b. A atau berlian?
2. Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali, hitunglah peluang kejadian akan muncul:
a. jumlah mata dadu paling besar 4, b. jumlah mata dadu 5,
c. jumlah mata dadu 7 atau lebih besar dari 7.
3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola hijau. Berapakah peluang pengambilan dua
bola sekaligus bahwa bola terambil merah atau hijau? 4.
Suatu kelas terdiri dari 120 siswa, 60 siswa senang sepak bola, 50 siswa senang bola basket, dan 20 siswa senang keduanya. Jika seorang siswa dipilih dari kelas itu secara acak, berapa
peluang: a. dia senang sepak bola atau basket,
b. dia sama sekali tidak senang sepak bola ataupun basket.
5. Seorang siswa memiliki peluang lulus pelajaran bahasa Indonesia sebesar 0,6, lulus bahasa
Inggris 0,4, dan lulus keduanya 0,24. Berapa peluang siswa itu lulus dalam bahasa Indonesia atau bahasa Inggris?
Latihan 2.4
Matematika Kelas XI - IPS SMA
104
6. Suatu kelas terdiri dari 20 siswa dan 40 siswi, dengan 10 siswa dan 20 siswi mempunyai
nilai ulangan bahasa Inggris lebih dari 80. Hitunglah peluang seseorang yang dipilih secara acak adalah seorang siswa atau seseorang yang mempunyai nilai lebih dari 80.
7. Dua buah dadu sisi enam dilempar secara serentak sebanyak satu kali. Hitunglah peluang
kejadian munculnya jumlah mata dadu: a. 2 atau 8
b. 5 atau 10 c. 2 atau 3 atau 9
d. bukan 10 atau 12
8. Hasil survei yang dilaksanakan di sebuah sekolah tentang hobi menghasilkan data sebagai
berikut. 10 siswa tidak hobi sepak bola; 65 siswa hobi sepak bola; dan 5 siswa tidak hobi sepak bola tetapi hobi bulu tangkis. Dari data ini dipilih secara acak satu orang
siswa. Berapa peluang siswa itu hobi sepak bola, tetapi tidak hobi bulu tangkis?
9. Dalam kotak I terdapat 4 balon merah dan 3 balon putih, sedangkan pada kotak II terdapat
7 balon merah dan 2 balon hitam. Dari masing-masing kotak diambil satu balon secara acak. Hitunglah peluang yang terambil itu:
a. balon merah dari kotak I dan balon merah dari kotak II b. balon merah dari kotak I dan balon hitam dari kotak II
c. balon putih dari kotak I dan balon merah dari kotak II d. balon putih dari kotak I dan balon hitam dari kotak II
10. Diketahui
1 3
P A =
,
2 5
P B =
, dan
3 5
P A B
∪ =
. Tunjukkan bahwa kejadian A dan kejadian B saling bebas.
11. Misalkan A dan B adalah kejadian yang saling bebas, tetapi tidak saling lepas. Jika
1 3
P A =
dan
3 5
P A B
∪ =
, hitunglah peluang kejadian B. 12. Seorang pelamar menerima panggilan untuk ujian di tiga perusahaan, X, Y, dan Z. Menurut
perkiraannya, peluang diterima pada masing-masing perusahaan adalah 25, 310 dan 110. Berapa peluang dari kejadian:
a. pelamar tidak diterima di salah satu perusahaan, b. pelamar tidak diterima di perusahaan X atau Y,
c. pelamar diterima di salah satu perusahaan.
13. Selama satu minggu sebuah stasiun TV mempunyai 20 program acara, 8 di antaranya berisi infotainment, 9 acara berkaitan olahraga, dan 5 mata acara berisi infotainment dan
sekaligus olahraga. Jika Tobing memilih satu acara secara acak, berapakah peluang Tobing akan mendapatkan program acara yang berisi infotainment atau olah raga atau keduanya?
14. Manajemen Sebuah perusahaan HP mengirim produknya ke distributor dengan mengemas dalam suatu
kotak. Setiap kotak dapat menampung 12 HP dengan jenis yang sama. Untuk menghindari komplain dari distributor, sebelum memasukkan HP ke dalam kotak, perusahaan menguji
3 HP yang diambil secara acak dari setiap kotak. Semua HP dalam kotak dikirim, apabila tidak ada HP yang rusak dalam pengujian tersebut.
a. Berapakah peluang terdapat 1 HP yang rusak? b. Berapakah peluang terdapat 2 HP yang rusak?
c. Berapakah peluang suatu kotak itu tidak terkirim? d. Berapakah peluang suatu kotak itu terkirim?
105
BAB II ~ Peluang
15. Sosial Peluang Pak Harno terpilih dalam pilkades Desa Gondangmanis adalah
3 8
, sedangkan peluang Pak Sukamto terpilih dalam pilkades Desa Madurahayu adalah
5 6
. Berapa peluang:
a. keduanya terpilih menjadi kepala desa, b. keduanya tidak terpilih, dan
c. Pak Harno terpilih dan Pak Sukamto tidak terpilih?
2.5 Peluang Kejadian Bersyarat
