Matematika Kelas XI - IPS SMA
172
Sebuah perusahaan handpone memperkirakan bahwa biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk
model seri tertentu adalah:
2 3
900 6 ,3
,001 + N
N N
N =
+ −
+
dengan N banyak handphone yang diproduksi. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, maka perusahaan
harus menekan biaya produksinya. Pertanyaannya, berapakah tingkat produksi perusahaan tersebut untuk
meminimumkan biaya produksi?
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, sebaiknya Anda ingat kembali beberapa konsep tentang
bentuk pangkat dan akar, daerah asal, dan operasi aljabar fungsi. Kemudian, silakan mempelajari isi bab ini. Dengan telah menguasai konsep-konsep pada bab ini, Anda
diharapkan menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang terkait, secara khusus permasalahan di atas.
4.1 Pengertian Limit
Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipun kalkulus sendiri telah dikenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Gottried Wilhelm Leibniz
pada pertengahan abad ke-17, sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan oleh Agustin Louis Cauchy pada abad ke-18.
Konsep limit fungsi di suatu titik yang akan kita pelajari adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik tersebut,
terkecuali di titik itu sendiri. Sebagai contoh, kita perhatikan fungsi f yang diberikan oleh:
2
1 1
x f x
x −
= −
Periksa bahwa daerah asal dari f adalah semua bilangan real N kecuali N = 1 karena f1 tidak ada. Kita akan menyelidiki nilai fungsi f apabila N mendekati 1, tetapi tidak
sama dengan 1. Misalkan N mengambil nilai 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; dan seterusnya. Dalam hal ini kita mengambil nilai N yang semakin dekat 1, tetapi lebih kecil
1. Nilai-nilai fungsi f untuk harga-harga ini diberikan Tabel 4.1. Kemudian, misalkan N mendekati 1 sepanjang nilai yang lebih besar 1 , yaitu N mengambil nilai 2; 1,75; 1,5; 1,25;
1,1; 1,01; 1,001; 1,0001; 1,00001, dan seterusnya. Lihat Tabel 4.2.
Tabel 4.1 Tabel 4.2
x ,25
,5 ,75
,9 ,99
,999 ,9999
2
1 1
x f x
x −
= −
1 1,25
1,5 1,75
1,9 1,99
1,999 1,9999
x 2
1,75 1,5
1,25 1,1
1,01 1,001
1,0001
2
1 1
x f x
x −
= −
3 2,75
2,5 2,25
2,1 2,01
2,001 2,0001
Pengantar
Gambar 4.1 Perusahaan handphone
Sumber: imageshack.com
173
BAB IV ~ Limit .ungsi
Dari Tabel 4.1 dan Tabel 4.2, kita periksa bahwa jika N bergerak semakin dekat ke 1, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan, maka fN bergerak semakin dekat ke 2.
Sebagai contoh, dari Tabel 4.1, jika N = 0,999 maka fN = 1,999. Yaitu, jika N lebih kecil ,001 dari 1, maka fN lebih kecil 0,001 dari 2.
Dari Tabel 4.2, jika N = 1,001 maka f N = 2,001. Yaitu, jika N lebih besar 0,001 dari 1, maka fN lebih besar 0,001 dari 2.
Situasi di atas mengatakan bahwa kita dapat membuat nilai fN mendekati 2 asalkan kita tempatkan N cukup dekat dengan 1, meskipun nilai f1 tidak ada. Situasi semacam
ini secara matematika kita tuliskan dengan:
1
lim 2
N
f N
→
=
Perlu dicatat di sini bahwa nilai
2 1
f ≠
karena f tidak terdefinisi di N = 1. Secara grafik situasi ini dapat digambarkan bahwa ketika N = 1, grafiknya terputus berlubang.
Gambar 4.2 Grafik
2
1 1
N N
O
− −
=
Secara umum, kita gunakan notasi berikut. Definisi 4.1
Limit fN ketika N mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan: lim
x c
f x L
→
= jika kita dapat membuat nilai fN sembarang yang dekat dengan L sedekat
yang kita mau dengan cara mengambil nilai N yang dekat dengan c, tetapi tidak sama dengan c.
Kasarnya, nilai f N akan semakin mendekati nilai L ketika N mendekati nilai c dari dua sisi tetapi
N c ≠ . Definisi secara formal akan kita pelajari nanti ketika belajar kalkulus
di perguruan tinggi.
− =
−
2
1 1
N O
N O
1 2 3 3
2 1
N
Matematika Kelas XI - IPS SMA
174
Notasi alternatif untuk
lim
N c
f N L
→
=
adalah:
f N L
→
seraya
N c
→
yang dibaca fN mendekati L ketika N mendekati c. Kita perhatikan ungkapan tetapi
N c ≠
dalam Definisi 4.1, bermakna bahwa dalam menentukan limit fN ketika N mendekati c, kita tidak pernah menganggap N = c. Bahkan
fN tidak harus terdefinisi di N = c. Tetapi yang harus kita pedulikan adalah bagaimana f terdefinisi di dekat c.
Dengan penjelasan di depan, juga membawa konsekuensi bahwa jika
lim
N c
f N
→
ada, limit tersebut tunggal adanya. Sifat ini yang lebih dikenal sebagai teorema ketunggalan
limit. Gambar 4.3 memperlihatkan grafik dari tiga fungsi. Kita perhatikan bahwa di bagian
b
L f c
≠
, sedangkan di bagian c fc tidak terdefinisi. Tetapi pada setiap kasus, apapun yang terjadi di c,
lim
N c
f N L
→
=
.
Gambar 4.3 lim
N c
f N L
→
= dalam Tiga Kasus
Contoh 4.1.1 Tebaklah nilai
2 2
2 lim
4
N
N N
→
− −
. Penyelesaian:
Perhatikan bahwa fungsi
2
2 4
f N N
N =
− −
tidak terdefinisi di N = 2, tetapi hal itu tidak menjadi masalah karena yang perlu kita pertimbangkan dalam menghitung
2
lim
N
f N
→
adalah titik-titik di sekitar 2, bukan untuk N = 2. Tabel 4.3 dan 4.4 memberikan nilai fN sampai enam desimal untuk nilai N yang mendekati 2 tetapi tidak sama dengan
2. Dengan merujuk nilai-nilai pada tabel, kita dapat menebak bahwa:
2 2
2 1
lim 4
4
N
N N
→
− =
−
c N
O O
O L
L L
c N
c N
a b
c
175
BAB IV ~ Limit .ungsi
Tabel 4.3 Tabel 4.4
Ilustrasi grafik diberikan oleh Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Grafik fungsi
2
2 4
O N
N =
− −
9
Contoh 4.1.2 Carilah
2 2
16 4
lim
N
N N
→
+ −
. Penyelesaian:
Tabel 4.5 memberikan data nilai fungsi di beberapa nilai N di sekitar 0.
Tabel 4.5
Pada saat N mendekati 0, nilai fungsi tampak mendekati 0,1249999... , sehingga kita menebak bahwa
2 2
16 4 1
lim 8
N
N N
→
+ −
=
. 9
x 2 1,5
1,75 1,9
1,99 1,999
1,9999 ,285714
,266667 ,256410
,250626 ,250063
,250006 fx
x 2 2,5
2,25 2,1
2,01 2,001
2,0001 ,222222
,235294 ,243090
,249377 ,249938
,249994 fx
x ±
1,0 ±
,5 ±
,1 ±
,05 ±
,01 ,123106
,124516 ,124980
,124995 ,124999
2 2
16 4
x
x +
−
O
N .75
.5 .25
0 1 2 3
Matematika Kelas XI - IPS SMA
176
Contoh 4.1.3 Fungsi Heaviside H didefiniskan oleh:
, untuk 1 , untuk
t H t
t ⎧
= ⎨ ≥
⎩
Fungsi ini dinamai oleh penemunya, seorang insinyur elektrik Oliver Heaviside 1850 1925. Grafiknya diberikan oleh Gambar 4.5.
Gambar 4.5 .ungsi Heaviside
Ketika t mendekati 0 dari arah kiri, Ht mendekati 0, tetapi jika t mendekati 0 dari arah kanan, Ht mendekati 1. Oleh karena itu tidak ada bilangan tunggal yang didekati
oleh Ht ketika t mendekati 0. Dalam situasi seperti ini kita katakan bahwa
lim
t
H t
→
tidak ada. 9
Limit Satu Sisi
Pada Contoh 4.1.3 dijelaskan bahwa Ht mendekati 0 ketika t mendekati 0 dari arah kiri dan Ht mendekati 1 ketika t mendekati 0 dari arah kanan. Seperti disampaikan
pada contoh itu, bahwa
lim
t
H t
→
tidak ada. Namun secara khusus kita dapat mengatakan bahwa:
lim 0
t
H t
−
→
=
dan
lim 1
t
H t
+
→
=
Simbol
t
−
→
menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yang lebih kecil dari 0. Demikian pula,
t
+
→
menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yang lebih besar dari 0. Secara umum kita mempunyai definisi berikut
ini. Definisi 4.2
Limit kiri fN ketika N mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan:
lim
x c
f x L
−
→
=
jika kita dapat membuat fN sembarang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai N cukup dekat ke c, dan N lebih kecil daripada c.
O
N 1
177
BAB IV ~ Limit .ungsi
Jika kita bandingkan Definisi 4.2 dengan Definisi 4.1, perbedaannya adalah bahwa kita syaratkan N harus lebih kecil daripada c. Dengan cara serupa, jika kita syaratkan N
harus lebih besar daripada c, kita peroleh limit kanan dari f x ketika x mendekati c adalah sama dengan L, dan kita notasikan dengan:
lim
N c
f N L
+
→
=
Dengan membandingkan Definisi 4.1 dan definisi limit satu-sisi, kita mempunyai hasil berikut ini.
Teorema 4.1
lim
x c
f x L
→
=
jika dan hanya jika
lim
x c
f x L
−
→
=
dan
lim
x c
f x L
+
→
=
.
Contoh 4.1.4 Misalkan:
3 , untuk 1
3 , untuk 1
N N
f N N
N +
≤ ⎧
= ⎨ − +
⎩
Hitunglah jika ada: a.
1
lim
N
f N
−
→
b.
1
lim
N
f N
+
→
c.
1
lim
N
f N
→
Penyelesaian: a. Jika kita ambil N mendekati 1 dari arah kiri, maka nilai fN dekat ke 4. Oleh karena
itu,
1
lim 4
N
f N
−
→
=
b. Jika kita ambil N mendekati 1 dari arah kanan, maka nilai fN dekat ke 2. Dengan demikian,
1
lim 2
N
f N
+
→
=
c. Dari dua jawaban di atas,
1 1
lim lim
N N
f N f N
− +
→ →
≠
. Menurut Teorema 4.1, kita simpulkan bahwa:
1
lim
N
f N
→
tidak ada
Matematika Kelas XI - IPS SMA
178
Sebagai ilustrasi situasi ini, grafik fungsi f diberikan oleh Gambar 4.6.
Gambar 4.6
Meskipun tampak bahwa nilai f1 = 4, tidak berarti
1
lim 4
N
f N
→
=
. 9
Contoh 4.1.5 Misalkan
21 , untuk 2
5 , untuk 2
N N
f N N
− ≠
⎧ = ⎨
= ⎩
. Tentukan
2
lim
N
f N
→
. Penyelesaian:
Dalam hal ini f2 = 5, tetapi jika
2 N
≠
dan N yang cukup dekat dengan 2, maka nilai fN dekat dengan 3. Jadi,
2
lim 3
N
f N
→
=
Perhatikan ilustrasi grafiknya pada Gambar 4.7.
Gambar 4.7
9
O 5
4 3
1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 N
O = fx
O 5
4 3
1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 N
O = fx
-1
179
BAB IV ~ Limit .ungsi
Dari Contoh 4.1.1 dan juga ilustrasi di awal subbab meskipun akurat, cara menentukan nilai limit fungsi di suatu titik dengan metode tersebut terkesan lamban
dan tidak efisien. Penebakan nilai limit untuk beberapa fungsi dapat dilakukan dengan pemfaktoran. Sebagai ilustrasi, kita perhatikan kembali Contoh 4.1.1 bahwa untuk
2 N
≠
atau
2 0 N
− ≠
, fungsi
2
2 4
f N N
N =
− −
dapat kita sederhanakan menjadi:
2
2 2
1 4
2 2
2 N
N f N
N N
N N
− −
= =
= −
− +
+
Kemudian dengan mengambil N mendekati 2 baik dari kanan ataupun dari kiri, maka nilai fN mendekati 14. Oleh karena itu,
2 2
2 2
2 2 1
1 lim
lim lim
4 2
2 2
4
N N
N
N N
N N
N N
→ →
→
− −
= =
= −
− +
+
1. Jika p adalah sukubanyak, tunjukkan bahwa
lim
x c
p x p a
→
=
. 2. Apa yang salah dengan persamaan berikut?
2
3 10
5 2
x x
x x
+ −
= + −
Kemudian, mengapa persamaan:
2 2
2
3 10
lim lim 5
2
x x
x x
x x
→ →
+ −
= +
−
benar?
1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apakah yang dimasud dengan persamaan
2
lim 7
x
f x
→−
=
. Mungkinkah pernyataan ini benar dan harus
2 7 f
− =
? Jelaskan. 2.
Apakah yang dimaksud dengan mengatakan:
1
lim 5
N
f N
−
→
=
dan
1
lim 4
N
f N
+
→
= −
. Dalam keadaan ini, mungkinkah
1
lim
N
f N
→
ada? Jelaskan.
Tugas Mandiri
Latihan 4.1
Matematika Kelas XI - IPS SMA
180
3. Untuk fungsi yang grafiknya diberikan, nyatakan nilai besaran yang diberikan jika ada.
Jika tidak ada, mengapa? a.
1
lim
N
f N
→
d.
3
lim
N
f N
→
b.
3
lim
N
f N
−
→
e.
3 f
c.
3
lim
N
f N
+
→
Gambar 4.8
4. Untuk fungsi yang grafiknya diberikan, nyatakan nilai besaran yang diberikan jika ada.
Jika tidak ada, mengapa? a.
2
lim
N
f N
→−
d.
2
lim
N
f N
→
b.
2
lim
N
f N
−
→
e.
2 f
−
c.
2
lim
N
f N
+
→
f.
2 f
Gambar 4.9
5. Gambarkan sketsa grafik fungsi f berikut dan gunakanlah untuk menentukan nilai c
sehingga
lim
N c
f N
→
ada.
2
5 , untuk 1
6 , untuk 1
N N
f N N
N ⎧ +
⎪ = ⎨
≥ ⎪⎩
4 2
2 4 O
N
O
N 4
2 -4 - 2 0 2 4
181
BAB IV ~ Limit .ungsi
6. Gunakan kalkulator Jika ada, tentukan setiap limit yang diberikan berikut. Jika tidak
ada, mengapa? a.
2
lim 3 2
N
N
→−
+
c.
2
2 lim
2
N
N
→
+
b.
2 2
lim 21
N
N N
→
+ −
d.
2 1
1 lim
2 2
N
N N
→−
− +
7. Tentukan nilai k sehingga limit yang diberikan ada.
a.
2
lim
N
f N
→
dengan
3 2 , untuk
2 5
, untuk 2
N N
f N N k
N +
≤ ⎧
= ⎨ +
⎩
b.
1
lim
N
f N
→−
dengan
2
3 , untuk 1
, untuk 1
kN N
f N N
k N
− ≤ −
⎧⎪ = ⎨
+ −
⎪⎩
8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukkan
banyaknya ft obat di dalam aliran darah setelah t jam. Tentukan
12
lim
N
f t
−
→
dan
12
lim
N
f t
+
→
, dan jelaskan arti penting limit satu arah ini.
Gambar 4.10
9 .
Perdagangan Seorang pedagang menjual produksinya dalam satuan kilogram. Jika tidak lebih dari 10
kg yang dipesan, ongkos pedagang tersebut adalah Rp10.000,00 per kg. Tetapi untuk mengundang banyak pemesan, pedagang itu menurunkan ongkosnya hanya Rp9.000,00
per kg untuk pembelian di atas 10 kg. Jadi, jika N kg hasil produksinya terjual, maka besarnya jumlah ongkos +N dalam puluhan ribu rupiah untuk pesanan tersebut diberikan oleh:
, untuk 0 10
,9 , untuk 10
N N
+ N N
N ≤ ≤
⎧ = ⎨
⎩
Gambarkan sketsa grafik fungsi +. Kemudian, tentukan
10
lim
N
+ N
−
→
,
10
lim
N
+ N
+
→
, dan
10
lim
x
C x
→
jika ada.
ft 300
150
4 8 12 16 t
Matematika Kelas XI - IPS SMA
182
10. Pengkapalan muatan didasarkan pada aturan bahwa rendahnya tawaran ongkos per kilogram sesuai kenaikan muatannya. Misalkan terdapat muatan yang beratnya N kg dan
+N dalam puluhan ribuan rupiah menyatakan ongkos muatannya, dengan:
,80 , untuk 0
50 ,70
, untuk 50 200
,65 , untuk
200 N
N + N
N N
N N
≤ ⎧
⎪ =
≤ ⎨
⎪ ⎩
a. Gambarkan sketsa grafik fungsi +. b. Hitunglah
50
lim
N
+ N
−
→
dan
50
lim
N
+ N
+
→
serta
200
lim
N
+ N
−
→
dan
200
lim
N
+ N
+
→
.
4.2 Teorema Limit Fungsi Aljabar
