151
BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Fungsi tunggal dalam ilustrasi di atas disebut fungsi komposisi. Operasinya disebut komposisi atau pergandaan fungsi. Komposisi dari g dan f dinotasikan o
g f . Perhatikan bahwa
o g f
adalah pergandaan yang mengerjakan f lebih dulu, baru diteruskan oleh g. Fungsi
o g f
dibaca sebagai fungsi g bundaran f. Dari contoh di atas, kita peroleh:
= =
= =
o o
o o
1 3
2 4
g f r
g f p
g f r
g f r
Penentuan itu dapat pula diperoleh dari f dan g, seperti berikut ini.
= =
= =
= =
= =
= =
= =
o o
o o
1 1
2 2
3 3
4 4
g f g f
g a r
g f g f
g c r
g f g f
g b p
g f g f
g a r
Secara umum komposisi di atas dirumuskan sebagai:
= o
g f x g f x
Gambar 3.25 Komposisi Fungsi
3.6.1 Syarat Agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Jika kita mempunyai dua fungsi, f dan g, apakah keduanya selalu dapat dikomposisikan? Kita perhatikan contoh berikut ini.
Gambar 3.26 A
B C
x fx
gfx
1 2
3 4
a b
c d
A B
→ :
f A B
A B
→ :
g C D
a b
c p
q r
Matematika Kelas XI - IPS SMA
152
Dari dua fungsi, f dan g, kita peroleh f1 = d, tetapi gd tidak ada karena d bukan elemen dari C. Sekarang perhatikan dua fungsi berikut ini.
Gambar 3.27
Dari dua fungsi, f dan g, kita dapat membuat komposisinya karena setiap peta dari elemen A oleh f merupakan elemen dari C daerah asal g.
Dari dua contoh kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa jika kita mempunyai dua fungsi tidak selalu dapat dikomposisikan. Lebih lanjut, dari
contoh kedua kita menyimpulkan hasil berikut ini.
Teorema 3.1 Syarat fungsi g dan f dapat dikomposisikan, atau
o g f
ada, jika daerah hasil dari f adalah himpunan bagian dari daerah asal dari
g, yaitu ⊆
g
f A D .
Misalkan g fungsi genap dan
h f
g = o
, apakah h selalu genap? Misalkan g fungsi ganjil dan
h f
g = o
. Apakah h selalu ganjil? Bagaimana jika f ganjil? Bagaimana jika f genap?
→ :
f A B
→ :
g C D
A B
C D
x y
z a
b c
d a
b c
d p
q r
Tugas Mandiri
153
BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Contoh 3.6.1 Diketahui fungsi f dan g diberikan oleh diagram panah berikut.
Gambar 3.28
Gambarlah diagram panah dari
o g f
. Penyelesaian:
Dari diagram panah di atas, kita peroleh:
= =
= =
= =
= =
= =
= =
o o
o o
1 1
2 2
3 3
4 4
g f g f
g c r
g f g f
g c r
g f g f
g b q
g f g f
g d q
Diagram panah untuk o g f adalah:
Gambar 3.29
W Contoh 3.6.2
Fungsi f dan g dari ¡ ke ¡
dirumuskan oleh: f x = x 3 dan gx = x
2
Tentukan rumus untuk
o g f
.
1 2
3 4
a b
c d
a b
c d
p q
r A
B B
C
f : A B
g : B C
1 2
3 4
p q
r A
C
g f
: A C
Matematika Kelas XI - IPS SMA
154
Penyelesaian: Dengan aturan komposisi,
o g f
x = gf x = gx 3 = x 3
2
= x
2
6x + 9 W
Contoh 3.6.3 Diketahi f dan g dengan himpunan pasangan berurutan berikut.
f = {0, 2, 1, 3, 2, 4} g = {2, 3, 3, 4, 4, 6, 5, 7}
Tentukan
o g f
dan
o g f
2. Penyelesaian:
Dengan menghitung satu per satu,
o g f
= {0,3, 1,4, 2,6} sehingga:
o g f
2 = gf 2 = g4 = 6 W
Contoh 3.6.4 Fungsi f dan g pada ¡ didefinisikan sebagai berikut.
f x = x + 5 dan gx = x
2
+ 3x + 1 Hitung
o g f
2 secara langsung. Penyelesaian:
Dengan cara langsung tanpa melalui rumus
o g f
2 = gf2 = g2 + 5
= g3 = 3
2
+ 33 + 1 = 19 W
Buktikan bahwa operasi komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu jika f, g, dan h sembarang, maka berlaku:
f g
h f
g h =
o o
o o
Tugas Mandiri
155
BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
3.6.2 Menentukan Komponen Fungsi Apabila Aturan Komposisinya Diketahui
