67
BAB II ~ Peluang
Jawaban atas pertanyaan di atas dapat kita ikuti pada uraian berikut ini. Pada putaran akhir ada 4 kemungkinan pengisian posisi ketua, yaitu A, B, C, dan D. Setelah satu dari
mereka terpilih sebagai ketua, posisi sekretaris adalah satu dari tiga anak yang tidak terpilih sebagai ketua. Kemungkinan susunan posisi ketua dan sekretaris dapat dibentuk
diagram pohon berikut.
Gambar 2.2 Diagram Pohon Penentuan Ketua dan Sekretaris OSIS
Dari diagram ini diperoleh 4 × 4 1 = 12 susunan pasangan yang mungkin, yaitu AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, dan DC.
Tidak ada aturan yang pasti untuk menjawab pertanyaan berapa banyak hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Secara umum, untuk menentukan berapa macam
hasil yang mungkin muncul biasanya menggunakan salah satu atau gabungan dari pendekatan-pendekatan: pengisian tempat yang tersedia, permutasi, dan kombinasi.
2.1.1 Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia
Misalkan di pasaran tersedia 4 merk TV. Masing-masing merk menyediakan 3 jenis ukuran layar. Masing-masing TV dikeluarkan dengan 2 macam kualitas
suara, stereo dan mono. Jika seorang pembeli akan membeli TV baru, berapa macam pilihan yang dapat dilakukan olehnya?
Untuk menjawab pertanyaan di atas pembeli menggunakan alur pemikiran berikut ini.
Pertama, ketika memilih merk, terdapat 4 cara untuk memilih merk. Kedua, ketika memillih ukuran layar, terdapat 3 cara untuk memilih ukuran layar.
Ketiga, ketika memilih kualitas suara, terdapat 2 cara untuk memilih kualitas suara.
A
B
C
D B
C D
A C
D A
B D
A B
C
Matematika Kelas XI - IPS SMA
68
Jadi, seluruhnya terdapat 4 × 3 × 2 = 24 cara untuk memilih pasangan merk, ukuran layar, dan kualitas suara. Tanpa menyadari, pembeli itu sebenarnya telah
menggunakan teknik mencacah dengan aturan perkalian. Aturan Perkalian
Jika terdapat n buah tempat tersedia, dengan: k
1
adalah banyak cara mengisi tempat pertama, k
2
adalah banyak cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi, ... dan seterusnya,
k
n
adalah banyak cara mengisi tempat ke-n setelah n 1 tempat- tempat sebelumnya terisi,
maka banyak cara mengisi n tempat yang tersedia itu secara keseluruhan adalah:
k
1
× k
2
× k
3
× ... × k
n
Jika kita perhatikan aturan perkalian di atas, dalam menentukan banyak cara untuk mengisi k tempat yang tersedia menggunakan operasi perkalian dalam
aljabar biasa. Untuk lebih memahami aturan ini kita ikuti contoh aplikasi berikut ini.
Contoh 2.1.1 Ucok ingin bepergian dari kota P ke kota R. Dari kota P ke kota Q dapat ditempuh
melalui 3 jalan, sedangkan dari kota Q ke kota R dapat ditempuh melalui 2 jalan. Berapa banyak cara yang dapat ditempuh Ucok, jika ingin bepergian dari kota P
ke kota R melalui kota Q?
Penyelesaian: Dari kota P ke kota Q, terdapat 3 cara.
Dari kota Q ke kota R, terdapat 2 cara. Dari kota P ke kota R melalui kota Q, terdapat 3 × 2 = 6 cara.
Jadi, banyak cara yang dapat dipilih Ucok untuk bepergian dari kota P ke kota R melalui kota Q adalah 6 cara.
W Contoh 2.1.2
Dari huruf S, O, P, A, dan N akan dibentuk susunan huruf sehingga dalam susunan tersebut tidak ada huruf yang sama. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-
huruf itu, apabila: a. huruf dimulai dengan huruf vokal?
b. huruf pertama dimulai dengan huruf konsonan?
Penyelesaian: a. Huruf pertama dimulai dengan huruf vokal.
Huruf pertama dapat dipilih dengan 2 cara, yaitu huruf O dan A. Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya, jika huruf pertama kita
pilih O, maka huruf kedua dapat kita pilih S, P, A, dan N. Huruf ketiga dapat kita pilih dengan 3 cara.
Huruf keempat dapat kita pilih dengan 2 cara. Huruf kelima dapat kita pilih dengan 1 cara.
69
BAB II ~ Peluang
Seluruhnya terdapat 2 4 3 2 1 48 × × × × =
cara. Jadi, banyak cara untuk menyusun huruf S, O, P, A, dan N dengan huruf
pertama dimulai huruf vokal seluruhnya ada 48 cara. b. Huruf pertama dimulai dengan huruf konsonan.
Huruf pertama dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu huruf S, P, dan N. Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya, jika huruf pertama kita
pilih S, maka huruf kedua dapat kita pilih O, P, A, dan N. Huruf ketiga dapat kita pilih dengan 3 cara.
Huruf keempat dapat kita pilih dengan 2 cara. Huruf kelima dapat kita pilih dengan 1 cara.
Seluruhnya terdapat
2 4 3 2 1 48 × × × × =
cara. Jadi, banyak cara untuk menyusun huruf-huruf S, O, P, A, dan N dengan
huruf pertama dimulai huruf konsonan seluruhnya ada 72 cara. W
Contoh 2.1.3 Panitia penerimaan siswa baru suatu sekolah akan membuat nomor ujian peserta
yang terdiri dari 4 angka, dari angka yang tersedia 1, 2, 3, 4, dan 5. Tetapi panitia menginginkan bahwa nomor ujian tidak diawali dengan angka 1. Berapa banyak
cara untuk menyusun nomor ujian itu menjadi 4 angka, apabila: a.
nomor ujian itu boleh mempunyai angka yang sama? b.
nomor ujian itu tidak boleh mempunyai angka yang sama? Penyelesaian:
a. Nomor ujian itu boleh mempunyai angka yang sama Angka pertama sebagai ribuan dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu angka 2, 3,
4, dan 5 karena disyaratkan angka pertama tidak boleh angka 1. Karena nomor diperbolehkan mempunyai angka yang sama, maka:
angka kedua sebagai ratusan dapat dipilih dengan 5 cara, angka ketiga sebagai puluhan dapat dipilih dengan 5 cara,
angka keempat sebagai satuan dapat dipilih dengan 5 cara. Dengan aturan perkalian, seluruhnya terdapat 4 × 5 × 5 × 5 = 500 cara.
Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 1, 2, 3, 4, dan 5 menjadi 4 angka dengan angka pertama bukan angka 1 adalah 500 cara.
b. Nomor ujian itu tidak boleh mempunyai angka yang sama Angka pertama sebagai ribuan dapat dipilih dengan 4 cara, lihat jawaban
sebelumnya. Angka kedua sebagai ratusan hanya dapat dipilih dengan 4 cara karena nomor
tidak diperbolehkan mempunyai angka yang sama. Misalnya setelah dipilih angka pertama 2, maka angka kedua yang dapat dipilih tinggal 4 angka, yaitu
1, 3, 4, dan 5. Angka ketiga sebagai puluhan dapat dipilih dengan 3 cara.
Angka keempat sebagai satuan dapat dipilih dengan 2 cara. Menurut aturan perkalian, seluruhnya terdapat 4 × 4 × 3 × 2 = 96 cara.
Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 1, 2, 3, 4, dan 5 menjadi 4 angka dengan angka pertama bukan angka 1 dan tidak boleh ada angka yang sama
adalah 96 cara.
W
Matematika Kelas XI - IPS SMA
70
Contoh 2.1.4 Diberikan lima buah angka: 0, 1, 2, 3, dan 4, akan disusun bilangan-bilangan
genap yang terdiri dari tiga angka. Berapa banyak cara untuk menyusun bilangan-bilangan genap yang terdiri tiga angka, apabila:
a. bilangan-bilangan genap itu boleh mempunyai angka yang sama? b. bilangan-bilangan genap tidak boleh mempunyai angka yang sama?
Penyelesaian: Bilangan genap adalah bilangan yang pada posisi satuan adalah bilangan genap.
Dalam hal ini haruslah 0, 2, atau 4. a. Bilangan-bilangan genap boleh mempunyai angka yang sama
Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih dengan 4 cara. Angka 0 tidak dapat dipilih sebagai angka pertama karena 012 sebagai contoh, bukan bilangan
yang terdiri dari tiga angka. Angka kedua sebagai puluhan dapat dipilih dengan 5 cara.
Angka ketiga sebagai satuan dapat dipilih dengan 3 cara. Angka ketiga yang dapat dipilih adalah 0, 2, dan 4.
Angka keempat sebagai satuan dapat dipilih dengan 5 cara. Dengan aturan perkalian, seluruhnya terdapat 4 × 5 × 3 = 60 cara.
Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 0, 1, 2, 3, dan 4 menjadi bilangan genap yang terdiri 3 angka dengan bilangan-bilangan itu boleh mempunyai
angka yang sama adalah 60 cara.
b. Bilangan-bilangan genap tidak boleh mempunyai angka yang sama Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih dengan 4 cara.
Angka kedua sebagai puluhan hanya dapat dipilih dengan 4 cara karena bilangan tidak boleh mempunyai angka yang sama.
Angka ketiga sebagai satuan dapat dipilih dengan 3 cara. Seluruhnya terdapat 4 × 4 × 3 = 48 cara.
Jadi, banyak cara untuk menyusun angka 0, 1, 2, 3, dan 4 menjadi bilangan genap yang terdiri 3 angka dengan bilangan-bilangan itu tidak boleh
mempunyai angka yang sama adalah 48 cara.
W Misalkan, untuk bepergian dari kota P ke kota R kita dapat melewati kota Q
atau melewati kota S dengan berbagai alternatif jalur. Misalkan kita pergi dari kota P ke kota Q mempunyai 3 jalur pilihan, kemudian dari kota Q ke kota R
tersedia 2 jalur pilihan, maka menurut aturan perkalian untuk bepergian dari kota P ke kota R melewati kota Q kita mempunyai 3 × 2 jalur.
Selanjutnya, misalkan kita pergi dari kota P ke kota S tersedia 2 jalur pilihan, kemudian dari kota S kita hanya mempunyai 1 jalur untuk sampai di kota R, maka
banyaknya jalur yang tersedia bagi kita untuk bepergian dari kota P ke kota R melewati kota S adalah 2 × 1 jalur.
71
BAB II ~ Peluang
Lihat Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Diagram Pohon Jalur Perjalanan Dari Kota P ke Kota R
Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa untuk bepergian dari kota P ke kota R kita mempunyai 3×2 + 2×1 = 8 jalur pilihan. Dalam pencacahan
ini kita menggunakan apa yang disebut aturan penjumlahan. Aturan penjumlahan kita gunakan untuk melengkapi aturan perkalian, apabila cara mengisi tempat
kedua setelah tempat pertama terisi tidak dapat kita lakukan menggunakan sesuatu yang sudah digunakan sebagai pilihan untuk mengisi tempat pertama. Secara
umum kita mempunyai aturan penjumlahan berikut ini.
Aturan Penjumlahan Jika terdapat n peristiwa yang saling lepas, dengan:
c
1
adalah banyak cara pada peristiwa pertama, c
2
adalah banyak cara pada peristiwa kedua, ... dan seterusnya, c
n
adalah banyak cara pada pada peristiwa ke-n, maka banyak cara untuk n buah peristiwa secara keseluruhan:
c
1
+ c
2
+ c
3
+ ... + c
n
2.1.2 Permutasi
