221
BAB V ~ Turunan
6. Tentukan turunan pertama dan kedua dari setiap fungsi yang diberikan.
a. f x = x
5
+2x
3
x d.
3 3
2 5
F y y
= +
b. gt = t
3
t
2
+ t e.
2 2
z G z
z −
= +
c.
2
1 h x
x =
+
5.3 Turunan Sebagai Laju Perubahan
Pada subbab 4.2 telah kita kaji bersama bahwa jika y = fx adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain x, maka:
lim
h
f c h f c
h
→
+ −
mendefinisikan besarnya laju perubahan sesaat y terhadap x saat x = c. Tetapi limit ini tidak lain adalah nilai turunan fungsi f di titik c, yaitu
f c
. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa:
f c
menyatakan laju perubahan sesaat dari y = fx di x = c. 5.4
Contoh 5.3.1 Pendapatan kotor tahunan suatu perusahaan selama 1 tahun terhitung mulai 1 Januari
2000 adalah p miliar rupiah, dan
2
2 2
10 5
p t
t =
+ +
. Tentukan:
a. laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tanggal 1 Januari 2002, b. laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tanggal 1 Januari 2006.
Penyelesaian: Menurut 5.4, laju pertumbuhan pendapatan setelah t tahun adalah
dp dt
. a.
Pada tanggal 1 Januari 2002, berarti t = 2. Jadi, kita menghitung
dp dt
apabila t = 2,
dp dt
=
4 5
t + 2 dan
2
8 2
5
t
dp dt
=
⎤ = +
⎥⎦
= 3,6 Jadi, pada tanggal 1 Januari 2002, pendapatan kotor perusahaan tumbuh dengan
laju 3,6 miliar rupiah tiap tahun. b. Pada tanggal 1 Januari 2006, berarti t = 6 sehingga:
6
24 2
5
t
dp dt
=
⎤ =
+ ⎥⎦
= 6,8 Jadi, pada 1 Januari 2006, pendapatan kotor perusahaan tumbuh dengan laju 6,8
miliar rupiah tiap tahun. W
Matematika Kelas XI - IPS SMA
222
Setelah kita memahami apa tafsiran fisis dari turunan di suatu bilangan, maka kita dapat menyelesaikan permasalahan perusahaan tekstil yang diungkapkan pada awal
bab, yang disajikan menjadi contoh berikut. Contoh 5.3.2
Sebuah perusahaan tekstil memperkirakan bahwa biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk kain tertentu adalah:
2 3
450 36 0, 001
C x x
x x
= +
− +
Setelah melakukan survei, perusahaan menetapkan bahwa untuk x yard, harga jual kain tersebut adalah:
60 0, 01 p x
x =
−
juta rupiah untuk tiap yard. Berapakah tingkat produksi perusahaan tersebut untuk memperoleh keuntungan maksimum?
Penyelesaian: Dari keterangan di atas, kita memperoleh fungsi pendapatan adalah:
2
60 0,01
R x xp x
x x
= =
−
dan fungsi keuntungannya adalah:
2 2
3 2
3
[60 0,01 ] [45 0 36
0,001 ] 450 24
0,99 0,001 .
P x R x
C x x
x x x
x x
x x
= −
= −
− +
− +
= − +
+ −
Menurut rumus 5.4, besar laju perubahan keuntungan terhadap banyak yard x adalah
P x
. Kita peroleh bahwa:
2
24 1,98 0,003
P x x
x =
+ −
Jadi, besar laju perubahan keuntungan terhadap x adalah
2
24 1,98 0,003
x x
+ −
. Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam x, sehingga akan mencapai
maksimum ketika
1,98 330
2 2 0,003
b x
a = −
= − =
−
Untuk x = 330 akan memberikan keuntungan sebesar
330 P
=
2 3
450 24330 0,99330 0,001330
− +
+ −
=
72.216
Jadi, pada tingkat produksi x = 330 yard akan memberikan keuntungan yang maksimum kepada perusahaan sebesar 72.216 juta rupiah.
Dalam ekonomi, jika Cx menyatakan biaya total yang dikeluarkan perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu, maka C disebut fungsi biaya. Laju perubahan
sesaat biaya terhadap banyaknya barang yang dihasilkan,
dC dx
, oleh para ekonom disebut biaya marginal.
W Contoh 5.3.3
Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya dalam ribuan rupiah memproduksi x barang adalah:
2
10.000 50,01 C x
x x
= +
+
223
BAB V ~ Turunan
a. Tentukan fungsi biaya marginal. b. Carilah
500 C
dan jelaskan maknanya. Apa yang diperkirakannya? c. Bandingkan
500 C
dengan biaya memproduksi barang ke-501. Penyelesaian:
a. Fungsi biaya marginal adalah:
50,02 dC
C x x
dx =
= +
b. Biaya marginal pada tingkat produksi sebanyak 500 barang adalah:
500 5 0,02500 15 C
= + =
ribubarang. Ini memberikan laju pada saat biaya bertambah besar terhadap tingkat produksi
pada waktu x = 500, dan memperkirakan biaya produksi barang ke-501. c. Biaya memproduksi sebenarnya dari barang ke-501adalah:
C501 C 500 =
2 2
[10.000 5501 0,01501 ] [10.000 5500 0,01500 ] +
+ −
+ +
=
15,01
ribu Tampak bahwa
500 501
500 C
C C
≈ −
. W
1. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 1 Oktober 2003. Pendapatan kotor tahunan
perusahaan itu setelah beroperasi t tahun adalah p juta, dengan: p = 50.000 + 18.000t + 600t
2
a. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 1 Oktober 2005. b. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 1 Oktober 2003.
2. Misalkan jumlah penduduk pada suatu kota setelah t tahun sejak 1 Januari 2000 sebesar
p = 40t
2
+ 200t + 10.000 Tentukan laju pertumbuhan penduduk pada 1 Januari 2010.
3. Seorang pekerja pembuat kartun iklan ditaksir dapat mengecat y buah iklan setelah bekerja
x jam sejak jam 8 pagi, dengan: y = 3x 8x
2
x
3
,
4 x
≤ ≤
a. Tentukan laju pengecatan pekerja itu pada jam 10 pagi. b. Tentukan jumlah bingkai yang dicat antara jam 10 pagi hingga jam 11 pagi.
4. Biaya dalam ribuan rupiah suatu perusahaan memproduksi x pasang sepatu adalah:
2 3
2000 3 0,01
0,0002 C x
x x
x =
+ +
+
a. Carilah fungsi biaya marginal. b. Carilah
100 C
dan jelaskan maknanya. Apa yang diperkirakannya? c. Bandingkan
100 C
dengan biaya memproduksi barang ke-101.
Latihan 5.3
Matematika Kelas XI - IPS SMA
224
5. Fungsi biaya untuk suatu barang tertentu adalah:
2 3
2000 3 0,01
0,0002 C x
x x
x =
+ +
+
a. Carilah dan tafsirkan
100 C
. b. Bandingkan
100 C
dengan biaya memproduksi barang ke-101. 6.
Sebuah perusahaan tekstil memperkirakan bahwa biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk kain tertentu adalah:
2 3
1200 12 0,1
0, 0005 C x
x x
x =
+ −
+
Setelah melakukan survei, perusahaan menetapkan bahwa untuk x yard, harga jual kain tersebut adalah
29 0,00021 p x
x =
−
juta rupiah untuk tiap yard. Berapakah tingkat produksi perusahaan tersebut untuk memperoleh keuntungan maksimum?
5.4 Persamaan Garis Singgung Kurva
