Matematika Kelas XI - IPS SMA
250
6.3 Ekstrim Mutlak pada Interval Tertutup
Pada subbab 6.2 kita telah membahas bahwa syarat perlu fungsi mempunyai ektrim relatif di c dalam daerah asal adalah bahwa c bilangan kritis. Tetapi jika daerah asal B
adalah interval tertutup, maka kita dapat menemukan nilai fungsi terbesar atau terkecil pada interval tersebut. Kita perhatikan ilustrasi fungsi berikut. Misalkan B diberikan
oleh:
2
1 , untuk 1
6 7 , untuk
1 N
N B N
N N
N +
⎧⎪ = ⎨
− +
≥ ⎪⎩
Sketsa grafik B pada interval [4, 4] diberikan oleh Gambar 6.12. Perhatikan bahwa B mempunyai nilai ekstrim relatif di N = 1 dan N = 3 karena 1 dan 3 adalah bilangan kritis B,
dengan: B1 = 2 dan B3 = 2
Kemudian nilai B pada batas interval, B 4 = 3 dan B4 = 1
Jadi, kita peroleh nilai terbesar dari B pada interval [4, 4] adalah 2, dan nilai terkecil dari B pada interval tersebut adalah 3. Nilai ini masing-masing disebut sebagai nilai
maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak dari B pada [4, 4].
Gambar 6.12
Definisi 6.6 Misalkan fungsi B terdefinisi pada interval tertutup dan c anggota interval.
1. Jika B c
B N ≥
untuk semua N dalam interval , maka Bc disebut nilai maksimum mutlak dari B pada interval tersebut.
2. Jika B c
B N ≤
untuk semua N dalam interval , maka Bc disebut nilai minimum mutlak dari B pada interval tersebut.
3. Jika Bc maksimum mutlak atau minimum mutlak, maka Bc disebut nilai ekstrim mutlak dari B.
3 2
1 -1
-2 -3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 O
N
251
BAB VI ~ Nilai Ekstrim .ungsi an Teknik Membuat GraBik .ungsi
Faktanya, fungsi B pada ilustrasi di atas adalah fungsi aljabar dengan daerah asal interval tertutup [4, 4]. Hasil ini berlaku untuk sembarang fungsi aljabar dengan daerah
asal interval tertutup. Teorema 6.7 Teorema Nilai Ekstrim
Jika B fungsi aljabar dengan daerah asal interval tertutup [a, b], maka B mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a, b].
Dari ilustrasi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa kemungkinan ekstrim mutlak dari fungsi aljabar pada interval tertutup terjadi di bilangan kritis atau di batas interval,
sehingga kita mempunyai metode pencarian ekstrim berikut ini.
Metode Interval Tertutup Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi aljabar
B dengan daerah asal interval tertutup [a, b]: 1. Carilah nilai B di bilangan kritis B di dalam a, b.
2. Carilah nilai B di titik batas interval. 3. Bandingkan nilai-nilai pada langkah 1 dan 2, yang terbesar adalah nilai
maksimum mutlak; yang terkecil adalah nilai minimum mutlak Contoh 6.3.1
Diketahui fungsi: BN = N
3
3N
2
pada interval tertutup [1, 4]. Tentukan ekstrim mutlak dari B pada interval tersebut. Penyelesian:
Karena B kontinu pada interval tertutup [1, 4], kita gunakan Metode Interval Tertutup. Kita mempunyai
2
3 6
f x
x x
= −
, dan bilangan kritis terjadi apabila
f x
=
,
B N =
⇔
3NN 2 = 0
⇔
N = 2 atau N = 0 tidak memenuhi karena di luar interval Satu-satunya bilangan kritis untuk B pada interval [1, 4] adalah N = 2. Nilai B di bilangan
kritis ini adalah: B2 = 2
3
32
2
= 4 Nilai B di titik batas interval adalah:
B1 = 1
3
31
2
= 2 dan B4 = 4
3
34
2
= 16 Dengan membandingkan ketiga bilangan ini, kita peroleh nilai maksimum mutlak
adalah B 4 = 16, dan nilai minimum mutlak adalah B 2 = 4. Lihat kembali grafik B pada Gambar 6.11 pada interval [1, 4].
W
Matematika Kelas XI - IPS SMA
252
Contoh 6.3.2 Model pertumbuhan pendapatan dalam jutaan rupiah suatu perusahaan selama 26
bulan, yang mulai beroperasi pada 1 April 2005 mengikuti fungsi:
3 2
0,001302 ,09029
23,61 3,083
P t t
t t
= −
+ −
,
26 t
≤ ≤
Dengan model ini, perkirakan nilai ekstrim mutlak dari laju pertumbuhan pendapatan tersebut.
Penyelesaian: Laju pertumbuhan pendapatan adalah:
2
0,003906 ,18058
23,61 P t
t t
= −
+
Kita terapkan Metode Interval Tertutup terhadap
P
pada interval
126 t
≤ ≤
. Turunannya adalah
0,007812 ,18058
P t t
= −
. Bilangan kritis hanya terjadi ketika
P t =
.
1
,18058 23,12
,007812 t
= ≈
Dengan menghitung P t di bilangan kritis dan di titik ujung, kita peroleh:
P
0 = 23,61
1
21, 52 P t
≈ P
126 = 62,87 Jadi, laju pertumbuhan maksimum kira-kira 62,87 juta rupiah per bulan dan laju
pertumbuhan minimum kira-kira 21,52 juta rupiah per bulan. W
Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 10, tentukan jika ada ekstrim mutlak dari setiap fungsi yang diberikan pada interval yang ditentukan.
1. BN = N
3
+ 5N 4, [3, 1] 6.
2
9 B N
N =
−
, [1, 2] 2.
BN = 2N
3
+ 3N
2
+ 4, [2, 1] 7. BN =
2 N
N +
, [1, 2] 3.
BN = N
4
8N
2
+ 16, [4, 0] 8. BN =
1 2
3 N
N +
−
, [0, 1] 4.
BN = 3N
5
5N
3
1, [2, 2] 9.
2 3
1 B N
N =
+
, [2, 1] 5.
BN =
2
2 B N
N N
= +
, [12, 2] 10.
2 7 , untuk 1
2 2
1 , untuk 2
4 N
N B N
N N
− − ≤ ≤
⎧⎪ = ⎨
− ≤
⎪⎩
Latihan 6.3
253
BAB VI ~ Nilai Ekstrim .ungsi an Teknik Membuat GraBik .ungsi
11. Pada suatu monopoli, persamaan permintaan suatu barang tertentu adalah
140 x
p + =
, dengan N banyaknya satuan barang yang diproduksi setiap hari dan F juta menyatakan
harga setiap satuan. Biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi N satuan diberikan oleh:
2
300 20 + N
N N =
+ +
untuk
[0 ,140]
N ∈
a. Tentukan fungsi keuntungan total. b. Tentukan fungsi pendapatan marginal dan fungsi biaya marginal.
c. Tentukan maksimum keuntungan setiap hari. 12. Misalkan dalam suatu monopoli, persamaan permintaan suatu barang tertentu adalah
1 5
100 F
N =
−
, dengan F juta menyatakan harga N barang dengan
[ 100,1000]
N ∈
. Biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk memproduksi N satuan diberikan oleh
100 2 + N
N =
+
. a. Tentukan fungsi pendapatan marginal dan fungsi biaya marginal.
b. Tentukan nilai N yang menghasilkan keuntungan maksimum.
6.4 Menggambar Grafik Fungsi Aljabar
Kategori