Matematika Kelas XI - IPS SMA
126
Sebuah perusahaan menggunakan dua buah mesin untuk memproduksi
bahan mentah menjadi bahan jadi. Mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan
setengah jadi, dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi.
Kinerja mesin I mengikuti fungsi fx = 3x 2, sedangkan mesin II kinerjanya
mengikuti fungsi gx = 5x + 18, dengan x adalah banyak bahan mentah yang
disediakan. Jika bahan mentah yang tersedia untuk produksi sebanyak 10 kg,
berapa unit barang jadi yang dihasilkan? Sebaliknya, jika proses produksi
menghasilkan 683 unit barang jadi, berapa kg bahan mentah yang harus disediakan? Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, Anda sebaiknya ingat kembali beberapa
konsep tentang himpunan, bentuk pangkat dan akar, persamaan linear, dan persamaan kuadrat. Dengan telah menguasai konsep-konsep ini, maka permasalahan di depan akan dengan
mudah diselesaikan.
3.1 Produk Cartesius dan Relasi
Produk Cartesius
Pasangan bilangan x, y dengan x sebagai urutan pertama dan y sebagai urutan kedua disebut pasangan terurut. Karena urutan diperhatikan, maka pasangan terurut
2, 5 dan 5, 2 memberikan dua makna yang berbeda. Selanjutnya, misalkan diketahui dua himpunan tak kosong, A dan B. Dari dua himpunan ini kita dapat membentuk
himpunan baru C yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan terurut x, y dengan
∈ x
A
sebagai urutan pertama dan
∈ y B
sebagai urutan kedua. Himpunan C yang dibentuk dengan cara ini disebut produk Cartesius atau perkalian Cartesius himpunan
A dan himpunan B, yang disimbolkan dengan A × B. Oleh karena itu, produk Cartesius dapat didefinisikan berikut ini.
Definisi 3.1 Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka produk Cartesius
himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut x, y dengan
∈ x
A
dan
∈ y B
. Ditulis dengan notasi:
{ }
× = ∈
∈ , |
dan A B
x y x A y B
Gambar 3.1
Sumber: www.quantum 5280
Pengantar
127
BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Grafik dari produk Cartesius disebut grafik Cartesius. Ide perkalian himpunan A × B pertama kali diperkenalkan oleh Renatus Cartesius yang nama aslinya adalah
Rene Descartes 1596 1650, matematikawan berkebangsaan Perancis. Contoh 3.1.1
Diberikan himpunan A = {a, b, c} dan B = {1,2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut. a. A × B
b. B × A c. A × A
Penyelesaian: a.
{ }
× = ∈
∈ , |
dan A B
x y x A y B
= {a,1, b,1, c,1, a, 2, b, 2, c, 2}, b.
{ }
× = ∈
∈ , |
dan B A
x y x B y A
= {1, a, 2, a, 1, b,, 2, b, 1, c, 2, c}, c.
{ }
× = ∈
∈ , |
dan A A
x y x A y A
= {a,a, a,b, a,c, b,a, b, b, b, c, c, a, c, b, c, c}. W
Dalam Contoh 3.1.1, himpunan A mempunyai 3 anggota dan himpunan B mempunyai 2 anggota. Dari penyelesaian pertama tampak bahwa produk Cartesius A × B mempunyai
3 × 2 = 6 anggota, yaitu a,1, b,1, c,1, a, 2, b, 2, dan c, 2. Secara umum, jika banyak anggota himpunan A adalah m dan banyak anggota himpunan B adalah n, maka banyak
anggota produk Cartesius A × B adalah m × n.
Relasi Kita perhatikan kembali produk Cartesius dari himpunan A = {a, b, c} dengan
himpunan B = {1,2} pada Contoh 3.1.1 bagian a, yaitu: A × B = {1, a, 2, a, 1, b,, 2, b, 1, c, 2, c}
Dari produk Cartesius A × B ini kita dapat mengambil beberapa himpunan bagian, misalnya:
R
1
= {1, a, 2, a, 1, b,, 1, c, 2, c}, R
2
= {1, b,, 2, b, 1, c, 2, c}, R
3
= {2, a, 1, c}. Himpunan R
1
, R
2
, dan R
3
yang merupakan himpunan bagian dari produk Cartesius
A B ×
, kita katakan sebagai relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B. Dengan pemaparan ini suatu relasi atau hubungan dapat didefinisikan
berikut ini. Definisi 3.2
Suatu relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A × B.
Jika R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dan pasangan terurut x, y adalah anggota R, maka dikatakan x berelasi dengan y, ditulis x R y. Tetapi jika pasangan
x, y bukan anggota R, maka dikatakan x tidak berelasi dengan y, ditulis x R y. Untuk ketiga relasi di atas:
R
1
= {1, a, 2, a, 1, b,, 1, c, 2, c}, 1 R
1
a, 2 R
1
a, 1 R
1
b, 1 R
1
c, dan 2 R
1
c, tetapi 2
1
R
b. R
2
= {1, b,, 2, b, 1, c, 2, c}, 1 R
2
b, 2 R
2
b, 1 R
2
c, dan 2 R
2
c, tetapi 1
2
R
a, dan 2
2
R
a. R
3
= {2, a, 1, c}. 2 R
3
a dan 1 R
3
c, tetapi 1
3
R
a, 1
3
R
b, 2
3
R
b, dan 2
3
R
c.
Matematika Kelas XI - IPS SMA
128
Misalkan R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis sebagai
{ }
= ∈
∈ , |
dan R
x y x A y B
. Himpunan semua ordinat pertama dari pasangan terurut x,y disebut daerah asal atau domain, ditulis dengan D
R
. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain, ditulis dengan K
R
. Himpunan semua ordinat kedua dari pasangan terurut x,y disebut daerah hasil atau range, ditulis dengan R
R
. Sebagai contoh, jika A = {x, y, z} dan B = {1, 2, 3}, dan R adalah relasi dari A ke B yang
diberikan oleh R = {x,1, y, 1, z, 2}, maka: -
daerah asalnya adalah D
R
= {x, y, z} -
daerah kawannya adalah K
R
= {1, 2, 3} -
daerah hasilnya adalah R
R
= {1, 2} Relasi
{ }
, | dan
R x y x A
y B =
∈ ∈
dapat digambarkan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan diagram panah atau grafik pada bidang Cartesius.
Contoh 3.1.2 Misalakan A = {2, 3, 4, 6, 8} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
a. Jika
∈ a A
dan
∈ b B
, tentukan relasi R dari A ke B yang menyatakan relasi a dua kali b.
b. Tunjukkan relasi R dengan diagram panah. c. Tunjukkan relasi R dalam grafik Cartesius.
Penyelesaian: a. Relasi R = {2, 1, 4, 2, 6, 3, 8, 4}
b. Diagram panah untuk R adalah:
Gambar 3.2 Diagram Panah Relasi R
c. Grafik Cartesius dari R adalah:
Gambar 3.3 Grafik Cartesius Relasi R
W
A 2
3 4
6 8
1 2
3 4
5 B
2 3 4 5 6 8 1
2 3
4 5
y
x
129
BAB III ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
1. Misalkan A adalah himpunan dari semua siswa di kelas Anda, dan B = {motor, angkot,
bus, sepeda, jalan kaki}. Buatlah relasi ke sekolah dengan dari himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah.
2. Pilih 10 teman sekelas Anda. Namakan A adalah himpunan yang anggotanya teman-teman
Anda tadi, dan ambil himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }. a. Dengan diagram panah buatlah relasi anak nomor ke dari A ke B.
b. Tulislah relasi itu sebagai pasangan terurut.
3. Setiap relasi berikut adalah relasi dari himpunan A = {1, 2, 3, 4} ke himpunan B = {p, q, r, s}.
Tentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasilnya. a. {1, p, 2, q, 4, r, 4, s}
c. {1, r, 2, r, 4, r, 4, r}
b. {1, q, 2, q, 3, r, 4, s} d.
{1, p, 1, q, 3, r, 3, s} 4.
Misalkan A = {3, 4, 6, 7, 12 } dan B = { 1, 6, 8, 12, 35, 36 }. a. Gambarkan diagram panah dari relasi adalah faktor dari dari himpunan A ke B.
b. Tuliskan relasi itu dalam pasangan terurut. c. Gambarkan grafik Cartesiusnya.
5. Himpunan pasangan terurut dari dua himpunan ditentukan dengan:
{1 ,2, 1,4, 3,6, 5,8, 7,10} Tuliskan anggota kedua himpunan yang dimaksud. Buatlah suatu relasi yang mungkin
dari himpunan pertama ke himpunan kedua. 6.
Suatu relasi R diberikan oleh: {
1 2
,8, 1,4, 2,2, 4,1, 8,
1 2
} a. Tuliskan anggota-anggota dari himpunan pertama dan anggota-anggota himpunan
kedua. Nyatakan suatu relasi yang mungkin dari himpunan pertama ke himpunan kedua.
b. Gambarkan grafik Cartesius relasi R itu, kemudian gambarkan kurva yang melalui titik-titik dari relasi R.
3.2 Fungsi atau Pemetaan
