Matematika Kelas XI - IPS SMA
182
10. Pengkapalan muatan didasarkan pada aturan bahwa rendahnya tawaran ongkos per kilogram sesuai kenaikan muatannya. Misalkan terdapat muatan yang beratnya N kg dan
+N dalam puluhan ribuan rupiah menyatakan ongkos muatannya, dengan:
,80 , untuk 0
50 ,70
, untuk 50 200
,65 , untuk
200 N
N + N
N N
N N
≤ ⎧
⎪ =
≤ ⎨
⎪ ⎩
a. Gambarkan sketsa grafik fungsi +. b. Hitunglah
50
lim
N
+ N
−
→
dan
50
lim
N
+ N
+
→
serta
200
lim
N
+ N
−
→
dan
200
lim
N
+ N
+
→
.
4.2 Teorema Limit Fungsi Aljabar
Pada subbab sebelumya, kita menggunakan kalkulator dan grafik untuk menebak nilai limit, dan adakalanya tebakan kita tidak tepat. Dua metode tersebut terkesan kurang
efisien. Setelah memahami betul konsep tersebut, dalam subbab ini kita akan menggunakan sifat-sifat limit berikut, yang disebut Teorema Limit untuk menghitung
limit fungsi aljabar lebih efisien. Teorema-teorema limit berikut disajikan tanpa bukti karena buktinya menggunakan definisi formal, yang di luar jangkauan buku ini.
Fungsi f disebut fungsi aljabar, jika fungsi tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,
dan penarikan akar yang dimulai dengan suku banyak. Teorema 4.2 Teorema Limit
1.
lim
x c
k k
→
=
, k adalah suatu konstanta 2. lim
x c
x c
→
= 3.
lim
n n
x c
x c
→
=
, n bilangan asli 4. Jika k adalah suatu konstanta, dan
lim
x c
f x
→
dan
lim
x c
g x
→
ada maka:
a.
lim lim
x c
x c
kf x
k f x
→ →
=
b.
lim lim
lim
x c
x c
x c
f g x
f x g x
→ →
→
+ =
+
c.
lim lim lim
x c
x c
x c
fg x f x
g x
→ →
→
= ⋅
d.
lim lim
lim
x c
x c
x c
f x f
x g
g x
→ →
→
=
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ , asalkan
lim
x c
g x
→
≠
e.
lim lim
n n
x c
x c
f x
f x
→ →
=
⎡ ⎤
⎣ ⎦ , untuk n bilangan asli
f.
lim lim
n n
x c
x c
f x f x
→ →
=
, n bilangan asli, dan
lim
x c
f x
→
183
BAB IV ~ Limit .ungsi
Contoh 4.2.1 Hitung limit berikut dan beri alasan tiap langkah.
a.
2 3
lim 8 6
N
N N
→
+ −
b.
3 2
2
lim 3
5
N
N N
N
→−
+ −
c.
3 2
2
2 1
lim 5 3
N
N N
N
→
+ −
−
Penyelesaian: a.
2 3
lim 8 6
N
N N
→
+ −
=
2 3
3 3
lim lim 8 lim 6
N N
N
N N
→ →
→
+ −
Teorema 4.2 bagian 4b =
2 3
3 3
lim 8 lim
lim 6
N N
N
N N
→ →
→
+ −
Teorema 4.2 bagian 4a =
2
3 8 3 6
+ ⋅ −
Teorema 4.2 bagian 2 dan 3 =
2 7
b.
3 2
2
lim 3
5
N
N N
N
→−
+ −
=
3 2
2 2
lim 3 lim
5
N N
N N
N
→− →−
+ ⋅ −
Teorema 4.2 bagian 4c =
3 2
2 2
2 2
lim lim 3
lim 5lim
N N
N N
N N
N
→− →−
→− →−
+ ⋅
−
Teorema 4.2 bagian 4a dan 4b
=
3 2
2 3
2 5 2
− + ⋅ −
− −
Teorema 4.2 bagian 2 dan 3
= 514 = 70 c.
3 2
3 2
2 2
2
lim 21
2 1
15 lim
15 5 3
lim5 3 1
N N
N
N N
N N
N N
→ →
→
+ −
+ −
= =
= − −
− −
Teorema 4.2 bagian 4d 9
Contoh 4.2.2 Tentukan
1
8 1
lim 3
N
N N
→
+ +
. Penyelesaian:
1
8 1
lim 3
N
N N
→
+ +
=
1
8 1
lim 3
N
N N
→
+ +
Teorema 4.2 bagian 4f
=
1 1
lim8 1
lim 3
N N
N N
→ →
+ +
Teorema 4.2 bagian 4d =
8 1 1 3
+ +
=
3 2
9
Matematika Kelas XI - IPS SMA
184
Dalam praktiknya kita sering menjumpai bentuk
lim
N c
f N g N
→
=
, sehingga sifat limit 4d tidak dapat kita terapkan secara langsung karena pembagian dengan bilangan nol
tidak dibenarkan. Limit model ini sering disebut sebagai limit bentuk tak tentu. Cara menghitung limit jenis ini, terlebih dahulu kita sederhanakan atau kita rasionalkan
terlebih dahulu. Berikut ini beberapa contoh yang berkaitan dengan bagaimana menghitung limit dari bentuk tak tentu.
Contoh 4.2.3 Tentukan
2 3
9 lim
3
N
N N
→
− −
. Penyelesaian:
Karena
3
lim 3 0
N
N
→
− =
, maka kita tidak dapat menerapkan sifat limit 4d. Dengan memfaktorkan pembilang, kita peroleh:
2
9 3
3 3
3 N
N N
N N
− −
+ =
− −
Jika
3 N
≠ 3 0
N − ≠
, maka pembilang dan penyebut dapat dibagi dengan
3 N
−
,
2
9 3
3 3
3 3
N N
N N
N N
− −
+ =
= + −
−
Karena dalam menghitung limit kita hanya memperhatikan nilai N di sekitar 3 tetapi tidak sama dengan 3, maka pembagian di sini diperbolehkan. Jadi,
2 3
3
9 lim
lim 3 6
3
N N
N N
N
→ →
− =
+ =
−
9 Contoh 4.2.4
Tentukan
4
2 lim
4
N
N N
→
− −
. Penyelesaian:
Seperti pada Contoh 4.2.3, untuk
4 N
≠
kita peroleh:
2 2
1 4
2 2
2 N
N N
N N
N −
− =
= −
− +
+
Oleh karena itu, dengan menerapkan Teorema 4.2 4d,
4 4
2 1
lim lim
4 2
1 4 2
1 4
N N
N N
N
→ →
= − =
− +
+ =
9
185
BAB IV ~ Limit .ungsi
Contoh 4.2.5 Hitung
2 2
16 4 lim
N
N N
→
+ −
. Penyelesaian:
Kita tidak dapat menerapkan Teorema 4.2 4d secara langsung karena limit penyebut bernilai 0. Di sini pembilang kita rasionalkan lebih dahulu, yaitu menghilangkan tanda
akarnya. Dalam hal ini kita kalikan dengan sekawannya,
2 2
2 2
2 2
16 4 16 4
16 4
16 4
N N
N N
N N
+ −
+ −
+ +
= ×
+ +
2 2
2 2
2 2
2
16 16 16
4 16
4 1
16 4
N N
N N
N N
N +
− =
+ +
= +
+ =
+ +
Jadi,
2 2
2
16 4 1
1 1
lim lim
= 8
16 4
16 4
N N
N N
N
→ →
+ −
= =
+ +
+ +
Hasil ini sesuai dengan tebakan kita dulu pada Contoh 4.1.2. 9
Contoh 4.2.6. Misalkan
2
3 1
f N N
N =
+ −
, hitunglah
lim
h
f N h f N
h
→
+ −
. Penyelesaian:
Karena
h ≠
, maka kita peroleh:
2 2
[ 3
1] [ 3
1] f N h
f N N h
N h N
N h
h + −
+ +
+ − − +
− =
2
2 3
Nh h h
h +
+ =
2 3
N h
= + +
Jadi,
lim lim 2 3
2 3
h h
f N h f N
N h
N h
→ →
+ −
= + +
= +
9
Matematika Kelas XI - IPS SMA
186
Contoh 4.2.7 Misalkan
f N N
=
, hitunglah
2 2
lim
h
f h
f h
→
+ −
. Penyelesaian:
Seperti pada Contoh 4.2.5, pembilangnya kita rasionalkan lebih dahulu. Kemudian, karena
h ≠
,
2 2
2 2
f h
f h
h h
+ −
+ − =
2 2
2 2
2 2
h h
h h
+ − + +
= ⋅
+ + 2 2
2 2 h
h h
+ − =
+ + 1
2 2
h =
+ +
Jadi,
2 2
lim
h
f h
f h
→
+ − 1
1 lim
2 2 2
2
h
h
→
= =
+ +
9
Diskusikan dengan kelompok Anda untuk membahas soal-soal berikut ini. 1. Berikan contoh dua buah fungsi, f dan g, sehingga
lim
x c
f x
→
atau
lim
x c
g x
→
tidak ada, tetapi
lim [ ]
x c
f x g x
→
+
ada. 2. Berikan contoh dua buah fungsi, f dan g, sehingga
lim
x c
f x
→
atau
lim
x c
g x
→
tidak ada, tetapi
→
lim [ ]
N c
f N g N
ada.
1. Diketahui bahwa:
lim 2
N c
f N
→
= − lim 0
N c
g N
→
= lim 16
N c
h N
→
=
Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada, mengapa? a.
lim [ ]
N c
f N h N
→
+
b.
3
lim [ ]
N c
f N
→
Tugas Kelompok
Latihan 4.2
187
BAB IV ~ Limit .ungsi
c.
4
lim
N c
h N
→
e.
lim
N c
f N g N
→
d.
lim
N c
f N h N
→
f.
3 lim
2
N c
f N h N
f N
→
−
2. Tentukan setiap limit yang diberikan dengan menggunakan teorema limit fungsi.
a.
2 3
lim 2 5
N
N N
→
− +
d.
2 4
2 4
1
6 lim
2 3
N
N N
N N
→
⎛ ⎞
+ −
⎜ ⎟
+ +
⎝ ⎠
b.
3 2
2
lim 2
8
N
N N
N
→
+ −
e.
4 2
lim 3
6
t
t t
→−
+ +
c.
2 1
2 1
lim 3
4
N
N N
N
→−
+ −
+
f.
2 4
lim 16
N
N
−
→
−
3. a. Apa yang salah dengan persamaan berikut?
2
3 4
4 1
N N
N N
+ −
= + −
b. Dengan fakta di bagian a, mengapa persamaan:
2 1
1
3 4
lim lim
4 1
N N
N N
N N
→ →
+ −
= +
−
benar? 4.
Hitunglah setiap limit berikut, jika ada. a.
2 5
25 lim
5
t
t t
→−
− +
f.
9 3
lim
N
N N
→
− −
b.
2 3 2
4 9
lim 2
3
N
N N
→−
− +
g.
5
5 lim
4 3
N
N N
→
− + −
c.
2 2
3
5 6
lim 12
N
N N
N N
→−
+ +
− −
h.
2 1
1 2
lim 1
1
N
N N
→
⎛ ⎞
− ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
d.
2 2
2
2 3
2 lim
16 6
O
O O
O O
→−
− −
+ −
i.
4 2
2 2
2 lim
x
x x
x x
→
− −
e.
9
9 lim
3
N
N N
→
− −
j.
3
1 1 lim
t
t t
→
+ −
5. Tentukan
lim
h
f N h f N
h
→
+ −
untuk setiap fungsi yang diberikan. a.
2
3 6 f N
N N
= −
+
d.
2 f N
N =
b.
3
8 f N
N =
−
e.
1 ,
2 2
f N N
N =
≠ − +
c.
1 ,
f N N
N =
≠
6. Tentukan
3 3
lim
h
f h
f h
→
+ −
untuk setiap fungsi f pada soal nomor 5.
Matematika Kelas XI - IPS SMA
188
4.3 Laju Perubahan Pengayaan
