Matematika Kelas XI - IPS SMA
188
4.3 Laju Perubahan Pengayaan
Misalkan O adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain, N, sehingga O adalah fungsi dari N dan dapat kita tuliskan O = fN. Jika N berubah dari
x c
=
sampai x
c h
= + , maka perubahan N adalah:
N c h
c h Δ = +
− =
x Δ
dibaca delta N dan perubahan padanannya adalah:
O f c h
f c Δ =
+ −
Hasil bagi selisih: O
f c h f c
N h
Δ + −
= Δ
disebut rerata laju perubahan y terhadap x sepanjang interval
[ , ]
c c h
+
, dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada Gambar 4.11.
Gambar 4.11 Rerata Laju Perubahan
Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil
[ , ]
c c h
+
, sehingga h mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat y terhadap
x saat x c
= , yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva
y f x
=
di
, P c f c
: Laju perubahan sesaat
lim lim
x h
y f c
h f c
x h
Δ → →
Δ +
− =
= Δ
4.1
Setelah kita memahami apa tafsiran fisis dari limit di atas, kita akan menyelesaikan permasalahan perusahaan handpone yang diungkapkan pada awal bab, yang disajikan
menjadi contoh berikut. Contoh 4.3.1
Sebuah perusahaan handpone memperkirakan bahwa biaya produksi dalam jutaan rupiah untuk model seri tertentu adalah:
2 3
1.200 6 ,3
,001 + N
N N
N =
+ −
+
c c + h N O
Pc, fc Qc + h, fc + h
Δ
N
Δ
O
189
BAB IV ~ Limit .ungsi
dengan N banyak handphone yang diproduksi. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, maka perusahaan harus menekan biaya produksinya. Berapakah tingkat
produksi perusahaan tersebut untuk meminimumkan biaya produksi?
Penyelesaian: Menurut rumus 4.1, besar laju perubahan biaya produksi terhadap banyak N satuan
adalah:
lim lim
h h
+ + N h
+ N N
h
→ →
Δ +
− =
Δ
Kita hitung dulu,
+ − +
+ − +
+ +
− +
− +
= −
− +
+ +
= = −
− +
+ +
2 3
2 3
2 2
2 3
2 2
] [
1.200 6 0,3
,001 ] [1.200 6
,3 ,001
6 ,3
,6 ,003
,003 ,001
6 0,3 ,6
,003 ,003
,001 h
+ N h + N
N h N h
N h N
N N
h h
h Nh
N h Nh
h h
h N
N Nh
h
Dengan demikian,
→ →
→
Δ + −
= Δ
= −
− +
+ +
= − +
2 2
2
lim lim
lim 6 0,3 ,6
,003 ,003
,001 6 0,6
,003
h h
h
+ + N h
+ N N
h h
N N
Nh h
N N
Jadi, besar laju perubahan biaya produksi terhadap N adalah
2
6 0,6 ,003
N N
− +
. Selanjutnya, misalkan:
2
6 0,6 ,003
+ N N
N = −
+ Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam N, sehingga akan mencapai minimum
ketika:
,6 100
2 20,003
N a
− = −
= − =
Ingat pelajaran kelas X. Untuk N = 100 akan memberikan biaya produksi sebesar: =
+ −
+
2 3
100 1.200 6100 0,3100 ,001100
+ = 200.
Jadi, pada tingkat produksi N = 100 satuan akan meminimumkan biaya produksi perusahaan, yang besarnya 200 juta rupiah.
9
1. Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalah
T, dengan:
2
,1400 40 , 0
12 T
t t t
= −
+ ≤ ≤
a. Tentukan rerata laju perubahan dari T terhadap t di antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi. b. Tentukan laju perubahan sesaat T terhadap t pada jam 5 pagi.
Latihan 4.3
Matematika Kelas XI - IPS SMA
190
2. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 14 Februari 2000. Pendapatan kotor tahunan
perusahaan itu setelah t tahun adalah p juta rupiah, dengan
2
50.000 18.000 600
p t t
t =
+ +
. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 14 Februari 2007.
3. Biaya produksi dalam jutaan rupiah N unit komoditas tertentu adalah:
= +
+
2
5.000 10 ,05
+ N N
N a. Tentukan rerata laju perubahan dari + terhadap N ketika tingkat produksi diubah:
i. dari N = 100 sampai N = 105
ii. dari N = 100 sampai N = 101
b. Tentukan laju perubahan sesaat dari + terhadap N untuk N = 100. Ini disebut biaya marginal
4. Fungsi berikut memberikan fungsi biaya pada suatu perusahaan. Jika N menyatakan banyak
barang yang diproduksi untuk setiap fungsi biaya yang diberikan, tentukan tingkat produksi yang meminimumkan biaya, kemudian tentukan biaya produksi pada nilai ini.
a. =
+ +
2
2 5.000 120 ,1
+ N N
N b.
= +
− +
2 3
3.700 5 ,04
,0003 + N
N N
N
4.4 Limit di Tak Hingga Pengayaan
Kategori