Matematika Kelas XI - IPS SMA
26
7. Hasil pengukuran tinggi terhadap 40 siswa SD memberikan ogive positif berikut ini.
Gambar 1.11 Ogive Tinggi Siswa SD
a. Berapakah banyak siswa yang tingginya kurang atau sama dengan 134,5 cm? b. Berapakah banyak siswa yang tingginya lebih dari 143,5 cm?
8. Pariwisata
Jumlah pengunjung suatu tempat pariwisata pada suatu liburan selama seminggu dicatat dalam tabel berikut.
Tabel 1.25
a. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya. b. Pada hari ke berapa jumlah penonton mencapai maksimum dan pada hari ke
berapa jumlah penonton mencapai minimum?
1.4 Ukuran Pemusatan Tendensi Sentral
Misalkan diberikan data umur dari 10 siswa calon paskibraka: 18
16 15
15 17
16 16
17 18
18 Dari kumpulan data mentah di atas, kita belum dapat menafsirkan atau
menyimpulkan apa-apa tentang nilai-nilai data itu. Terdapat tiga nilai statistik yang dapat dipakai untuk menjelaskan tentang kumpulan data tersebut, yaitu rataan, median,
dan modus. Ketiga nilai ini adalah parameter yang dapat digunakan untuk menafsirkan suatu gejala pemusatan nilai-nilai dari kumpulan data yang diamati. Karena alasan
inilah, maka ketiga nilai statistik ini selanjutnya disebut sebagai ukuran pemusatan atau ukuran tendensi sentral.
1.4.1 Rataan Mean
Rataan atau rataan hitung dari suatu kumpulan data didefinisikan sebagai perbandingan jumlah semua nilai data dengan banyak nilai data.
Hari ke- 1
2 3 4
5 6
7 Banyak Pengunjung
250 325
250 375
325 450
220
4 5 4 0
3 5 3 0
2 5 2 0
1 0 1 5
F rek
u en
si Ku
m u
lat if
3 5 3 0
3 9
3 8
1 9 5
4 0
107,5 116,5 125,5 134,5 143,5 152,5 161,5 Hasil Pengukuran
27
BAB I ~ Statistika
Jadi,
= rataan
jumlah semua nilai data yang diamati banyak data yang diambil
Untuk data umur dari 10 siswa calon paskibraka di atas, diperoleh:
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
= =
18 16 15 15 17 16 16 17 18 18 166
rataan 16,6
10 10
Secara umum, untuk kumpulan dari n data,
1 2
3
, ,
, ,
n
x x x x
K
, rataan dinotasikan
x
dibaca: x bar, diberikan oleh rumus:
=
= ∑
+ + + + =
L
1 2
3 1
n i
n i
x x
x x
x x
n n
1.2 dengan:
x : rataan dari kumpulan data
x
i
: nilai data amatan ke-i n
: banyak data yang diamati, atau ukuran data Notasi
∑
dibaca: sigma menyatakan penjumlahan suku-suku. Contoh 1.4.1
Hitunglah rataan dari kumpulan data berikut. 9, 10, 12, 9, 8, 12, 9, 11
Penyelesaian: Banyak data yang diamati adalah n = 8. Dengan menggunakan rumus 1.2,
1 2
3
9 10 12 9 8 12 9 11 8
80 10
8 + + + +
= + + + + + + +
= =
= L
n
x x
x x
x n
Jadi, rataan dari kumpulan data di atas adalah x = 10. W
Contoh 1.4.2 Rataan nilai ujian matematika dari suatu kelas adalah 6,9. Jika dua siswa baru
yang nilainya 4 dan 6 digabungkan dengan kelompok tersebut, maka rataannya menjadi 6,8. Berapa banyaknya siswa kelas semula?
Matematika Kelas XI - IPS SMA
28
Penyelesaian: Misalkan banyak siswa kelas semula adalah n, maka kita peroleh:
1 1
6,9 6,9
n i
n i
i i
x x
n n
= =
∑ =
⇔ =
∑
Simbol ⇔ dibaca jika dan hanya jika. Setelah nilai dua siswa baru digabungkan, maka jumlah siswa sekarang adalah n + 2 dengan nilai rataan 6,8. Dalam hal ini
kita mempunyai persamaan:
= =
= =
+ + ∑
= ⇔
+ =
+ ∑
+ ⇔
+ =
+ ∑
⇔ +
= +
= ∑
⇔ −
= −
⇔ =
⇔ = =
1 1
1 1
4 6 6,8
10 6,8 2
2 10 6,8
13,6 6,9
10 6,8 13,6
substitusi 6,9
6,9 6,8
13,6 10 0,1
3,6 3,6
36 10
n i
n i
i i
n i
i n
i i
x x
n n
x n
n n
x n
n n
n n
Jadi, banyaknya siswa semula adalah 36. W
Kita perhatikan kembali data umur dari 10 siswa calon paskibraka 18
16 15
15 17
16 16
17 18
18 Nilai rataan dari kumpulan data ini adalah:
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
= =
18 16 15 15 17 16 16 17 18 18 10
166 10
16,6 x
Bagian pembilang pada perhitungan di atas dapat kita tuliskan dengan: ×
+ × + ×
+ × =
2 15 3 16 2 17 3 18 166 Formula ini adalah penjumlahan dari perkalian frekuensi dengan nilai data.
Perhatikan Tabel 1.26 berikut.
Tabel 1.26
2 3
2 3
Nilai x
i
Banyak SiswaFrekuensi f
i
15 16
17 18
f
i
· x
i
30 48
34 54
= = ∑
i
f n
10
⋅
= ∑
i i
x
f 166
29
BAB I ~ Statistika
Oleh karena itu, rataan dari suatu tabel distribusi frekuensi tunggal atau terkelompok dapat ditentukan menggunakan rumus:
= =
∑ =
∑
1 1
n i
i i
n i
i
f x x
f
1.3 dengan:
x
i
= nilai data amatan ke-i f
i
= frekuensi untuk nilai data x
i
Contoh 1.4.3 Hitunglah nilai rataan dari data berikut.
Tabel 1.27
Penyelesaian: Kita lengkapi dahulu tabel distribusi frekuensi di atas,
Tabel 1.28
Dengan menggunakan rumus 1.3, kita peroleh:
= =
∑ =
= =
∑
1 1
8.129 73,9
110
n i
i i
n i
i
x f x
f
Jadi, nilai rataan data di atas adalah
x
= 73,9. W
Berikut ini adalah penyelesaian dari masalah yang diberikan di awal bab, yaitu menentukan petani yang memperoleh subsidi pupuk murah dan petani
yang memperoleh kursus teknologi pertanian dari Desa Simpati, yang disederhanakan menjadi contoh berikut.
8 17
47 32
6 Nilai Ujian x
i
Frekuensi f
i
53 61
72 85
94
8 17
47 32
6 Nilai Ujian x
i
Frekuensi f
i
53 61
72 85
94 f
i
· x
i
424 1.037
3.384 2.720
560
= = ∑
i
f n
110
⋅
= ∑
i i
x
f 8.129
Matematika Kelas XI - IPS SMA
30
Contoh 1.4.4 Data berikut adalah data hasil panen padi dalam kuintal dari Desa Simpati.
Petani yang penghasilannya rendah memperoleh subsidi pupuk murah, dan petani yang penghasilannya tinggi memperoleh paket kursus teknologi pertanian.
Tabel 1.29
a. Subsidi pupuk murah diberikan kepada petani yang hasil panennya kurang dari 3,25 kuintal. Berapa banyak petani yang akan memperoleh subsidi pupuk
murah tersebut? b. Kursus teknologi pertanian diberikan kepada 50 tertinggi petani yang hasil
panennya di atas rataan. Berapa hasil panen terendah dari kelompok petani yang memperoleh hibah kursus teknologi pertanian?
Penyelesaian: Kita lengkapi dahulu data di atas,
Tabel 1.30
Nilai rataan adalah
= =
∑ =
= =
∑
1 1
451 4,51
100
n i i
i n
i i
f x x
f
. a. Dari Tabel 1.30, terlihat bahwa petani yang hasil panennya kurang dari dari
3,25 kuintal sebanyak 15 orang. Jadi, petani yang memperoleh subsidi pupuk murah sebanyak 15 orang.
b. Petani yang memperoleh hasil panen di atas 4,51 kuintal adalah 65 orang. Petani yang memperoleh hibah kursus teknologi pertanian sebanyak
× =
≈ 65 50 32,5 33
orang. Karena yang dipilih adalah dari hasil panen tertinggi, maka hasil panen terrendah yang memperoleh hibah kursus
teknologi pertanian adalah 5,55 kuintal. W
15 20
30 25
10 Nilai
Frekuensi f
i
f
i
· x
i
38,25 72
136,5 138,75
65,5
= ∑
100
i
f
⋅
= ∑
451
i i
x
f
2,55 3,55
4,55 5,55
6,55 Titik Tengah x
i
2,1 3,0 3,1 4,0
4,1 5,0 5,1 6,0
6,1 7,0 15
20 30
25 10
Hasil Banyaknya
2,1 3,0 3,1 4,0
4,1 5,0 5,1 6,0
6,1 7,0
31
BAB I ~ Statistika
Menghitung rataan dengan rataan sementara
Terdapat cara lain yang lebih efektif untuk menghitung rataan untuk data terkelompok, yaitu dengan memilih rataan sementara. Dengan cara ini kita tidak perlu
menghitung nilai
i i
f
x
∑
yang pada umumnya nilainya besar. Rataan sementara yang dipilih adalah titik tengah dari sembarang kelas interval. Misalkan
s
x
adalah rataan sementara yang dipilih, dan
i
d
adalah simpangan dari setiap nilai titik tengah terhadap
s
x
, yaitu
i i
s
d x
x = −
. Rataan sebenarnya kita peroleh dengan menjumlahkan rataan sementara dengan simpangan rataan, yaitu:
i i s
i
f d x
x f
∑ =
+ ∑
1.4 Contoh 1.4.5
Tentukan rataan dengan rataan sementara dari data berikut ini.
Tabel 1.31
Penyelesaian: -
Jika kita ambil rataan sementara
42
s
x =
, maka dari data di atas diperoleh: Tabel 1.32
Dalam hal ini,
1
3242 10 d
= −
= −
,
2
37 425 d
= −
= −
,
3
42420 d
= −
=
, dan seterusnya. Dengan demikian,
∑ = +
= +
= ∑
120 4245
40
i i
s i
f d x
x f
2 4
10 16
8 Nilai
Frekuensi f
i
f
i
· d
i
20 20
80 80
= ∑
40
i
f
⋅
= ∑
120
i i
d
f
32 37
42 47
52 Titik Tengah x
i
30 34 35 39
40 44 45 49
50 54 Simpangan d
i
10 5
5 10
2 4
10 16
8 Nilai
Frekuensi f
i
30 34 35 39
40 44 45 49
50 54
Matematika Kelas XI - IPS SMA
32
- Misalkan jika kita ambil rataan sementara
37
s
x =
, maka diperoleh:
Tabel 1.33
320 37
45 40
i i
s i
f d x
x f
∑ = +
= +
= ∑
Kerjakan contoh ini dengan cara sebelumnya, kemudian bandingkan hasilnya. Bagaimana hasilnya, sama?
W
Dengan menggunakan rumus rataan, buktikan bahwa
− =
∑
i
x x
.
1.4.2 Modus
