Matematika Kelas XI - IPS SMA
210
3. Carilah turunan dari setiap fungsi yang diberikan, dan nyatakan daerah asal fungsi dan
daerah asal turunannya. a.
5 8 f x
x =
−
d.
1 1
x f x
x −
= +
b.
3 2
5 f x
x x
x =
− +
e.
3 4
3 x
f x x
− =
−
c.
f x x
x = +
f.
1 3 f x
x =
+
4. Tentukan
dy dx
dari setiap persamaan yang diberikan. a.
2
4 3
y x
x =
+
c.
2 7 y
x =
−
b.
2 3
y x
= −
d.
1 1
y x
= −
5.2 Teorema Turunan Fungsi Aljabar
Dalam bagian sebelumnya kita telah bahas bersama bagaimana proses penurunan diferensiasi fungsi dengan definisi langsung. Akan tetapi proses ini terlalu panjang,
berikut ini akan kita pelajari teorema-teorema yang memberi kemudahan kepada kita untuk diferensiasi.
Teorema 5.1 Jika fungsi fx = k , dengan k adalah konstanta, maka
f x
=
untuk semua x. Bukti:
Langsung dari definisi,
lim
h
f x h f x
f x h
→
+ −
= lim
h
k k h
→
− =
lim 0 0
h →
= =
Jadi, turunan fungsi konstan adalah nol. W
Teorema 5.2 Jika n bilangan asli dan
n
f x x
=
, maka
1 n
f x
nx
−
=
untuk semua x.
211
BAB V ~ Turunan
Bukti: Disini kita perlu menguraikan
2
x h +
dengan menggunakan Teorema Binomial,
lim
h
f x h f x
f x h
→
+ −
= lim
n n
h
x h x
h
→
+ −
=
1 1
2 2 2
+ lim
n n n
n n
n n
h
x nx h
x h
h x
h
− −
− →
+ +
+ −
= K
1 1
2 -1
2
lim
n n n
n n
h
nx x
h h
− −
− →
= +
+ +
K
1 n
nx
−
=
karena semua suku, kecuali yang pertama, mempunyai faktor h dan akibatnya mendekati 0.
W Meskipun tidak dibuktikan di sini, faktanya Teorema 5.2 masih berlaku apabila n
bilangan rasional. Contoh 5.2.1
Tentukan
f x
jika: a. f x = x
7
c.
2
1 f x
x =
e.
2 f x
x =
b. f x = 5x
10
d.
6
4 f x
x =
f.
3 2
f x x
=
Penyelesaian: Dengan Teorema 5.2,
a. f x = x
7
d.
6 6
4 4
f x x
x
−
= =
7 1 6
7 7
f x x
x
−
= =
6 1 7
7
6 4 24
24 f x
x x
x
− − −
= − ⋅ = −
= −
b. f x = 5x
10
e.
1 2
2 2
f x x
x =
=
10 1 9
10 55 f x
x x
−
= ⋅
=
1 1
1 2
2
1 2
1 2
f x x
x x
− −
= ⋅ =
=
c.
2 2
1 f x
x x
−
= =
f.
2 3
2 3
f x x
x =
=
2 1 3
3
2 2
2 f x
x x
x
− − −
= − = −
= −
2 1
1 2
2 3
3 3
3 3
2 3
f x x
x x
− −
= =
=
Matematika Kelas XI - IPS SMA
212
Teorema 5.3 Misalkan u suatu fungsi, k konstanta, dan f fungsi yang didefinisikan oleh
f x = kux. Jika u mempunyai turunan, maka:
f x
ku x =
untuk semua x. Bukti:
Dari Definisi 5.1,
f x
=
lim
h
f x h f x
h
→
+ −
=
lim
h
ku x h ku x
h
→
+ −
=
lim
h
u x h u x
k h
→
+ −
=
lim
h
u x h u x
k h
→
+ −
=
ku x
W Sebagai contoh sederhana, jika fx = 8x
5
, maka:
4 4
58 40
f x x
x = ⋅
=
Teorema 5.4 Misalkan u dan v dua fungsi, dan f fungsi yang didefinisikan oleh
fx = ux + vx. Jika u dan v mempunyai turunan, maka:
f x
u x v x
= +
untuk semua x. Bukti:
f x
=
lim
h
f x h f x
h
→
+ −
=
[ ] [
] lim
h
u x h v x h
u x v x
h
→
+ + +
− +
=
[ ] [
] lim
h
u x h u x
v x h v x
h
→
+ − +
+ −
=
lim
h
u x h u x
h
→
+ −
+
lim
h
v x h v x
h
→
+ −
=
u x v x
+
W
213
BAB V ~ Turunan
Hasil teorema itu dapat diperluas ke sejumlah berhingga fungsi. Khususnya, jika fungsi itu adalah sukubanyak, maka kita tinggal menurunkan masing-masing sukunya.
Contoh 5.2.2 Tentukan
f x
, jika fx = 7x
5
3x
4
8x
2
+ 5. Penyelesaian:
Sebagai akibat dari Teorema 5.4,
f x
= 7 · 5x
4
3 · 4x
3
8 · 2x + 0 = 35x
4
12x
3
16x W
Contoh 5.2.3 Tentukan
f x
, jika: a. fx = x
2
2
2
f x = x
2
+ 3x +
2
1 x
Penyelesaian: a. fx = x
2
2
2
= x
4
4x
2
+ 4, sehingga:
f x
= 4x
3
4 · 2x + 0 = 4x
3
8x b. Fungsi dapat dituliskan dengan fx = x
2
+ 3x + x
2
, maka:
f x
= 2x + 3 + 2x
3
= 2x + 3
3
2 x
W Contoh 5.2.4
Tentukan
2 f
, jika fx =
3
3 x
+
3
3 x
. Penyelesaian:
Kita tuliskan fx =
3
3 x
+
3
3x
−
, sehingga:
f x
=
−
⋅ + − ⋅
1 2
4 3
3 3 3
x x
=
2 4
9 x
x
−
−
=
2 4
9 x
x −
Jadi,
2 4
9 9
5 5
2 2 4
2 16
16 f
= −
= − =
. W
Teorema 5.5 Misalkan u dan v dua fungsi, dan f fungsi yang didefinisikan oleh f x = ux·vx.
Jika u dan v mempunyai turunan, maka:
f x u x v x
u x v x =
+
untuk semua x.
Matematika Kelas XI - IPS SMA
214
Bukti: Karena v mempunyai turunan di x, maka berakibat:
lim
h
v x h v x
→
+ =
Akibatnya,
f x
=
lim
h
f x h f x
h
→
+ −
=
lim
h
u x h v x h u x v x
h
→
+ + −
=
lim
h
u x h v x h u x v x h
u x v x h u x v x
h
→
+ + −
+ + + −
=
lim
h
u x h u x
v x h v x
v x h u x
h h
→
+ − + −
⎛ ⎞
⋅ + +
⋅ ⎜
⎟ ⎝
⎠
=
u x v x u x v x
+
W Contoh 5.2.5
Tentukan
f x
, jika fx = 2x
3
4x
2
x
5
+ 3x
2
. Penyelesaian:
Dalam hal ini, fx = uxvx, dengan ux = 2x
3
4x
2
dan vx = x
5
+ 3x
2
ux = 2x
3
4x
2
→
2
6 8
u x x
x =
−
vx = x
5
+ 3x
2
→
4
5 6
v x x
x =
+
Jadi,
f x u x v x
u x v x =
+
=
2
6 8
x x
−
x
5
+ 3x
2
+ 2x
3
4x
2
4
5 6
x x
+
= 6x
7
8x
6
+ 18x
4
24x
3
+ 10x
7
20x
6
+12x
4
24x
3
= 16x
7
28x
6
+30x
4
48x
3
W Contoh 5.2.6
Tentukan
y
, jika y = x
4
x
2
2x + 3. Penyelesaian:
y = x
4
x
2
2x + 3
⇒
u = x
4
x
2
→
3
4 2
u x
x =
−
v = 2x + 3
→
v = 2
215
BAB V ~ Turunan
Jadi,
y
= +
u v uv =
4x
3
2x 2x + 3 + x
4
x
2
2 =
8x
4
4x
2
+ 12x
3
6x + 2x
4
2x
2
= 10x
4
+ 12x
3
6x
2
6x W
Teorema 5.6 Misalkan u dan v dua fungsi, dan f fungsi yang didefinisikan oleh
u x f x
v x =
,
v x ≠
. Jika u dan v mempunyai turunan, maka:
2
u x v x u x v x
f x v x
− =
untuk semua x. Bukti:
Karena v mempunyai turunan di x dan
v x ≠
, maka berlaku:
1 1
lim
h
v x h v x
→
= +
Dari definisi turunan di x,
f x
=
lim
h
f x h f x
h
→
+ −
=
lim
h
u x h u x
v x h v x
h
→
+ −
+
=
lim
h
u x h v x u x v x h
hv x h v x
→
+ −
+ +
=
lim
h
u x h v x u x v x
u x v x u x v x h
hv x h v x
→
+ −
+ −
+ +
=
lim
h
u x h u x
v x u x
v x h v x
h v x h v x
v x h v x h
→
⎛ ⎞
+ − + −
⋅ −
⋅ ⎜
⎟ +
+ ⎝
⎠
=
2 2
v x u x
u x v x
v x v x
−
=
2
u x v x u x v x
v x −
W
Matematika Kelas XI - IPS SMA
216
Contoh 5.2.7 Tentukan
f x
untuk
2
2 1
5 x
f x x
+ =
+
. Penyelesaian:
2
2 1
5 x
f x x
+ =
+
⇒
ux = 2x
2
+ 1
→
4 u x
x =
vx = x + 5
→
1 v x
=
Jadi,
f x
=
2
u x v x u x v x
v x −
=
2 2
4 5 2
11 5
x x x
x + −
+ +
=
2 2
2 20
1 5
x x
x +
− +
W Contoh 5.2.8
Tentukan y
untuk
2 2
2 5
6 + 4
x x
y x
+ −
=
. Penyelesaian:
2 2
2 5
6 + 4
x x
y x
+ −
=
⇒
2 2
2 5
6 4
5 u
x x
u x
= +
− → =
+
2
4 2
v x v
x =
+ → =
2
u v uv y
v −
=
=
2 2
2 2
4 5
4 2 5
62 4
x x
x x
x x
+ + −
+ −
+
=
3 2
2 2
2 2
4 516
20 4 10
12 4
x x
x x
x x
x +
+ +
− +
+
=
2 2
2
528 20
4 x
x x
− +
+ +
W Selanjutnya, jika kita mempunyai fungsi:
2 3
5 1 f x
x =
+
maka kita dapat memperoleh
f x
dengan menerapkan Teorema 5.5 dua kali, yaitu dengan menuliskan lebih dulu
2 2
2
51 51 f x
x x
= +
+
.
217
BAB V ~ Turunan
Perhitungannya sebagai berikut.
f x
2 2
2 2
2 2
51 51 51
[5151]
x x
x D
x x
D x
x =
+ ⋅
+ + + ⋅
+ +
2 2
2 2
2
51 10 51[5110 5110 ] x
x x
x x
x x
= +
+ +
+ +
+
2 2
2 2
51 10 51[25110 ] x
x x
x x
= +
+ +
+
2 2
2 2
51 10 2[51 10 ] x
x x
x =
+ +
+
Jadi,
2 2
351 10 f x
x x
= +
5.3 Dari ilustrasi di atas, jika kita ambil
3
u x x
=
dan
2
5 1 v x
x =
+
, maka f adalah fungsi komposisi
u v o
, sehingga:
f x u v x
=
2
51 u x
= +
2 3
51 x
= +
Karena
2
3 u x
x =
dan 10
v x x
= , kita dapat menuliskan 5.3 dalam bentuk:
f x u v x v x
=
Secara umum, hasil ini benar untuk sembarang komposisi dua fungsi yang mempunyai turunan. Aturan diferensiasi seperti ini sering kita kenal dengan aturan
rantai. Teorema 5.7 Aturan Rantai
Jika fungsi v mempunyai turunan di x dan u mempunyai turunan di vx, maka fungsi komposisi u v
o mempunyai turunan di x, dan
u v x u v x v x
= o
untuk semua x.
Contoh 5.2.9 Tentukan
f x
apabila
5
2 1
f x x
= +
. Penyelesaian:
Fungsi f dapat kita anggap sebagai komposisi fungsi dari u dan v,
5
2 1
f x x
= +
=
u v x u v x
= o
dengan ux = x
5
dan
2 1
v x x
= +
. Dengan aturan rantai,
f x
=
u v x u v x v x
= o
= 5
4
2 1
x +
· 2x = 10x
4
2 1
x +
W
Matematika Kelas XI - IPS SMA
218
Contoh 5.2.10 Tentukan
3
2 1
3 1
d x
dx x
⎡ ⎤
+ ⎛
⎞ ⎢
⎥ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⎣ ⎦
. Penyelesaian:
Dari aturan rantai,
3
2 1
3 1
d x
dx x
⎡ ⎤
+ ⎛
⎞ ⎢
⎥ ⎜
⎟ −
⎝ ⎠
⎣ ⎦
=
2
2 1
2 1
3 3
1 3
1 x
d x
x dx
x +
+ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠ ⎝
⎠
=
2 2
2 1
23 1 2
13 3
3 1
3 1
x x
x x
x +
− − +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
=
2 4
32 1 5
3 1
x x
+ −
−
=
2 4
152 1
3 1
x x
+ −
−
W
1. Carilah
h
dalam bentuk
f
dan
g
dari
f x g x h x
f x g x
= +
dan
2
3 h x
f g x
=
. 2. Carilah konstanta a, b, dan c sehingga fungsi
2
y ax
bx c
= +
+
memenuhi persamaan diferensial
2
2 y
y y
x + −
=
.
Turunan Tingkat Tinggi
Jika
f
adalah turunan fungsi f, maka
f
juga merupakan fungsi. Fungsi
f
adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari
f
ada, turunan ini disebut turunan kedua dari f, dinotasikan dengan
f
atau
y
atau
2
d f dx
atau
2 2
d y dx
. Dengan cara yang sama, turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari
f
, dan dinotasikan dengan
f
atau
y
atau
3 3
d f dx
atau
3 3
d y dx
.
Tugas Mandiri
219
BAB V ~ Turunan
Secara umum, turunan ke-n dari fungsi f, ditulis
n
f
, adalah turunan pertama dari turunan ke-n 1 dari f, dengan n bilangan asli yang lebih besar dari 1. Simbol lain
untuk turunan ke-n dari f adalah:
[ ]
n n
d f x
dx
dan
[ ]
n x
D f x
Contoh 5.2.11 Tentukan semua turunan dari fungsi f yang diberikan oleh:
f x = 5x
4
+ 4x
3
x
2
+ 9 Penyelesaian:
f x
= 20x
3
+ 12x
2
2x
f x
= 60x
2
+ 24x 2
f x
= 120x + 24
4
f x
= 120
n
f x
=
0, 5
n ≥
Misalkan
F x f x g x
=
, dengan f dang g fungsi yang mempunyai turunan. a. Perlihatkan bahwa
2 F
f g f g
fg =
+ +
. b. Carilah rumus untuk
F
dan
4
F
. c. Kemudian tebak rumus untuk
n
F
.
1. Tentukan
f x
untuk setiap fungsi yang diberikan. a. fx = 4x
4
+ 4x
2
+ 1 f.
fx = 3x
2
+ 4
2
b. fx = 1 2x x
3
g. fx = 2x
2
+ 35x 8 c. fx = x
7
4x
5
+ 2x
3
+ 7x h.
fx = 5x
4
32x
3
+ 6x d. fx = x
2
+ 3x +
2
1 x
i. fx = x
3
2x +33x
2
+ 2x e. fx = x
4
7 + x
2
+ x
4
j. fx =
3 2
9 x
Tugas Kelompok
Latihan 5.2
Matematika Kelas XI - IPS SMA
220
k. fx =
2 5
x x
+
n.
2 2
2 1
2 1
x x
f x x
x −
+ =
+ +
l.
2 1
3 3
3 f x
x x
−
= −
o.
3 3
8 8
x f x
x +
= −
m.
2 4
x f x
x =
+
2. Tentukan
dy dx
untuk setiap fungsi y yang diberikan. a. y = x
2
+ 3x +22x
3
1 d.
2
4 3 2
x x y
x −
− =
−
g.
2 2
2 2
x a
y x
a −
= +
b.
2 x
y x
= −
e.
2
2 1 5
x y
x =
+
h.
2 1
3 1
3 4
x y
x x
+ =
− +
c.
2 1
3 4
x y
x +
= +
f.
4 2
4
2 5
1 x
x x
y x
− +
+ =
i.
3 2
3
1 1
3 x
y x
x +
= +
+
3. Tentukan turunan untuk setiap fungsi yang diberikan.
a. fx = 2x + 1
5
e. Gx = x
3
3x
2
+ 1
3
i.
1 3
2
5 2 h x
x
−
= −
b. gx = x
2
+ 4x 5
4
f.
2
1 4 H x
x =
+
j.
2 5
3 1
s F s
s −
= +
c. ht = 2t
4
7t
3
+ 2t 1
2
g.
2
1 3 f t
t =
−
k.
5 6
5 4
x G x
x +
= −
d. Fz = z
2
+ 4
2
28 h.
2 3
5 3 g x
x =
−
l.
1 1
x H x
x −
= +
4. Tentukan turunan untuk setiap fungsi yang diberikan.
a.
2 2
3 4
[4 7 2
1 ] d
x x
dx +
+
d.
3 2
2
5 3
d z
z dz
− ⋅ +
b.
2 3
2
[3 5 3
1 ] d
u u
du +
−
e.
2
7 2
d t
dt t
⎡ ⎤
− ⎛
⎞ ⎢
⎥ ⎜
⎟ +
⎝ ⎠
⎣ ⎦
c.
2
1 d
x dx
x ⎛
⎞ −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
f.
2 2
3
2 1
3 1
y d
dy y
⎡ ⎤
⎛ ⎞
+ ⎢
⎥ ⎜
⎟ +
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
5. Tentukan turunan untuk setiap fungsi yang diberikan.
a.
3 2
2 1
3 2
x f x
x x
− ⎛
⎞ = ⎜
⎟ + −
⎝ ⎠
b.
2 3
2
3 58
x g x
x +
= −
c.
2
4 6
3 4
x h x
x x
+ =
+ +
221
BAB V ~ Turunan
6. Tentukan turunan pertama dan kedua dari setiap fungsi yang diberikan.
a. f x = x
5
+2x
3
x d.
3 3
2 5
F y y
= +
b. gt = t
3
t
2
+ t e.
2 2
z G z
z −
= +
c.
2
1 h x
x =
+
5.3 Turunan Sebagai Laju Perubahan
