Jadi, pendugaan terbaik untuk adalah
dan galatnya adalah 3.3.1.1
Penjelasan yang sama menunjukkan bahwa galat dalam selisih dinyatakan oleh rumus yang sama pada persamaan 3.3.1.1. Artinya, galat,
baik dalam jumlah atau selisih
adalah penjumlahan dari galat dalam
dan .
Jadi, jika beberapa besaran yang diukur dengan galat
, dan nilai hasil pengukurannya digunakan untuk menghitung
maka galat dalam nilai hasil penghitungan dari adalah jumlah
3.3.1.2 dari semua galat aslinya. Dengan kata lain, jika bilangan dari sebuah besaran
dijumlah atau dikurangi, galat pada besaran tersebut selalu dijumlahkan. Seperti sebelumnya, digunakan tanda
untuk menekankan bahwa rumus ini hanyalah pendekatan.
Contoh 3.3.1.1
Andaikan peneliti mencampur cairan dalam dua labu elenmeyer, kemudian mengukur masing-masing massanya ketika penuh dan kosong, sebagai berikut
massa labu elenmeyer pertama dan isinya
gram 10
540
, massa labu elenmeyer pertama kosong
gram 1
72
, y
x q
,
terbaik terbaik
terbaik
y x
q
. y
x q
y x
y x
y
x
y x
x
y w
x ,...,
w x
,...,
, ...
... w
u z
x q
q ,
... ...
w u
z x
q
1
M
1
m
massa labu elenmeyer kedua dan isinya
gram 20
940
, massa labu elenmeyer kedua kosong
gram 1
97
. Peneliti sekarang menghitung massa total cairan, yaitu
Berdasarkan persamaan 3.3.1.2, galat pada jawaban ini adalah jumlah dari keempat galat, yaitu
Berdasarkan prinsip angka penting pada BAB II, maka penulisan jawaban akhirnya adalah
massa total cairan
gram. 30
310 .
1
Perhatikan bahwa begitu kecilnya galat pada massa dari labu elenmeyer kosong sehingga dapat diabaikan pada galat akhirnya. Seringkali, hal ini dapat
menyederhanakan perhitungan galat.
2. Perkalian dan Pembagian
Pada Contoh 2.5.9.1 telah dibahas tentang galat dalam perkalian dua besaran yang diukur yaitu
. Terlihat bahwa galat fraksional dalam adalah jumlahan dari galat fraksional di
dan . Jika besaran yang
diukur adalah dan
, maka dengan aturan yang sama pembahasan tentang
2
M
2
m
pl L
pl
L
p
l x
y
. 32
1 20
1 10
2 2
1 1
gram gram
m M
m M
M
.
311 .
1 97
940 72
540
2 2
1 1
gram gram
m M
m M
M
galat dalam pembagian dua besaran yang diukur yaitu akan menjadi
serupa dengan galat dalam perkalian. Galat fraksional dalam adalah
jumlahan dari galat fraksional di dan
y
. Karena galat dalam perkalian dan pembagian yang terbaik dinyatakan
dalam galat fraksional, maka penyederhanaan notasi untuk pembahasan selanjutnya akan lebih membantu. Ingat bahwa jika diukur beberapa besaran
yaitu
maka galat fraksional di
Nilai mutlak dalam penyebut memastikan bahwa galat fraksional selalu positif, bahkan ketika
negatif. Untuk memudahkan pembacaan, simbol diganti dengan
sehingga galat fraksional di
Hasil pengukuran setiap besaran dapat dinyatakan dalam kaitan dengan
galat fraksionalnya yaitu
Oleh karena itu, nilai dapat ditulis sebagai
y x
q
y x
q
x
x
, x
x x
terbaik
x .
terbaik
x x
terbaik
x
terbaik
x
x
x .
x x
x
. 1
x x
x x
y x
q
Masalahnya sekarang adalah mencari nilai-nilai kemungkinan ekstrim dari dan
. Nilai-nilai ini akan menjadi nilai terbesar jika pembilang
mempunyai nilai terbesar, yaitu , dan penyebut mempunyai nilai
terkecil, yaitu . Jadi,
nilai terbesar dari 3.3.2.1
Unsur terakhir pada persamaan 3.3.2.1 mempunyai bentuk ,
dimana angka dan
biasanya kecil kurang dari 1. Hal ini dapat disederhanakan dengan dua pendekatan. Pertama, karena
kecil, teorema binomial menyiratkan bahwa
3.3.2.2 Teori binomial menyatakan
1 1
− ܾ .
1 1
y
y x
x y
x q
1 x
x
1
y y
1 x
x
1 y
y
q
.
1 1
y y
x x
y x
1 1
b a
a b
b
. 1
1 1
b b
sebagai deret tak hingga 1 +
ܾ + ܾ
ଶ
+ ⋯.
Jika ܾ sangat kecil daripada 1, maka
seperti pada persamaan 3.3.2.2. Oleh karena itu,
dimana, di baris kedua, yaitu hasil kali telah diabaikan karena keduanya
adalah besaran dengan nilai yang kecil. Kembali ke 3.3.2.1 dan menggunakan pendekatan ini, maka akan didapat
nilai terbesar dari
Perhitungan yang sama menunjukkan bahwa nilai kemungkinan terkecil ditunjukkan oleh rumus yang sama, sehingga
nilai terkecil dari
Penggabungan keduanya menjadi
Bandingkan persamaan ini dengan bentuk standar,
b b
1
1 1
, 1
1 1
1 1
1 b
a ab
b a
b a
b a
ab
q .
1
y y
x x
y x
q .
1
y y
x x
y x
. 1
y
y x
x y
x q