Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak
F. Kovariansi pada Perambatan Galat
Standar deviasi ߪ
௫
dari ܰ pengukuran ݔ
ଵ
, … , ݔ
ே
didefinisikan sebagai ߪ
௫ ଶ
= 1
ܰ ݔ
− ݔҧ
ଶ
.
ே ୀଵ
3.6.1
Andaikan bahwa untuk mencari nilai fungsi ݍݔ, ݕ, diukur dua besaran ݔ
dan ݕ
beberapa kali,
kemudian diperoleh
ܰ pasangan
data, ݔ
ଵ
, ݕ
ଵ
, … , ݔ
ே
, ݕ
ே
dari ܰ pengukuran ݔ
ଵ
, … , ݔ
ே
, dapat dihitung rata-rata, ݔҧ dan
standar deviasi, ߪ
௫
, begitu juga dengan pengukuran ݕ
ଵ
, … , ݕ
ே
, dapat dihitung ݕത
dan ߪ
௬
. Kemudian dengan menggunakan ܰ pasang pengukuran, dapat dihitung ܰ
nilai besaran hasilnya, yaitu ݍ
= ݍݔ
, ݕ
, ݅ = 1, … , ܰ.
Dari hasil ݍ
ଵ
, … , ݍ
ே
, dapat dihitung nilai rata-ratanya, ݍത, yang diasumsikan
memberikan pendugaan terbaik untuk ݍ, dan standar deviasinya, ߪ
, yang merupakan ukuran galat acak pada nilai
ݍ
. Andaikan bahwa semua galat adalah kecil dan oleh karena itu semua
bilangan ݔ
ଵ
, … , ݔ
ே
dekat dengan ݔҧ dan semua bilangan ݕ
ଵ
, … , ݕ
ே
dekat dengan ݕത,
kemudian dapat dibuat pendekatan berikut ini ݍ
= ݍݔ
, ݕ
≈ ݍݔ,ഥ ݕത + ߲ݍ
߲ݔ ݔ
− ݔҧ + ߲ݍ
߲ݕ ݕ
− ݕത. 3.6.2
Pada rumus ini, turunan parsial
x q
dan y
q
digunakan pada
ݔ = ݔҧ, ݕ = ݕത,
dan berlaku sama untuk semua ݅ = 1, … , ܰ. Dengan pendekatan ini, rata-ratanya
menjadi
ݍത = 1
ܰ ݍ
ே
ୀଵ
= 1
ܰ ݍ ݔҧ, ݕത +
߲ݍ ߲ݔ
ݔ
− ݔҧ + ߲ݍ
߲ݕ ݕ
− ݕത൨
ே ୀଵ
.
Persamaan ini menjadikan ݍത sebagai jumlahan dari tiga suku. Suku yang
pertama adalah ݍݔҧ, ݕത, dan dua yang lainnya adalah nol. Contohnya, seperti pada
definisi ݔҧ bahwa
x x
i
. Maka hasilnya adalah ݍത = ݍݔҧ, ݕത
3.6.3 yang artinya, untuk mencari rata-rata
ݍത, hanya menghitung fungsi ݍݔ, ݕ pada ݔ = ݔҧ dan ݕ = ݕത.
Standar deviasinya ߪ
ଶ
= 1
ܰ ݍ
− ݍത
ଶ ே
ୀଵ
.
Dengan mensubstitusikan 3.6.2 dan 3.6.3, didapatkan ߪ
ଶ
= 1
ܰ ߲ݍ
߲ݔ ݔ
− ݔҧ + ߲ݍ
߲ݕ ݕ
− ݕത൨
ଶ ே
ୀଵ
= ൬
߲ݍ ߲ݔ൰
ଶ
1 ܰ
ݔ
− ݔҧ
ଶ
+ ൬
߲ݍ ߲ݕ൰
ଶ
1 ܰ
ݕ
− ݕത
ଶ ே
ୀଵ
+2 ߲ݍ
߲ݔ ߲ݍ
߲ݕ 1
ܰ ݔ
− ݔҧݕ
− ݕത. 3.6.4
ே ୀଵ
Jumlahan pada dua suku yang pertama adalah yang muncul pada definisi standar deviasi
ߪ
௫
dan ߪ
௬
. Jumlahan terakhir dinamakan kovariansi dari ݔ dan ݕ dan
dinotasikan
ߪ
௫௬
= 1
ܰ ݔ
− ݔҧݕ
− ݕത.
ே ୀଵ
3.6.5
Nama kovariansi untuk ߪ
௫௬
yang digunakan untuk dua variabel yaitu ݔ dan ݕ
sejajar dengan nama variansi untuk ߪ
௫ ଶ
yang digunakan untuk satu variabel ݔ.
Dengan definisi ini, persamaan 3.6.5 untuk standar deviasi ߪ
menjadi
xy y
x q
y q
x q
y q
x q
2
2 2
2 2
2
. 3.6.6
Jika pengukuran ݔ dan ݕ independen, maka akan dengan mudah terlihat
bahwa setelah beberapa kali pengukuran, kovariansi ߪ
௫௬
harus mendekati nol. Untuk sebarang nilai
ݕ
, besaran ݔ
− ݔҧ mungkin sekali menjadi negatif daripada menjadi positif. Jadi, setelah beberapa kali pengukuran, suku positif dan negatif
yang ada pada persamaan 3.6.4 haruslah seimbang; pada limit tak hingga banyaknya pengukuran,
ଵ ே
pada persamaan 3.6.5 menjamin bahwa ߪ
௫௬
adalah nol. Sesudah bilangan berhingga dari pengukuran,
ߪ
௫௬
tidak akan tepat nol, tetapi haruslah kecil jika galat pada
ݔ dan ݕ benar-benar independen dan acak. Dengan ߪ
௫௬
adalah nol, persamaan 3.6.6 untuk ߪ
menjadi ߪ
ଶ
= ൬
߲ݍ ݔ ൰
ଶ
ߪ
௫ ଶ
+ ൬
߲ݍ ߲ݕ൰
ଶ
ߪ
௬ ଶ
, 3.6.7
yang merupakan hasil yang familiar untuk galat independen dan acak. Kondisi-kondisi yang dapat terjadi adalah:
a. Jika pengukuran ݔ dan ݕ tidak independen, kovariansi
xy
tidak perlu nol.
Sebagai contoh, jika dugaan nilai ݔ berlebihan dan disertai dengan dugaan nilai
ݕ yang berlebihan, atau sebaliknya, bilangan ݔ
− ݔҧ dan ݕ
− ݕത akan selalu