Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak

F. Kovariansi pada Perambatan Galat Standar deviasi ߪ ௫ dari ܰ pengukuran ݔ ଵ , … , ݔ ே didefinisikan sebagai ߪ ௫ ଶ = 1 ܰ ෍ ݔ ௜ − ݔҧ ଶ . ே ௜ୀଵ 3.6.1 Andaikan bahwa untuk mencari nilai fungsi ݍݔ, ݕ, diukur dua besaran ݔ dan ݕ beberapa kali, kemudian diperoleh ܰ pasangan data, ݔ ଵ , ݕ ଵ , … , ݔ ே , ݕ ே dari ܰ pengukuran ݔ ଵ , … , ݔ ே , dapat dihitung rata-rata, ݔҧ dan standar deviasi, ߪ ௫ , begitu juga dengan pengukuran ݕ ଵ , … , ݕ ே , dapat dihitung ݕത dan ߪ ௬ . Kemudian dengan menggunakan ܰ pasang pengukuran, dapat dihitung ܰ nilai besaran hasilnya, yaitu ݍ ௜ = ݍݔ ௜ , ݕ ௜ , ݅ = 1, … , ܰ. Dari hasil ݍ ଵ , … , ݍ ே , dapat dihitung nilai rata-ratanya, ݍത, yang diasumsikan memberikan pendugaan terbaik untuk ݍ, dan standar deviasinya, ߪ ௤ , yang merupakan ukuran galat acak pada nilai ݍ ௜ . Andaikan bahwa semua galat adalah kecil dan oleh karena itu semua bilangan ݔ ଵ , … , ݔ ே dekat dengan ݔҧ dan semua bilangan ݕ ଵ , … , ݕ ே dekat dengan ݕത, kemudian dapat dibuat pendekatan berikut ini ݍ ௜ = ݍݔ ௜ , ݕ ௜ ≈ ݍݔ,ഥ ݕത + ߲ݍ ߲ݔ ݔ ௜ − ݔҧ + ߲ݍ ߲ݕ ݕ ௜ − ݕത. 3.6.2 Pada rumus ini, turunan parsial x q   dan y q   digunakan pada ݔ = ݔҧ, ݕ = ݕത, dan berlaku sama untuk semua ݅ = 1, … , ܰ. Dengan pendekatan ini, rata-ratanya menjadi ݍത = 1 ܰ ෍ ݍ ௜ ே ௜ୀଵ = 1 ܰ ෍ ൤ݍ ݔҧ, ݕത + ߲ݍ ߲ݔ ݔ ௜ − ݔҧ + ߲ݍ ߲ݕ ݕ ௜ − ݕത൨ ே ௜ୀଵ . Persamaan ini menjadikan ݍത sebagai jumlahan dari tiga suku. Suku yang pertama adalah ݍݔҧ, ݕത, dan dua yang lainnya adalah nol. Contohnya, seperti pada definisi ݔҧ bahwa      x x i . Maka hasilnya adalah ݍത = ݍݔҧ, ݕത 3.6.3 yang artinya, untuk mencari rata-rata ݍത, hanya menghitung fungsi ݍݔ, ݕ pada ݔ = ݔҧ dan ݕ = ݕത. Standar deviasinya ߪ ௤ ଶ = 1 ܰ ෍ ݍ ௜ − ݍത ଶ ே ௜ୀଵ . Dengan mensubstitusikan 3.6.2 dan 3.6.3, didapatkan ߪ ௤ ଶ = 1 ܰ ෍ ൤ ߲ݍ ߲ݔ ݔ ௜ − ݔҧ + ߲ݍ ߲ݕ ݕ ௜ − ݕത൨ ଶ ே ௜ୀଵ = ൬ ߲ݍ ߲ݔ൰ ଶ 1 ܰ ෍ ݔ ௜ − ݔҧ ଶ + ൬ ߲ݍ ߲ݕ൰ ଶ 1 ܰ ෍ ݕ ௜ − ݕത ଶ ே ௜ୀଵ +2 ߲ݍ ߲ݔ ߲ݍ ߲ݕ 1 ܰ ෍ ݔ ௜ − ݔҧݕ ௜ − ݕത. 3.6.4 ே ௜ୀଵ Jumlahan pada dua suku yang pertama adalah yang muncul pada definisi standar deviasi ߪ ௫ dan ߪ ௬ . Jumlahan terakhir dinamakan kovariansi dari ݔ dan ݕ dan dinotasikan ߪ ௫௬ = 1 ܰ ෍ ݔ ௜ − ݔҧݕ ௜ − ݕത. ே ௜ୀଵ 3.6.5 Nama kovariansi untuk ߪ ௫௬ yang digunakan untuk dua variabel yaitu ݔ dan ݕ sejajar dengan nama variansi untuk ߪ ௫ ଶ yang digunakan untuk satu variabel ݔ. Dengan definisi ini, persamaan 3.6.5 untuk standar deviasi ߪ ௤ menjadi xy y x q y q x q y q x q                            2 2 2 2 2 2 . 3.6.6 Jika pengukuran ݔ dan ݕ independen, maka akan dengan mudah terlihat bahwa setelah beberapa kali pengukuran, kovariansi ߪ ௫௬ harus mendekati nol. Untuk sebarang nilai ݕ ௜ , besaran ݔ ௜ − ݔҧ mungkin sekali menjadi negatif daripada menjadi positif. Jadi, setelah beberapa kali pengukuran, suku positif dan negatif yang ada pada persamaan 3.6.4 haruslah seimbang; pada limit tak hingga banyaknya pengukuran, ଵ ே pada persamaan 3.6.5 menjamin bahwa ߪ ௫௬ adalah nol. Sesudah bilangan berhingga dari pengukuran, ߪ ௫௬ tidak akan tepat nol, tetapi haruslah kecil jika galat pada ݔ dan ݕ benar-benar independen dan acak. Dengan ߪ ௫௬ adalah nol, persamaan 3.6.6 untuk ߪ ௤ menjadi ߪ ௤ ଶ = ൬ ߲ݍ ݔ ൰ ଶ ߪ ௫ ଶ + ൬ ߲ݍ ߲ݕ൰ ଶ ߪ ௬ ଶ , 3.6.7 yang merupakan hasil yang familiar untuk galat independen dan acak. Kondisi-kondisi yang dapat terjadi adalah: a. Jika pengukuran ݔ dan ݕ tidak independen, kovariansi xy  tidak perlu nol. Sebagai contoh, jika dugaan nilai ݔ berlebihan dan disertai dengan dugaan nilai ݕ yang berlebihan, atau sebaliknya, bilangan ݔ ௜ − ݔҧ dan ݕ ௜ − ݕത akan selalu