3.10.10, dapat dilihat bahwa galat total di
q
adalah jumlah kuadrat dari galat parsial yang terkait dengan setiap galat yang terpisah,
z y
x
,..., ,
dengan ketentuan independen. Ini adalah cara yang baik untuk berpikir tentang hasil
3.10.10, dan cara ini menunjukkan cara paling sederhana untuk menggunakan 3.10.10 untuk menghitung total galat di
q
: Pertama, menghitung galat parsial di
q
secara terpisah, menggunakan 3.10.12, kemudian menggabungkan galat-galat terpisah ini dalam jumlah kuadrat untuk mendapatkan galat total seperti dalam
3.10.10. Dengan cara yang sama, apakah
z y
x
,..., ,
independen atau tidak, aturan 3.10.11 mengatakan bahwa galat total di
q
tidak pernah melebihi penjumlahan biasa dari galat parsial secara terpisah.
121
BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK
Pada bab ini akan dibahas bagaimana statistika digunakan untuk menganalisis galat.
A. Nilai Rata-rata dan Standar Deviasi
Andaikan diukur besaran ݔ beberapa kali. Diasumsikan semua sumber galat
sistematis telah diidentifikasi dan kemudian diabaikan. Karena semua sumber galat yang tersisa adalah acak, maka harus dideteksi dengan cara mengulangi
pengukuran beberapa kali. Misalnya, dilakukan pengukuran lima kali dan dihasilkan
71, 72, 72, 73, 71 4.1.1
Pertanyaan yang muncul pertama kali adalah: berapakah nilai ݔ
ᇱ
untuk besaran
ݔ? Jawabannya adalah nilai rata-rata, ݔҧ dari lima nilai tersebut
x x
2 .
1 .
4 .
8 ,
71 5
71 73
72 72
71
Di sini, baris kedua hanyalah definisi ݔҧ untuk bilangan yang mudah
dihitung. Karena semua bilangan ada di sekitar nilai 70, maka nilai rata-ratanya juga berada pada nilai 70, sehingga yang tersisa adalah rata-rata dari 1, 2, 2, 3, 1.
Nilai rata-rata dari bilangan-bilangan ini adalah
8 ,
1 5
9
; sehingga jawabannya adalah
ݔҧ = 71,8. Secara umum, andaikan dilakukan
ܰ pengukuran besaran ݔ semua menggunakan peralatan dan prosedur yang sama, yaitu
ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
, 4.1.3
maka, pendugan terbaik untuk ݔ adalah
N x
x x
N i
i
1
4.1.4 Konsep nilai rata-rata hampir pasti telah dikenal. Konsep berikutnya yang
kurang begitu dikenal adalah standar deviasi. Standar deviasi pengukuran ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
adalah pendugaan galat nilai rata-rata pengukuran ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
dan ditentukan sebagai berikut.
Mengingat bahwa
ݔҧ adalah pendugaan terbaik besaran ݔ, maka simpangannya adalah
ݔ
− ݔҧ = ݀
. Simpangan ini, yang sering disebut deviasi ݔ
dari ݔҧ, menjelaskan tentang seberapa besar ݔ
berbeda dari ݔҧ. Jika ݀
= ݔ
− ݔҧ sangat kecil, maka pengukurannya akan lebih presisi, dan sebaliknya.
Untuk memastikan pemahaman tentang gagasan dari simpangan, maka akan dihitung kembali simpangan untuk lima pengukuran pada 4.1.1. Simpangan ini
diperlihatkan pada tabel berikut
Tabel 4.1.1 Penghitungan Simpangan
No. Nilai hasil
pengukuran ݔ
Simpangan ݀
= ݔ
− ݔ̅ 1
71 -0,8
2 72
0,2 3
72 0,2
4 73
1,2 5
71 -0,8
Jumlah 359
ݔҧ = ∑ ݔ
ܰ =
359 5
= 71,8. Perhatikan bahwa simpangan tidak mempunyai ukuran yang sama;
݀
kecil jika nilai
ݔ
dekat dengan ݔҧ, dan sebaliknya. Perhatikan juga bahwa beberapa dari
݀
adalah positif dan negatif karena beberapa dari ݔ
lebih tinggi dan lebih rendah dari pada
ݔҧ. Untuk menduga reliabilitas nilai rata-rata pengukuran
5 2
1
,..., ,
x x
x adalah
dengan merata-rata simpangannya. Sayangnya, untuk sebarang pengukuran, nilai rata-rata simpangannya adalah nol, oleh karena itu nilai rata-rata simpangan
bukanlah cara yang berguna untuk mengkarakterisasi reliabilitas pengukuran ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
. Cara terbaik untuk menghindari keadaan ini adalah dengan mengkuadratkan
semua simpangan, yang akan menghasilkan nilai-nilai yang positif, dan kemudian merata-rata nilai-nilai ini. Jika kemudian hasilnya diakarkuadratkan, maka akan
diperoleh suatu nilai. Nilai ini disebut standar deviasi dari ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
, dan dinotasikan dengan
ߪ
௫
,
ߪ
௫
= ඩ
1 ܰ
݀
ଶ
ே ୀଵ
= ඩ
1 ܰ
ݔ
− ݔҧ
ଶ ே
ୀଵ
. 4.1.5
Dengan definisi ini, standar deviasi dapat digambarkan sebagai akar kuadrat rata- rata simpangan dari pengukuran
ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
. Hal ini terbukti menjadi cara yang tepat untuk mengkarakterisasi reliabilitas pengukuran.
Pada data Tabel 4.1.1, penghitungan untuk nilai
x
adalah sebagai berikut
Tabel 4.1.2 Penghitungan Standar Deviasi
No. Nilai hasil
pengukuran ݔ
Simpangan ݀
= ݔ
− ݔ̅ Simpangan
kuadrat ݀
ଶ
1 71
-0,8 0,64
2 72
0,2 0,04
3 72
0,2 0,04
4 73
1,2 1,44
5 71
-0,8 0,64
Jumlah 359
2,80
ݔҧ = ∑ ݔ
ܰ =
359 5
= 71,8. Menjumlahkan nilai-nilai
݀
ଶ
pada kolom keempat Tabel 4.1.2 dan membaginya dengan angka 5 akan diperoleh suatu besaran yang dinotasikan dengan
ߪ
௫ ଶ
sering disebut variansi pengukuran,
ߪ
௫ ଶ
= 1
ܰ ݀
ଶ
= 2,80
5 = 0,56.
4.1.6 Standar deviasinya adalah
ߪ
௫
= ඥ0,56 ≈ 0,7.
4.1.7 Jadi, rata-rata galat dari lima pengukuran tersebut adalah sekitar 0,7.
Sayangnya, standar deviasi memiliki definisi alternatif. Ada argumentasi teoritis untuk mengganti faktor
ܰ pada definisi 4.1.5 dengan ܰ − 1 dan mendefinisikan standar deviasi
ߪ
௫
sebagai berikut
ߪ
௫
= ඨ
1 ܰ − 1 ݀
ଶ
= ඨ
1 ܰ − 1
ݔ
− ݔҧ
ଶ
4.1.8 Definisi ini ternyata sedikit lebih luas daripada definisi 4.1.5. Definisi
4.1.8 mengoreksi kecenderungan definisi 4.1.5 untuk mengecilkan galat pada pengukuran
ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ே
, terutama
jika jumlah
pengukuran ܰ kecil.
Kecenderungan ini dapat dipahami dengan menganggap bahwa ܰ = 1 hanya
terdapat satu pengukuran. Di sini, ݔҧ = ݔ
ଵ
dan simpangannya adalah nol. Oleh karena itu, definisi 4.1.5 memberikan hasil,
ߪ
௫
= 0. Di sisi lain, definisi 4.1.8 memberikan hasil
; yaitu, dengan definisi 4.1.8, ߪ
௫
tak terdefinisi. Hal ini berarti mencerminkan bahwa galat tidak diketahuai jika hanya terdapat satu
pengukuran. Definisi 4.1.5 kadang-kadang disebut standar deviasi populasi dan 4.1.8 disebut standar deviasi sampel.
Perbedaan antara dua definisi ini hampir secara numerik tidak terlalu signifikan. Maka harus selalu mengulang pengukuran berkali-kali setidaknya
lima kali. Bahkan jika hanya dilakukan lima pengukuran ܰ = 5, simpangan
antara √ܰ = 2,2 dan √ܰ − 1 = 2, tidaklah terlalu signifikan. Sebagai contoh,
jika dihitung ulang standar deviasi pada 4.1.7 menggunakan definisi 4.1.8, diperoleh
ߪ
௫
= ඨ
1 ܰ − 1 ݀
ଶ
= ඨ
1 ܰ − 1
ݔ
− ݔҧ
ଶ
= ඨ
2,80 5
− 1 =
ඨ 2,80
4 =
ඥ0,7 = 0,8
dan bukan 7
,
x
. Perbedaan ini tidak terlalu signifikan. Namun demikian,
kedua definisi ini perlu diperhatikan dan perlu untuk menyatakan secara jelas definisi yang digunakan pada setiap perhitungan.
Di dalam teori statistika, standar deviasi sampel dengan penyebut ݊ − 1 n
adalah ukuran sampel disimbolkan dengan ܵ
௫ ଶ
dan merupakan penduga yang baik karena tak bias bagi
ߪ
௫ ଶ
. Untuk menunjukkan bahwa ܵ
௫ ଶ
adalah penduga tak bias maka harus dibuktikan bahwa
ܧܵ
௫ ଶ
= ߪ
௫ ଶ
. Andaikan
ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
adalah sampel random dengan ܧݔ
ଵ
= ߤ dan
ܸݔ
ଵ
= ߪ
௫ ଶ
. Akan dibuktikan bahwa
1
2 2
n x
x S
i x
adalah penduga tak bias bagi
ߪ
௫ ଶ
. Bukti :
Pertama, akan ditunjukkan bahwa ݔ
− ݔҧ
ଶ
= ݔ
ଶ
− ݊ݔҧ
ଶ
. ݔ
− ݔҧ
ଶ
= ݔ
ଶ
− 2ݔ
ݔҧ + ݔҧ
ଶ
= ݔ
ଶ
− 2 ݔ
ݔҧ + ݔҧ
ଶ
= ݔ
ଶ
− 2ݔҧ ݔ
+ ݊ݔҧ
ଶ
= ݔ
ଶ
− 2݊ݔҧ
ଶ
+ ݊ݔҧ
ଶ
= ݔ
ଶ
− ݊ݔҧ
ଶ
, 4.1.9
