kurang atau lebih daripada panjang yang sebenarnya. Galat ini dapat dengan mudah dipenuhi andaikan, pita baja mempunyai koefisien ekspansi
ߙ = 10
ିହ
per derajat dan ditentukan bahwa selisih antara suhu kalibrasinya dan suhu saat ini
tidak mungkin lebih dari 10 derajat. Pita baja tersebut kemudian tidak mungkin lebih dari
10
ିସ
, atau 0,01, menjauh dari panjang sebenarnya, dan oleh karena itu galatnya
adalah 0,01. Maksudnya adalah bahwa jika pita baja tersebut terlalu panjang, maka
ݔ dan ݕ dapat diduga terlalu rendah. Dan jika pita baja tersebut terlalu pendek, maka
ݔ dan ݕ dapat diduga terlalu tinggi. Jadi, tidak ada kemungkinan untuk kanselasi yang dibenarkan menggunakan jumlah dalam
kuadratur untuk menghitung galat dalam ݍ = ݔ + ݕ.
Apakah galat independen dan acak, ataupun tidak, galat pada ݍ = ݔ + ݕ
tentulah tidak lebih besar daripada ߜݔ + ߜݕ, sehingga berdasarkan persamaan
3.6.9 dan 3.6.10 ߜݍ ≤ ߜݔ + ߜݕ.
3.7.5 Pada persamaan 3.7.3,
ߜݍ sebenarnya merupakan batas atas yang ada pada semua kasus. Jika terdapat alasan untuk menduga galat pada
ݔ dan ݕ tidak independen dan acak seperti pada contoh ukuran pita baja, maka tidak
dibenarkan dalam menggunakan jumlah kuadrat seperti pada persamaan 3.7.4 untuk
ߜݍ. Di sisi lain, persamaan 3.7.5 menjamin bahwa ߜݍ memang tidak lebih buruk daripada
ߜݔ + ߜݕ, dan tentu saja metode paling aman adalah dengan menggunakan aturan lama yaitu
ߜݍ ≈ ߜݔ + ߜݕ.
Seringkali, jika galat merupakan penjumlahan dalam kuadratur atau secara langsung mempunyai selisih yang kecil. Misalnya, andaikan bahwa
ݔ dan ݕ adalah panjang semua pengukuran dengan galat
ߜݔ = ߜݕ = 2 mm. Jika galat ini adalah independen dan acak, maka galat pada
ݔ + ݕ akan diduga sebagai penjumlahan dalam kuadratur,
ඥߜݔ
ଶ
+ ߜݕ
ଶ
= √4 + 4 mm = 2,8 mm ≈ 3 mm,
tetapi jika diduga bahwa galat mungkin tidak independen, maka harus
digunakan penjumlahan biasa, ߜݔ + ߜݕ = 2 + 2mm = 4 mm.
Pada banyak percobaan, pendugaan galat begitu kasar bahwa selisih antara kedua jawaban 3 mm dan 4 mm tidaklah penting. Di sisi lain, kadang-kadang
penjumlahan dalam kuadratur secara signifikan lebih kecil daripada penjumlahan biasa. Juga, agak mengherankan, penjumlahan dalam kuadratur kadang-kadang
lebih mudah untuk dihitung daripada penjumlahan biasa.
Contoh 3.7.1
Andaikan diukur volume air dalam dua gelas sebagai berikut ml
8 120
1
V ml
4 65
2
V ,
kemudian dengan hati-hati isinya dituang dari gelas pertama ke gelas kedua. a. Bagaimanakah prediksi untuk total volume,
ܸ = ܸ
ଵ
+ ܸ
ଶ
beserta dengan galatnya,
ߜܸ?asumsikan galat asalnya independen dan acak b. Bagaimanakah nilai
ߜܸ jika galat asalnya diduga tidak independen? Penyelesaian:
Volume air ܸ
ᇱ
= ܸ
ଵ ᇱ
+ ܸ
ଶ ᇱ
= 120 + 65 = 185 ml. a. Karena galat asalnya adalah independen dan acak, maka galat pada
ܸ
ଵ
+ ܸ
ଶ
akan diduga sebagai penjumlahan dalam kuadratur, ߜܸ = ඥߜܸ
ଵ ଶ
+ ߜܸ
ଶ ଶ
= ඥ8
ଶ
+ 4
ଶ
= √64 + 16 = √80 = 8,9 ≈ 9 ml.
Jadi, ܸ = 185 ± 9 ml.
b. Karena galat asalnya tidak independen, maka harus digunakan penjumlahan biasa,
ߜܸ = ߜܸ
ଵ
+ ߜܸ
ଶ
= 8 + 4 = 12 ml. Jadi,
ܸ = 185 ± 12 ml.
H. Lebih Jauh tentang Galat Independen
Andaikan nilai ݔ, … , ݓ diukur dengan galat ߜݔ, … , ߜݓ dan nilai hasil
pengukuran digunakan untuk menghitung ݍ = ݔ + ⋯ + ݉ − ݊ + ⋯ + ݓ.
Jika galat pada ݔ, … , ݓ diketahui independen dan acak, maka galat pada ݍ adalah
penjumlahan kuadrat ߜݍ = ඥߜݔ
ଶ
+ … + ߜ݉
ଶ
+ ߜ݊
ଶ
+ … + ߜݓ
ଶ
3.8.1
dari galat asalnya. Dalam hal apapun, ߜݍ tidak pernah lebih besar dari pada
jumlah aslinya, ߜݍ ≤ ߜݔ + ⋯ + ߜ݉ + ߜ݊ + ⋯ + ߜݓ.
3.8.2 Andaikan nilai
ݔ, … , ݓ diukur dengan galat ߜݔ, … , ߜݓ dan nilai hasil pengukuran digunakan untuk menghitung
ݍ = ݔ + ⋯ + ݉
݊ + ⋯ + ݓ .
Jika galat pada ݔ, … , ݓ diketahui independen dan acak, maka galat
fraksional pada ݍ adalah penjumlahan dalam kuadratur dari galat fraksional
asalnya ߜݍ
| ݍ|
= ඨ ൬
ߜݔ ݔ ൰
ଶ
+ … + ൬
ߜ݉ ݉ ൰
ଶ
+ ൬
ߜ݊ ݊ ൰
ଶ
+ … + ൬
ߜݓ ݓ ൰
ଶ
3.8.3
dari galat awalnya. Dalam hal apapun, q
q
tidak pernah lebih besar dari pada
jumlah aslinya,
w w
n n
m m
x x
q q
...
... 3.8.4
Terkadang tidak ada perbedaan yang signifikan antara menghitung dengan penjumlahan dan penjumlahan dalam kuadratur. Namun demikian penjumlahan
dalam kuadratur sering lebih sederhana untuk dihitung daripada penjumlahan biasa.
Contoh 3.8.1
Misalkan ingin dicari efisiensi motor listrik DC dengan menggunakannya untuk mengangkat massa
݉ melalui ketinggian ℎ. Energi yang digunakan adalah ݉݃ℎ,
dan energi listrik yang dikirimkan ke motor adalah ܸܫݐ, di mana ܸ adalah
tegangan yang diberikan, ܫ diberikan, dan ݐ adalah waktu motor berjalan.
Efisiensinya adalah
VIt mgh
e
motor
ke dikirimkan
yang Energi
motor digunakan
yang Energi
. Andaikan bahwa
݉, ℎ, ܸ dan ܫ dapat diukur dengan akurasi 1 galat fraksional untuk
݉, ℎ, ܸ dan ܫ = 1, ݐ mempunyai galat 5 galat fraksional untuk ݐ =5, dan galat
݃ diabaikan. Jika sekarang dihitung efisiensinya, ݁, maka berdasarkan aturan terdahulu yaitu “penjumlahan galat fraksional”, maka akan didapatkan
ߜ݁ |
݁| ≈ ߜ݉
| ݉|
+ ߜℎ
| ℎ|
+ ߜܸ
| ܸ|
+ ߜܫ
| ܫ|
+ ߜݐ
| ݐ|
= 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9. Di sisi lain, jika diyakini bahwa galat-galat ini adalah independen dan acak, maka
dapat dihitung
e e
dengan penjumlahan kuadrat, yaitu
ߜ݁ |
݁| =
ඨ൬ ߜ݉
| ݉|൰
ଶ
+ ൬
ߜℎ |
ℎ|൰
ଶ
+ ൬
ߜܸ |
ܸ|൰
ଶ
+ ൬
ߜܫ |
ܫ|൰
ଶ
+ ൬
ߜݐ |
ݐ|൰
ଶ
= ඥ1
ଶ
+ 1
ଶ
+1
ଶ
+1
ଶା
5
ଶ
= √29 ≈ 5.
Jelas bahwa penjumlahan kuadrat mengarah ke pendugaan yang lebih kecil dari ߜ݁. Di samping itu, untuk satu angka penting, galat pada ݉, ℎ, ܸ, dan ܫ sama
sekali tidak memberikan kontribusi untuk galat pada ݁ yang dihitung dengan cara
ini; artinya, untuk satu angka penting, dapat dicari
ߜ݁ |
݁| =
ߜݐ |
ݐ| .
Penyederhanaan ini mudah dipahami. Jika bilangan dijumlahkan dalam kuadratur, maka bilangan tersebut dikuadratkan dahulu dan kemudian dijumlahkan. Proses
mengkuadratkan lebih diutamakan pada bilangan paling besar. Jadi, jika satu bilangan 5 kali dari bilangan yang lainnya seperti pada contoh, maka kuadratnya
adalah 25 kali dari bilangan yang lain, dan biasanya bilangan yang lain dapat diabaikan sepenuhnya.
Contoh ini
menggambarkan bagaimana
penggabungan galat
dalam kuadratur biasanya lebih baik dan sering lebih mudah daripada menghitung galat
dengan penjumlahan saja. Contoh ini juga menggambarkan jenis masalah di mana galat adalah independen dan di mana penjumlahan dalam kuadratur dibenarkan.
Lima besaran hasil pengukuran ݉, ℎ, ܸ, ܫ, dan ݐ adalah besaran fisika yang
berbeda dengan satuan yang berbeda dan diukur dengan proses yang sepenuhnya berbeda. Untuk sumber galat pada setiap besaran yang berkorelasi dengan sumber
galat pada besaran lainnya hampir tidak dapat dibayangkan. Oleh karena itu, galat dapat layak diperlakukan sebagai galat yang independen dan dikombinasikan
dalam kuadratur.
Contoh 3.8.2
Andaikan diukur tiga bilangan sebagai berikut: ݔ = 200 ± 2,
ݕ = 50 ± 2, ݖ = 20 ± 1,
dimana ketiga galatnya adalah independen dan acak. Hitunglah nilai:
a. ݍ = ݔ + ݕ − ݖ,
b.
z xy
r
, beserta dengan galatnya?
Penyelesaian: a. Nilai
ݍ
ᇱ
= ݔ
ᇱ
+ ݕ
ᇱ
− ݖ
ᇱ
= 200 + 50 − 20 = 230, galatnya
, 3
9 1
4 4
1 2
2
2 2
2 2
2 2
z
y x
q
sehingga .
3 230
q b. Nilai
500 20
50 .
200
z y
x r
Galat fraksional masing-masing bilangan adalah
. 5
05 ,
20 1
, 4
04 ,
50 2
, 1
01 ,
200 2
z z
y y
x x
Galatnya
4 ,
32 48
, 6
500 48
, 6
48 ,
6 42
25 16
1 5
4 1
2 2
2 2
2 2
q q
z z
y y
x x
q q
sehingga .
32 500
r
I. Fungsi Sebarang Satu Variabel
Seperti yang telah dijelaskan tentang bagaimana galat, semua independen dan sebaliknya, merambat melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian. Namun, banyak perhitungan membutuhkan operasi yang lebih rumit, seperti perhitungan sinus, kosinus, atau akar kuadrat, dan perlu diketahui
bagaimana galat merambat dalam kasus ini. Sebagai contoh, untuk mencari indeks bias
݊ kaca adalah dengan mengukur sudut kritis
ߠ. Seperti yang telah diketahui dari optik dasar bahwa
sin 1
n
. Oleh karena itu, jika dapat diukur sudut
ߠ, akan dapat dengan mudah dihitung indeks bias
݊, tetapi kemudian harus ditentukan apakah galat ߜ݊ pada
sin 1
n
d iakibatkan oleh galat
ߜߠ pada pengukuran ߠ.
