Nilai Rata-rata dan Standar Deviasi

= ඨ 2,80 5 − 1 = ඨ 2,80 4 = ඥ0,7 = 0,8 dan bukan 7 ,  x  . Perbedaan ini tidak terlalu signifikan. Namun demikian, kedua definisi ini perlu diperhatikan dan perlu untuk menyatakan secara jelas definisi yang digunakan pada setiap perhitungan. Di dalam teori statistika, standar deviasi sampel dengan penyebut ݊ − 1 n adalah ukuran sampel disimbolkan dengan ܵ ௫ ଶ dan merupakan penduga yang baik karena tak bias bagi ߪ ௫ ଶ . Untuk menunjukkan bahwa ܵ ௫ ଶ adalah penduga tak bias maka harus dibuktikan bahwa ܧܵ ௫ ଶ = ߪ ௫ ଶ . Andaikan ݔ ଵ , ݔ ଶ , … , ݔ ௡ adalah sampel random dengan ܧݔ ଵ = ߤ dan ܸݔ ଵ = ߪ ௫ ଶ . Akan dibuktikan bahwa   1 2 2     n x x S i x adalah penduga tak bias bagi ߪ ௫ ଶ . Bukti : Pertama, akan ditunjukkan bahwa ෍ݔ ௜ − ݔҧ ଶ = ෍ ݔ ௜ ଶ − ݊ݔҧ ଶ . ෍ݔ ௜ − ݔҧ ଶ = ෍ݔ ௜ ଶ − 2ݔ ௜ ݔҧ + ݔҧ ଶ = ෍ ݔ ௜ ଶ − 2 ෍ ݔ ௜ ݔҧ + ෍ ݔҧ ଶ = ෍ ݔ ௜ ଶ − 2ݔҧ ෍ ݔ ௜ + ݊ݔҧ ଶ = ෍ ݔ ௜ ଶ − 2݊ݔҧ ଶ + ݊ݔҧ ଶ = ෍ ݔ ௜ ଶ − ݊ݔҧ ଶ , 4.1.9 sehingga ܧ ቂ෍ݔ ௜ − ݔҧ ଶ ቃ = ܧ ቀ෍ ݔ ௜ ଶ ቁ − ܧ[݊ݔҧ ଶ ] = ෍ ܧݔ ௜ ଶ − ݊ܧݔҧ ଶ . 4.1.10 Karena ܧݔ ௜ ଶ sama untuk semua ݅ = 1,2, … , ݊ dan karena ܸܽݎݔ = ܧ[ݔ − ܧݔ] ଶ = ܧ{ݔ ଶ − 2ݔܧݔ + [ܧݔ] ଶ } = ܧݔ ଶ − 2[ܧݔ] ଶ + [ ܧݔ] ଶ = ܧݔ ଶ − [ܧݔ] ଶ ܸܽݎݔ = ܧݔ ଶ − ߤ ଶ , 4.1.11 maka ܧݔ ଶ = ܸܽݎݔ + ߤ ଶ ܧݔ ଶ = ߪ ௫ ଶ + ߤ ଶ , 4.1.12 penggabungan persamaan 4.1.10 dan persamaan 4.1.12 ܧ ቂ෍ݔ ௜ − ݔҧ ଶ ቃ = ෍ ܧݔ ௜ ଶ − ݊ܧݔҧ ଶ = ෍ ܧݔ ௜ ଶ − ܸ݊ܽݎݔҧ + ߤ ௫̅ ଶ , menggunakan persamaan 4.1. 12, maka = ݊ߪ ௫ ଶ + ߤ ଶ − ݊ ቆ ߪ ௫ ଶ ݊ + ߤ ଶ ቇ = ݊ߪ ௫ ଶ + ݊ߤ ଶ − ߪ ௫ ଶ − ݊ߤ ଶ = ݊ߪ ௫ ଶ − ߪ ௫ ଶ ܧ ቂ෍ݔ ௜ − ݔҧ ଶ ቃ = ݊ − 1ߪ ௫ ଶ . ܧ ቈ ∑ݔ ௜ − ݔҧ ଶ ݊ − 1 ቉ = ܧܵ ௫ ଶ , 4.1.13 sehingga ܵ ௫ ଶ adalah penduga yang tak bias bagi ߪ ௫ ଶ . ■ Selanjutnya, berdasarkan penjelasan ini, rumus yang akan digunakan lebih lanjut adalah penggantian simbol untuk jumlah pengukuran ܰ menjadi ݊.

B. Standar Deviasi sebagai Galat pada Pengukuran Tunggal

Sebelumnya telah dinyatakan bahwa standar deviasi, ߪ ௫ mengkarakterisasi galat nilai rata-rata pengukuran ݔ ଵ , ݔ ଶ , … , ݔ ௡ . Jika diukur besaran ݔ yang sama berkali-kali, selalu menggunakan metode yang sama, dan jika semua sumber galatnya kecil dan acak, maka hasilnya akan didistribusikan sekitar ݔ ௦௘௕௘௡௔௥௡௬௔ sesuai dengan kurva normal atau kurva lonceng. Secara khusus, sekitar 68 dari hasilnya akan berada dalam jarak ߪ ௫ pada kedua sisi nilai ݔ ௦௘௕௘௡௔௥ ௬௔ ; yaitu, 68 dari pengukuran akan berada dalam jangkauan ݔ ௦௘௕௘௡௔௥௡௬௔ ± ߪ ௫ . Sifat ini dijamin oleh teorema Tchebysheff berikut. Teorema 4.2.1 Tchebysheff Andaikan ܺ adalah variabel random dengan fungsi densitas ݂ݔ. Maka untuk sebarang ݇ 0, berlaku ܲ|ܺ − ߤ| ݇ߪ ௫ ≥ 1 − 1 ݇ ଶ , Dimana ܧݔ = ߤ dan ܸݔ = ߪ ௫ ଶ ∞. Bukti : Akan dibuktikan untuk kasus kontinu ݂ݔ ߤ − ݇ߪ ௫ ߤߤ + ݇ߪ ௫ Gambar 4.2.1 Grafik Normal Probabilitas Pengukuran dalam ࢑ Standar Deviasi dari ࣆ. ܸݔ = ܧݔ − ߤ ଶ = ߪ ௫ ଶ = නݔ − ߤ ଶ ݂ݔ݀ݔ ஶ ିஶ = න ݔ − ߤ ଶ ݂ݔ݀ݔ ఓି௞ఙ ೣ ିஶ + න ݔ − ߤ ଶ ݂ݔ݀ݔ ఓା௞ఙ ೣ ఓି௞ఙ ೣ + න ݔ − ߤ ଶ ݂ݔ݀ݔ ஶ ఓା௞ఙ ೣ . Integral yang kedua selalu ≥ 0 dan untuk integral yang pertama dan ketiga selalu ݔ − ߤ ଶ ≥ ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ . Dengan mensubstitusikan 0 dan ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ akan diperoleh ܸݔ = ߪ ௫ ଶ ≥ න ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ ݂ݔ݀ݔ ఓି௞ఙ ೣ ିஶ + න ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ ݂ݔ݀ݔ ஶ ఓା௞ఙ ೣ → ߪ ௫ ଶ ≥ ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ ቎ න ݂ݔ݀ݔ ఓି௞ఙ ೣ ିஶ + න ݂ݔ݀ݔ ஶ ఓା௞ఙ ೣ ቏ → ߪ ௫ ଶ ≥ ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ ܲ|ݔ − ߤ| ≥ ݇ߪ ௫ Bagi kedua ruas dengan ݇ ଶ ߪ ௫ ଶ → ܲ|ݔ − ߤ| ≥ ݇ߪ ௫ ≤ 1 ݇ ଶ → ܲ|ݔ − ߤ| ݇ߪ ௫ ≥ 1 − ଵ ௞ మ . ■ Contoh dari teori ini adalah standar deviasi sebagai batas keyakinan 68 yang akan dijelaskan sebagai berikut: Probabilitas pada gambar 4.2.1 adalah Probabilitas dalam dx e x x x x       x x 2 2 2 2 1          . 4.2.1 Dengan mensubstitusikan   z x x     , sehingga dz dx x   dan batas integralnya menjadi 1   z . Jadi, Probabilitas dalam dz e z x     1 1 2 2 2 1   . 4.2.2 Sebelum membahas integral ini, dengan melihat gambar 4.2.1, dapat dihitung probabilitas dalam x t  , yang artinya adalah probabilitas pengukuran dalam x t  dari ߤ, dengan t bilangan positif Probabilitas dalam dz e t t t z x     2 2 2 1   . 4.2.3 Persamaan ini adalah standar integral fisika matematis dan sering disebut sebagai fungsi galat, disimbolkan   t erf , atau integral galat normal. Integral ini tidak dapat dihitung secara analitik tetapi dapat dengan mudah dihitung melalui komputer atau kalkulator tertentu. Berikut ini adalah probabilitas beberapa nilai t standar deviasi. Tabel 4.2.1 Probabilitas beberapa Nilai t Standar Deviasi No. t Prob   1 2 0,25 20 3 0,5 38 4 0,75 55 5 1,0 68 6 1,25 79 7 1,5 87 8 1,75 92 9 2,0 95,4 10 2,5 98,8 11 3,0 99,7 12 3,5 99,95 13 4,0 99,99 Jika nilai-nilai tersebut dieksekusi dalam program MATLAB, maka akan dihasilkan suatu grafik yang menggambarkan hubungan antara t dan probabilitas dalam  t berikut ini. Probabilitas dalam x t  Gambar 4.2.2 Probabilitas bahwa Pengukuran x akan Berada dalam t Standar Deviasi dari Nilai Sebenarnya   x . Gambar 4.2.2 menunjukkan integral ini diplot sebagai fungsi dari t dan kemudian disusun tabel dari beberapa nilai. Probabilitas bahwa pengukuran akan jatuh pada satu standar deviasi dari jawaban yang benar adalah 68. Jika standar deviasi dianggap sebagai galat pada suatu pengukuran yaitu, jika x x x    , maka x x    , maka terdapat kepercayaan 68 bahwa berada antara x  jawaban yang benar. Probabilitas dalam x t  dengan cepat mendekati 100 dengan meningkatnya t . Probabilitas bahwa pengukuran akan jatuh pada x  2 adalah 95,4; dan x  3 adalah 99,7. Untuk menempatkan hasil ini dengan cara lain, probabilitas bahwa pengukuran akan jatuh di luar satu standar deviasi adalah cukup besar 32, probabilitas bahwa pengukuran akan berada di luar x  2 jauh lebih kecil 4,6, dan akan berada di luar x  3 sangatlah kecil 0,3. Tidak ada yang spesial dengan bilangan 68. Bilangan ini hanyalah suatu bilangan yang berhubungan dengan standar deviasi x  . Salah satu alternatif untuk standar deviasi adalah galat kemungkinan probable error, atau PE, dan didefinisikan sebagai jarak dimana terdapat kemungkinan 50 pengukuran antara PE   . Gambar 4.2.2 menunjukkan bahwa untuk pengukuran dengan distribusi normal galat kemungkinannya adalah x PE  67 ,  . Beberapa peneliti mengganggap PE sebagai galat pada pengukuran mereka. Meskipun demikian, standar deviasi x  adalah pilihan yang paling populer karena sifat-sifatnya sangat sederhana. ■ Jika dibuat pengukuran tunggal menggunakan metode yang sama, probabilitasnya adalah 68 bahwa hasilnya akan berada dalam ߪ ௫ dari nilai sebenarnya. Jadi, ߪ ௫ dapat dipakai untuk mengartikan secara tepat apa yang dimaksud dengan galat. Jika dibuat satu pengukuran ݔ, galat yang berhubungan dengan pengukuran adalah ߜݔ = ߪ ௫ ; dengan ini, terdapat keyakinan sebanyak 68 bahwa pengukuran berada dalam ߜݔ dari jawaban yang benar. Untuk menggambarkan penerapan dari ide ini, andaikan terdapat kotak yang berisi pegas-pegas yang sama. Kemudian dicari konstanta pegasnya, ݇. Pengukuran konstanta pegas adalah dengan membebani setiap pegas dan mengamati perpanjangannya atau dengan menangguhkan massa dari setiap pegas dan mengukur waktu osilasinya. Apapun metode yang dipilih, perlu diketahui ݇ dan galatnya, ߜ݇ untuk setiap pegas, tetapi akan memakan waktu untuk mengulang pengukuran berkali-kali pada setiap pegasnya. Malahan, jika diukur ݇ untuk pegas pertama beberapa 5 atau 10 kali, maka rata-rata pengukuran ini harus memberikan pendugaan yang baik dari ݇ untuk pegas pertama. Standar deviasi, ߪ ௞ dari pengukuran memberikan pendugaan galat dalam metode untuk mengukur ݇. Asalkan semua pegas sama dan metode yang digunakan untuk mengukur setiap pegas juga sama, maka harapannya adalah galatnya sama pada setiap pengukuran. Jadi, untuk setiap pegas berikutnya, hanya perlu dibuat satu pengukuran, dan dapat segera dinyatakan bahwa galat ߜ݇ adalah standar deviasi,